Сохранение энергии в ОТО, гравитационные волны и черные дыры

[epros]

realeugene в сообщении #1649305 писал(а):

Четырехскорость $u_iu^i = c^2$. Слева у нас 4-скаляр. Его компоненты изменяются по правилам преобразования координат. При замене секунд на минуты $u^0$ уменьшается в 60 раз. Но квадрат модуля 4-скорости не изменяется. А справа у нас - скорость света. Которая при замене секунд на минуты возрастает в 60 раз. Так?

Вопрос был не об этом, не о длине вектора. Вопрос был о том, что:

realeugene в сообщении #1649305 писал(а):

делать выводы о масштабировании компонент 4-векторов и 4-тензоров при замене единиц измерения координат

приходится в силу формулы их преобразования. Поэтому какое отношение имеет энергия к нулевой компоненте вектора энергии-импульса объекта?

И ответа я пока не получил. Это печально, что тут развелось полно знатоков ОТО, готовых порассуждать об "отсутствии в ОТО законов сохранения", а некоторые даже мнят себя научными светилами мирового уровня, но никто не может математически корректно посчитать энергию распределённого объекта, зная его ТЭИ в каждой точке.

Ладно, я дам ещё одну подсказку. Хотя уже видно, что прохождение пункта 2 моей задачи провалено (да и к пункту 1 никто из светил так и не решился подойти, хотя все формулы для расчёта компонентов тензора Эйнштейна через заданную метрику известны). Так вот, энергия $E$ относительно заданной СО на самом деле является скаляром, ибо представляет собой свёртку вектора энергии-импульса с нулевым ковектором тетрады: $E=p^i e^{\underline{0}}_i$. Здесь подчёркнутый индекс - не тензорный, а означает номер ковектора в тетраде. Поскольку в стандартных координатах ИСО координаты нулевого ковектора тетрады равны $(e^{\underline{0}}_0,e^{\underline{0}}_1,e^{\underline{0}}_2,e^{\underline{0}}_3)=(1,0,0,0)$, физики, которые не слишком любят заморачиваться математическими тонкостями, говорят, что "энергия представляет собой нулевую компоненту вектора энергии-импульса".

[realeugene]

epros в сообщении #1649349 писал(а):

приходится в силу формулы их преобразования.

Значит, нужно в размерностях различать координатные и метрические метры и секунды. Чтобы не преобразовывать непреобразуемое и не интегрировать неинтегрируемое.

epros в сообщении #1649349 писал(а):

Так вот, энергия $E$ относительно заданной СО на самом деле является скаляром, ибо представляет собой свёртку вектора энергии-импульса с нулевым ковектором тетрады: $E=p^i e^{\underline{0}}_i$.

Вы выбираете в каждой точке четырехмерия некоторую локально-инерциальную систему отсчёта, и считаете поток чего-то через бесконечно малую трёхмерную гиперповерхность в ней. ОК. Есть две неприятности. Первая: кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчёта. Нулевая кинетическая энергия в системе отсчёта, в которой материя покоится. Но вас интересует не только энергия покоя материи, правда?

Вторая неприятность: выбираемые вами бесконечно малые чешуйки в кривом пространстве-времени не обязаны быть частями единой трёхмерной гиперповерхности, по которой можно было бы что-либо интегрировать.

[epros]

realeugene в сообщении #1649368 писал(а):

Значит, нужно в размерностях различать координатные и метрические метры и секунды.

Размерность будет такая, какая нам нужна. В каких бы попугаях ни измерялась временная координата $x^0$, если нам нужно получить местное время $d\tau$, измеряемое в секундах, то мы получим его сверткой вектора $dx^i$ с нулевым ковектором тетрады. А это значит, что $e^{\underline{0}}_0=\sqrt{g_{00}}$ будет измеряться в секундах, делённых на попугаев. С остальными ковекторами тетрады аналогично: Если мы хотим, чтобы перемещение в направлении изменения сферической координаты $\varphi$ (коя является углом), оказалось измеряемым в метрах, то соответствующая компонента тетрады окажется измеряемой в метрах, делённых на радианы.

realeugene в сообщении #1649368 писал(а):

Первая: кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчёта.

И что? Выбор тетрады и является выбором системы отсчёта. В самом буквальном смысле, ибо с точки зрения экспериментатора выбор тетрады - это выбор часов и линеек (в каждом из трёх пространственных направлений).

realeugene в сообщении #1649368 писал(а):

Нулевая кинетическая энергия в системе отсчёта, в которой материя покоится. Но вас интересует не только энергия покоя материи, правда?

И в чём проблема? Хотите получить энергию покоя - выбирайте систему покоя. Хотите получить энергию относительно лабораторной системы - выбирайте лабораторную систему.

realeugene в сообщении #1649368 писал(а):

выбираемые вами бесконечно малые чешуйки в кривом пространстве-времени не обязаны быть частями единой трёхмерной гиперповерхности, по которой можно было бы что-либо интегрировать.

Вы имеете какие-то претензии к определению понятия "элемент трёхмерного объёма"? Напоминаю, что объём рассчитывается как произведение длины, ширины и высоты, кои представляют собой расстояния, измеренные относительно заданной СО.

[realeugene]

epros в сообщении #1649382 писал(а):

Размерность будет такая, какая нам нужна.

А в тензорных плотностях объём метрический?

epros в сообщении #1649382 писал(а):

И что? Выбор тетрады и является выбором системы отсчёта.

Ну да. Но когда мы проинтегрируем энергию, не хотелось бы, чтобы результат интегрирования зависел от всех произвольно выбранных локальных систем отсчёта.

epros в сообщении #1649382 писал(а):

Вы имеете какие-то претензии к определению понятия "элемент трёхмерного объёма"?

Когда это бесконечно малая чешуйка - нет, не имею. А когда это две рядом расположенные бесконечно малые чешуйки - уже есть вопросы. Хотелось бы, чтобы эти две чешуйки соприкасались между собой краями без зазора размером с саму чешуйку, в который может что-нибудь пролезть незамеченное.

-- 11.08.2024, 14:00 --

epros в сообщении #1649382 писал(а):

Напоминаю, что объём рассчитывается как произведение ширины, высоты и глубины, кои представляют собой расстояния, измеренные относительно заданной СО.

И, нет, когда есть метрика, то системы отсчёта уже ни при чём. У параллелограмма, натянутого на произвольные вектора, есть определённый объём, да. Который может быть мнимым, хе-хе. Но замнём.

А, кстати, в тетраде орты нормированы на метрические метры?

[epros]

realeugene в сообщении #1649391 писал(а):

А в тензорных плотностях объём метрический?

Переведите на осмысленный язык. Что такое "объём в плотностях"?

realeugene в сообщении #1649391 писал(а):

не хотелось бы, чтобы результат интегрирования зависел от всех произвольно выбранных локальных систем отсчёта

Хочется Вам или нет, но энергия зависит от выбора системы отсчёта. Это даже не Эйнштейн, а ещё Галилей понимал. И, кстати, совсем не обязательно говорить про множество отдельных "локальных систем отсчёта", ибо поле тетрад - это и есть система отсчёта. Одна. Общая.

realeugene в сообщении #1649391 писал(а):

Хотелось бы, чтобы эти две чешуйки соприкасались между собой краями без зазора размером с саму чешуйку, в который может что-нибудь пролезть незамеченное.

В моей задаче про тяготеющую статичную сферу случай не такой, но вот Вам другая задача: Посчитайте объём внутри вращающегося тора, измеренный в СО его покоя. Пусть $R \gg r$, где $r$ - радиус окружности, вращением которой образован тор, а $R$ - расстояние от оси симметрии тора до центра этой окружности. Тор вращается вокруг своей оси симметрии относительно лабораторной ИСО с переменной угловой скоростью $\omega(t)$, где $t$ - время лабораторной ИСО. Соответственно, объём должен получиться как функция времени: $V(t)$.

Поясню к чему это всё: Эту задачку можно легко решить абсолютно школьными методами. Тем не менее, можно и поизощряться, перейдя из лабораторной ИСО в СО покоя тора, и выполнить интегрирование непосредственно в ней. При этом СО тора является несинхронной, ибо, как мы знаем, синхронизировать между собой по Эйнштейну все находящиеся на торе часы не получится. Так что те элементы трёхмерного объёма, которые стоят под интегралом, точно не будут ортогональны к гиперповерхности, по которой производится интегрирование. А зависимость результата от некоего "глобального времени" ещё добавляет интриги. Тем не менее, всё прекрасно считается и результат полностью соответствует школьному. Всё это нужно, чтобы прочувствовать, что расчёты в неинерциальных СО - это не фантастика.

-- Вс авг 11, 2024 15:47:56 --

realeugene в сообщении #1649391 писал(а):

И, нет, когда есть метрика, то системы отсчёта уже ни при чём. У параллелограмма, натянутого на произвольные вектора, есть определённый объём, да. Который может быть мнимым, хе-хе.

Вы о чём? Расстояния зависят от выбора системы отсчёта. Метрика пространства-времени - нет.

realeugene в сообщении #1649391 писал(а):

А, кстати, в тетраде орты нормированы на метрические метры?

Каким образом $e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ может оказаться нормированным?

[realeugene]

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Переведите на осмысленный язык. Что такое "объём в плотностях"?

ТЭИ - это плотность. Нечто с размерностью компонент импульса, делённое на объём. Какая единица измерения? Он должен меняться при замене координат как тензор. Значит, объём при этом не может меняться. Значит, объём в знаменателе дроби не в кубофутах-часах, а в гиперметрах. Верно?

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Хочется Вам или нет, но энергия зависит от выбора системы отсчёта.

Ну да. Но вы, значит, берёте для интегрирования некоторую выделенную систему отсчёта, не следующую из координат Шварцшильда.

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Тем не менее, всё прекрасно считается и результат полностью соответствует школьному.

Не очень убедительный аргумент, если честно. Возможно, бессмысленны и первый, и второй способы расчёта. В любом случае этот расчёт полагается на глобальное время.

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Вы о чём? Расстояния зависят от выбора системы отсчёта. Метрика пространства-времени - нет.

Метрика - это и есть расстояние между событиями. От системы отсчёта может зависеть расстояние между мировыми линиями. Когда выбирается локально ось времени, задаётся перпендикулярное ей неподвижное пространство как некоторое сечение и считается расстояние в нём между событиями пересечения этого пространства двумя разными мировыми линиями. Расстояние при этом даётся метрикой на многообразии, которая универсальна и от систем отсчёта не зависит.

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Каким образом $e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ может оказаться нормированным?

Ого, так у вас ещё и тетрады нормированы непонятно на что? Они должны быть нормированы по определению выбором постоянной матрицы их скалярных произведений. Но разные выборы тетрад будут давать совершенно разную "энергию", что выглядит ещё более бессмысленно.

В случае координат с диагональным метрическим тензором ваш нулевой базисный вектор тетрады нормирован на единицу. А так как скалярные произведения тетрадных векторов не зависят от метрического тензора, написанный вами вектор в большинстве случаев для недиагональных метрик не применим.

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1649106 писал(а):

Дважды свёртывать ТЭИ с ортом оси времени не нужно. Потому что дважды контравариантная тензорная плотность, свёрнутая с элементом трёхмерного объёма (который имеет ковариантный индекс), является контравариантным вектором и представляет собой тот самый четырёхвектор энергии-импульса материи, находящейся внутри данного элемента объёма в данный момент времени, который нас интересует.

Вы берете неправильную аналогию .... Такой унивесаальной 3-формы нет.... Есть универсальная 4-форма $d\Sigma = \sqrt{-g} dx^0\wedge\dots\wedge dx^n$, и имеется произвольная гиперповерхность S, причем мы рассматриваем ОТО с миллионами совершенно равноправных времениподобных координат, то есть нельзя заранее сказать что гиперповерхность имеет коорлинатное представление t=const. и на этой гиперповерзности нет универсального времениподобного вектора $\mathbf{w}$, такого что бы можно провести свертку с 4-формой $d\Sigma$, и получить универсальную форму на гиперповерхности $\Omega=d\Sigma(\mathbf{w})$. А теперь на наблюдыем-физический уровень... Гравитационное красное смещение наблюдательный факт. ТО есть один и то же фотон будет иметь разные частоты на разных высотах, и соотвественно разные способности выполнять работу - например в рамках фотоэффекта. И вы говорите у нас есть 100500 наблюдателей причем часть из них может быть ускорена относительно других , путь каждый из них чего-тол померяет, и мы сложим это все...Но это бессмысленно ибо у каждого из них будет свое красное смещение, свой доплеровский эффект и протчяя. Это мы еще не возращались к ситуации где метрика зависит от временной координаты (самой общей ситуации в ОТО) - с реликтом я ужо набил оскомину... раньше он формировал галактики , а теперь антенны в дестки метров с усилителями нужны что бы что-то померять. Так что не с чем сворачивать тензор энергии импульса на гиперповерхности

epros в сообщении #1649106 писал(а):

2) Что этот параметр $M$ в результате слияния чёрных дыр уменьшается. Отсюда мы и узнаём, что масса слитой дыры меньше суммы масс исходных.

задавал я этот вопрос Горькавому. задам и вам... Это все высосанные из пальца манипуляции,.. Вопрос собственно просто а шо там в ЧД масса кварков уменьшается до 0, по мере ее роста - масса вель теряк\ется в столкновениях с метриями и другими ЧД, а количество барионной материи растет

[epros]

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

ТЭИ - это плотность.

Плотность - это плотность, а ТЭИ бывают разные.

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

Но вы, значит, берёте для интегрирования некоторую выделенную систему отсчёта, не следующую из координат Шварцшильда.

Не значит. Система отсчёта выбирается сопутствующей координатам Шварцшильда.

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

Возможно, бессмысленны и первый, и второй способы расчёта

Приехали. Школьный вариант расчёта тоже будете опровергать? Тот самый, в котором на пальцах показывается, что во вращающейся СО длина окружности не равна $2\pi R$?

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

В любом случае этот расчёт полагается на глобальное время.

Вас это почему-то беспокоит?

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

Метрика - это и есть расстояние между событиями.
...
Расстояние при этом даётся метрикой на многообразии, которая универсальна и от систем отсчёта не зависит.

Метрика пространства-времени определяет инвариантные интервалы между событиями. При этом расстояния зависят от выбора СО. К чему все остальные разглагольствования?

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

Они должны быть нормированы по определению выбором постоянной матрицы их скалярных произведений.

Вам они точно ничего не должны. А я уже говорил, какому условию должен удовлетворять нулевой ковектор тетрады: При сворачивании с вектором $dx^i$ он должен давать скаляр, величина которого соответствует промежутку времени по местным эталонным часам. Этому удовлетворяет только ковектор с координатами $(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$.

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

Но разные выборы тетрад будут давать совершенно разную "энергию", что выглядит ещё более бессмысленно.

Так что выборы тетрад не "разные", а строго соответствуют выбранной СО в том смысле, который я изложил в предыдущем абзаце.

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

В случае координат с диагональным метрическим тензором ваш нулевой базисный вектор тетрады нормирован на единицу.

Разумеется в стандартных координатах ИСО $g_{00}=1$, потому что нулевая координата соответствует показаниям любых местных часов.

realeugene в сообщении #1649427 писал(а):

А так как скалярные произведения тетрадных векторов не зависят от метрического тензора, написанный вами вектор в большинстве случаев для недиагональных метрик не применим.

Выписанная мной формула нулевого ковектора тетрады подходит к любым координатам. А для других ковекторов тетрады я пока формул не выписывал.

pppppppo_98 в сообщении #1649432 писал(а):

Есть универсальная 4-форма $d\Sigma = \sqrt{-g} dx^0\wedge\dots\wedge dx^n$

Во-первых, $n=4$, во-вторых, Вы сейчас попытались выписать (не совсем корректно), форму 4-объёма, а нам нужна форма 3-объёма, которая имеет направление. В третьих, формы объёма не зависят от метрики (да, да, удивлены?), так что $\sqrt{-g}$ в ней неуместен. Этот множитель уместен там, где мы хотим из вектора или тензора сделать векторную или тензорную плотность. Тема для раздумий: Теорема Гаусса прекрасно излагается для пространств, не имеющих не только метрики, но и аффинной связности. Там поток векторной плотности через границу области оказывается равным интегралу от дивергенции оной векторной плотности (которая оказывается скалярной плотностью) по данной области.

pppppppo_98 в сообщении #1649432 писал(а):

И вы говорите у нас есть 100500 наблюдателей причем часть из них может быть ускорена относительно других , путь каждый из них чего-тол померяет, и мы сложим это все...

Гуглите понятие "тело отсчёта". Это такая распределённая в пространстве и имеющая продолжительность во времени штука. Можете, конечно, считать его за "100500 наблюдателей", вот только не надо говорить, что эти наблюдатели (для одного тела отсчёта) могут быть разные в одной и той же точке в один и тот же момент времени.

pppppppo_98 в сообщении #1649432 писал(а):

Вопрос собственно просто а шо там в ЧД масса кварков уменьшается до 0, по мере ее роста - масса вель теряк\ется в столкновениях с метриями и другими ЧД, а количество барионной материи растет

Там нет никаких кварков, есть только гравитационное поле, энергия которого уменьшается в результате слияния чёрных дыр.

[piksel]

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Там нет никаких кварков, есть только гравитационное поле, энергия которого уменьшается в результате слияния чёрных дыр.

Если гравитационное поле само не является источником гравитации, а гравитационная масса, допустим, двух тел при слиянии таки уменьшается при сохранении числа атомов, значит, присутствует еще что-то, что уменьшает эту массу.

[realeugene]

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Метрика пространства-времени определяет инвариантные интервалы между событиями. При этом расстояния зависят от выбора СО. К чему все остальные разглагольствования?

"Школьный" - это заведомо неправильный, в котором используются формулы СТО для глобальных инерциальных систем отсчёта в пространстве Минковского, но при вычислении длины окружности постоянно переходят между такими различными инерциальными системами отсчёта? Нюанс в том, что если так посчитать, то начальная и конечная точки интегрирования окажутся разными точками в неподвижном пространстве. "Однако за время пути собака могла подрасти". Или вы какой-то другой неправильный школьный расчёт подразумеваете?

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Вам они точно ничего не должны.

Освежите определение тетрады из ЛЛ2. Тетрадные базисы должны удовлетворять некоторым глобальным свойствам. Видимо, вы рассуждаете про что-то другое, но не про тетрады, определённые в ЛЛ2.

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Разумеется в стандартных координатах ИСО $g_{00}=1$, потому что нулевая координата соответствует показаниям любых местных часов.

Нормы тетрадных векторов не должны зависеть от координат глобально. А у вас $e_ie^i=\sqrt{g_{00}g^{00}}$. В недиагональной метрике это не обязательно единица.

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Метрика пространства-времени определяет инвариантные интервалы между событиями. При этом расстояния зависят от выбора СО.

Единица измерения длины интервала - метр. Можно выбрать световую секунду, это не важно. Выбор глобален. Метрика, также, индуцирует любые расстояния в любых пространствах меньшей размерности в этом четырехмерии. Нет там и не может быть никаких других эталонов метров.

-- 11.08.2024, 20:00 --

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Там нет никаких кварков, есть только гравитационное поле, энергия которого уменьшается в результате слияния чёрных дыр.

Все кварки продолжают лететь к слившемуся горизонту.

[Geen]

realeugene в сообщении #1649468 писал(а):

Все кварки продолжают лететь к слившемуся горизонту.

Ага, и будущее они предсказывают...

[realeugene]

Geen в сообщении #1649476 писал(а):

Ага, и будущее они предсказывают...

Зачем? Настоящее глобально же. По крайней мере, нас с epros это не смущает.

[Geen]

realeugene в сообщении #1649477 писал(а):

Зачем?

Курить определение "горизонта событий"....

[realeugene]

Geen в сообщении #1649481 писал(а):

Курить определение "горизонта событий"....

В нашем глобальном настоящем до него ещё ни один кварк не долетел.

[epros]

realeugene в сообщении #1649468 писал(а):

"Школьный" - это заведомо неправильный

Так, значит школьный способ Вы тоже не понимаете...

realeugene в сообщении #1649468 писал(а):

Освежите определение тетрады из ЛЛ2

Нет необходимости. Я дал своё определение и объяснил, как и для чего используется это понятие.

realeugene в сообщении #1649468 писал(а):

Нормы тетрадных векторов не должны зависеть от координат глобально. А у вас $e_ie^i=\sqrt{g_{00}g^{00}}$.

Я не знаю, что Вы имеете в виду под $e^i$ и $e_i$. Я говорил о ковариантной тетраде $e^{\underline{a}}_i$, но можно ещё говорить о сопряженной ей контравариантной тетраде $e^i_{\underline{a}}$. Они связаны соотношением $e^{\underline{a}}_i e^i_{\underline{b}} = \delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$, где $\delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$ - символ Кронекера. Нетрудно заметить, что в терминах линейной алгебры это соответствует тому, что матрица координат ковариантной тетрады, умноженная на матрицу координат контравариантной тетрады, даёт единичную матрицу. Т.е. одна матрица является обратной к другой.

realeugene в сообщении #1649468 писал(а):

Метрика, также, индуцирует любые расстояния в любых пространствах меньшей размерности в этом четырехмерии. Нет там и не может быть никаких других эталонов метров.

Похоже, что Вы определения расстояний не знаете.

-- Пн авг 12, 2024 00:15:06 --

piksel в сообщении #1649456 писал(а):

Если гравитационное поле само не является источником гравитации

Является.

piksel в сообщении #1649456 писал(а):

уменьшается при сохранении числа атомов

Там нет никаких атомов.

piksel в сообщении #1649456 писал(а):

присутствует еще что-то, что уменьшает эту массу.

Я писал о том, что уменьшает эту массу:

epros в сообщении #1649106 писал(а):

3) Что через данную поверхность наружу уходит поток гравитационного излучения, уносимая которым энергия (измеренная относительно той же системы отсчёта) удивительным образом оказывается равной уменьшению данного параметра $M$.

epros в сообщении #1649443 писал(а):

есть только гравитационное поле, энергия которого уменьшается в результате слияния чёрных дыр