Часы сломаются.
Кажется, одну свою ошибку вы, наконец-то, поняли?
Да, вот здесь:
Каким образом
![$e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ $e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f97627a8eeb871cc126d10138a9bffe82.png)
может оказаться нормированным?
я здорово погорячился, позволив рассматривать выражение, полученное для синхронных координат, в общем случае.
В общем случае, конечно, надо поступать так: Берём вектор
![$dx^i$ $dx^i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/d/ded679f1b7f2df6e3b5a30af2a4f4f4f82.png)
, направленный вдоль координаты
![$x^0$ $x^0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/5/3c58ce81e368ae900ae3b6ec3ac0335182.png)
, т.е. такой, что
![$dx^1=dx^2=dx^3=0$ $dx^1=dx^2=dx^3=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/6/9866ccc82da9a973a88aad1d18afecc782.png)
, и пытаемся на него ортогонально спроектировать произвольный вектор
![$dy^i$ $dy^i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05faf9221a1b35dfddfd54eaa35332a282.png)
. Ортогонально - это значит рассматриваем скалярное произведение
![$g_{ij} dx^i dy^j$ $g_{ij} dx^i dy^j$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77b274bbc1412c97926b4fd336a0342382.png)
, а спроектировать, значит, что это скалярное произведение нужно поделить на длину вектора
![$dx^i$ $dx^i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/d/ded679f1b7f2df6e3b5a30af2a4f4f4f82.png)
. Длина вектора
![$|dx|=\sqrt{g_{00}} dx^0$ $|dx|=\sqrt{g_{00}} dx^0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/b/79bf6e8995d7fe11538680738e6bb09182.png)
, так что проекция окажется равной
![$\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} dy^j$ $\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} dy^j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/3/4f3feb30e3fcf5bf0287e98ec19219a082.png)
. Обозначив множитель перед
![$dy^i$ $dy^i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05faf9221a1b35dfddfd54eaa35332a282.png)
как
![$e^{\underline{0}}_i$ $e^{\underline{0}}_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/f/e3fb7864430a911dd64ab23650a0d13d82.png)
, получим, что свёртка произвольного вектора с этим (нулевым) ковектором тетрады даёт его ортогональную проекцию на ось времени. Итак, нулевой ковектор тетрады на самом деле в общем случае имеет такие координаты:
![$(\sqrt{g_{00}},\frac{g_{01}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{02}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{03}}{\sqrt{g_{00}}})$ $(\sqrt{g_{00}},\frac{g_{01}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{02}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{03}}{\sqrt{g_{00}}})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/a/60a9d512579c6b7d1015e65fbb21b08882.png)
.
Вы же не предлагаете измерять длину резиновым метром?
А причём тут резиновый метр? Тело отсчёта может расширяться или сжиматься, но это не означает, что вместе с ним расширяются или сжимаются линейки (которые на самом деле - радары с часами).
Не понимаю вас. Вы таки настаиваете на применимость этой метрики к конечной гиперповерхности? Я готов применять эту метрику только к бесконечно малой окрестности события.
Так метрика и определяет расстояния только в бесконечно малой окрестности. Конечные расстояния получаются интегрированием бесконечно малых расстояний по конечной кривой.
А учит она следующему что форма объема в полярных координатах
![$ r dr\wedge d\varphi$ $ r dr\wedge d\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/7/c3748d8fd3ad051c717ed1f4cdfe117582.png)
Это Вы привели форму объёма к скаляру: квадратному метру, каковой является сущностью неизменной, то бишь независимой от выбора координат. Но если у Вас нет метрики, т.е. Вы не понимаете смысла переменных
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
и
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
, то Вы этого сделать не сможете. Однако некая область на скатерти, граница которой определяется заданным в этих переменных уравнением, по-прежнему существует. И количество крошек хлеба, которые лежат на скатерти внутри этой области, мы по-прежнему посчитать можем.
Мы делаем это так: Сначала разбиваем всю область на маленькие кусочки, так что в каких-то есть только одна крошка хлеба, а в каких-то нет ни одной. Если в кусочке нет крошки хлеба, то мы говорим: "Плотность крошек хлеба в этом месте равна нулю". А если в кусочке обнаруживается крошка хлеба, то мы говорим: "Плотность крошек хлеба в этом месте равна
![$\frac{1}{dV}$ $\frac{1}{dV}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/f/35f276324689ed280bb4fc77547caea582.png)
", где
![$dV$ $dV$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/c/7ccb42e2821b2a382a72de820aaec42f82.png)
- объём кусочка, измеренный в чём угодно, т.е. за неимением квадратных метров, можно хоть в
![$dr$ $dr$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/c/75c03137bd2885990babaa56d40f7bb482.png)
на
![$d\varphi$ $d\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/8/4a8632aabaa3f6993cf02afac22b88b582.png)
. Интеграл по этой области представляет собой сумму произведений плотностей на ту же самую форму объёма, измеренную в том же "неизвестно чём". Поскольку произведение снова возвращает нас к скалярам, т.е. к не зависящим ни от чего количествам крошек, можно не беспокоиться о единицах измерения объёмов и спокойно заниматься подсчётами крошек.