кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646920 писал(а):

Может надо теперь по 500-800 знаков даже по коротким паттернам всё пересчитывать ?

Что всё? Константы C и интегральный логарифм в степени? Так и то и другое считается за десятки секунд, хватит получаса на всё.
Тем более что можно сразу оценить нужную точность для каждой длины паттерны (а от C она практически не зависит), просто по интегральному логарифму в степени. Независимо от конкретного паттерна.

И да, при возведении логарифма под интегралом в степень результат уже не будет интегральным логарифмом (Li2), будет нечто производное от него, посмотрите как вольфрам аналитически его берёт.

Yadryara в сообщении #1646920 писал(а):

Видите, третьи разности хорошо себя ведут только после 1е50.

Подозреваю это тоже артефакт нехватки точности вычислений. Берите интеграл не от 2, а кусочками, например между степенями десятки. И цифр сделайте хотя бы сотню.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1646923 писал(а):

И да, при возведении логарифма под интегралом в степень результат уже не будет интегральным логарифмом (Li2), будет нечто производное от него

Ну это да, разговорное упрощение с моей стороны.

Dmitriy40 в сообщении #1646923 писал(а):

Берите интеграл не от 2, а кусочками, например между степенями десятки.

Что-то боязно пока

Даже с \p 500 шустро считает.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646924 писал(а):

Что-то боязно пока

Интеграл вещь аддитивная, можно брать кусками, главное не допускать пропусков. Зато вон как хорошо видно нарастание количества кортежей, 1-7-32-153-761-... Примерно в 5 раз на каждый порядок.
И кстати этот коэффициент снова не зависит от конкретного паттерна, только от его длины. Так что полезно посчитать интеграл для каждой длины отдельно (заменив константу на 1) и потом лишь домножать на нужную константу в зависимости от конкретного паттерна, не считая интеграл каждый раз заново.

-- 20.07.2024, 13:40 --

Кстати, может и очевидно, но скажу: раз коэффициент меньше 10, то количество кортежей падает с ростом величины чисел. Что конечно же прямо следует из теоремы о распределении простых чисел. И значит чем больше числа, тем менее вероятно найти решение за то же время. Т.е. нет никакого смысла запускать счёт на 1e30 и тем более на 1e40.

[Yadryara]

А-а-а, Вы оказывается две добавку сделали к старому посту! Говорил же: если что-то важное, лучше отдельным постом.

Dmitriy40 в сообщении #1646916 писал(а):

Только не понял это чистых или всех включая и грязные.

Ну как же не поняли, когда я и вчерашним утром:

Yadryara в сообщении #1646757 писал(а):

Ну а пока подтверждение того, что 1-я гипотеза Харди-Литтлвуда именно о всех кортежах.

и сегодняшним утром подробнейшим образом расписывал на коротких паттернах! И не только показал как обходным путём чистые посчитать, но и посчитал.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1646916 писал(а):

А если интеграл брать не от 2, а от предыдущей степени десятки, то получим количество кортежей между степенями десятки,

А складывать не забывали? Потому что я не забыл и у меня числа при 1000 знаков отличаются от Ваших:

   realprecision = 1001 significant digits (1000 digits displayed)
  ***   Warning: new stack size = 1073741824 (1024.000 Mbytes).


19     [0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252]

10^     HL-1 x24/11                       Posl/Pred     

10    4.0829670339027302331 e-7        
11    1.0208967094989750941 e-6        2.50
12    2.1154619399385501704 e-6        2.07
13    4.3760217142784627235 e-6        2.07
14    9.6511673504545583210 e-6        2.21
15    2.3315954127547756332 e-5        2.42
16    6.2059588346628939523 e-5        2.66
17    0.00018093036760753738344        2.92
18    0.00057191773415428873369        3.16
19    0.0019399144000647624697        3.39
20    0.0069981976059839172378        3.61
21    0.026654775234130129609        3.81
22    0.10655298841820382334        4.00
23    0.44486034706363102367        4.18
24    1.9317722199750494549        4.34
25    8.6942641180382782259        4.50
26    40.432823951025358314        4.65
27    193.77987359813911998        4.79
28    954.87217631728535629        4.93
29    4827.7980926547712329        5.06
30    24999.088285187274407        5.18
31    132360.52509937921954        5.29
32    715504.48746065279034        5.41
33    3943744.0393915787389        5.51
34    22137315.605051685894        5.61
35    126411382.01065135946        5.71
36    733600247.27500845759        5.80
37    4322639328.3835142969        5.89
38    25839961651.604012347        5.98
39    156586556841.71479954        6.06
40    961234729273.79070095        6.14
41    5973555912827.6155927        6.21
42    37557977237317.707114        6.29
43    238777609581848.86395        6.36
44    1534195755149347.5339        6.43
45    9957561788880147.7563        6.49
46    65255004428619433.865        6.55
47    431598291804653418.48        6.61
48    2879910840738401969.2        6.67
49    1.9379876226721280916 e19        6.73
50    1.3147547040814973344 e20        6.78
51    8.9891480444286538489 e20        6.84
52    6.1921162147259023714 e21        6.89
53    4.2961643690667122513 e22        6.94
54    3.0014113959872242346 e23        6.99
55    2.1108689178210535903 e24        7.03
56    1.4941097324703853206 e25        7.08
57    1.0641168149784692990 e26        7.12
58    7.6240736310527463511 e26        7.16
59    5.4939680741077788282 e27        7.21
60    3.9810840893608395240 e28        7.25

На больших высотах отлично сходится со значениями полученными предыдущим способом.

А посмотрите, кэф-то какой

        Yadr         HL-1      Kprev

10^24:  11.28843 /  1.93177    5.84
10^25:  51.97412 /  8.69426    5.98
10^26: 246.69127 / 40.43282    6.10

А Вы говорите "вилами по воде"! Это даже не водой по вилам, это я смотрел по тренду. Ещё спрашивал какие будут мнения и никто не сказал.

Yadryara в сообщении #1645855 писал(а):

Более склонен к такой картинке:

03   1.19
05   1.41     22
07   1.69     28   6
09   2.06     37   9
11   2.54     48  11
13   3.16     62  14
15   3.94     78  16
17   4.91     97  19
19   6.09    118  21

Всего лишь допустил, что вторые разности растут без ускорения, прибавляя то 3, то 2 — и сразу кэф в итоге оказался выше 6-ти.

Какие будут мнения?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646937 писал(а):

А складывать не забывали? Потому что я не забыл и у меня числа при 1000 знаков отличаются от Ваших:

Я специально не складывал (чтобы меньше программу исправлять), написал же "между степенями десятки", а не "от нуля до степени десятки".

Yadryara в сообщении #1646937 писал(а):

А посмотрите, кэф-то какой!

Вот теперь в него верю. Но теперь он и не сильно нужен ибо есть более достоверный способ вычисления количества кортежей.
Ещё бы долю чистых вычислить ...

И раз 8-9шт до 1e25 это грязных, то выходит первый из них уже нашёлся, на 1.3e24, и второго нет до 1.65e24. Что вполне логично. Можно считать подтверждением правильность вычислений, и оценки здесь, и моих поисков.

-- 20.07.2024, 16:31 --

На самом деле что HL-1 обо всех кортежах (и чистых и всех возможных грязных той же длины) довольно очевидно - именно из-за интеграла с обратным логарифмом, это явная отсылка к теореме о распределении простых чисел и вероятности одновременного появления k простых, без указания диаметра или информации о других простых рядом/внутри. И тип кортежа кодируется константой, а не интегралом. И кстати в формулах интегралы паттернов одинаковой длины можно выносить за скобки, они же зависят только от диапазона и длины паттерна, но не от внутренней структуры кортежа (которая учитываются в константе).

Dmitriy40 в сообщении #1646941 писал(а):

И раз 8-9шт до 1e25 это грязных, то выходит первый из них уже нашёлся, на 1.3e24, и второго нет до 1.65e24. Что вполне логично. Можно считать подтверждением правильность вычислений, и оценки здесь, и моих поисков.

А в этом я значит неправ, ведь длина того грязного кортежа 22, а значит и интеграл будет достаточно другим (и константа перед ним).

Выходит HL-1 и Ваши вычисления константы говорят что до 1e25 должно быть 8-9 кортежей длины ровно 19 и строго с тем же количеством остатков по модулю каждого простого 2-113 (ведь кроме количества никаких других данных об разрешённых остатках не используется). А есть ли другие такие паттерны вообще? Если нет, то HL-1 будет говорить таки об чистых ибо других просто нет ...

-- 20.07.2024, 16:32 --

Если что, я теорию не смотрел, только код программы, говорили она правильно всё вычисляет.

-- 20.07.2024, 16:50 --

Не, что-то я запутался какие именно кортежи подсчитывает HL1.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1646941 писал(а):

Я специально не складывал (чтобы меньше программу исправлять), написал же "между степенями десятки", а не "от нуля до степени десятки".

Ну так я от нуля и не считал. Смотрите как я сделал:

for(po = 10, 100,
otr = intnum(t=10^(po-1), 10^po, C/log(t)^#v);
Li2 +=  otr;

Dmitriy40 в сообщении #1646941 писал(а):

Ещё бы долю чистых вычислить ...

Вот здесь как раз могут помочь те самые ww[] и a[] из более ранних прог.
Нужно считать изначальный паттерн, затем из результата вычесть результат обсчёта паттернов с одинарным загрязнением, а паттерны с двойным и тройным загрязнением нужно считать только в случае их уникальности, если они не преемники.

Говорю же, я сегодня подробно описал как считать чистый кортеж 3-12. Вот прога. Да, там Li2 по старому считался.

{CalcHL()=my(C,MC,BC,PM,v,p,m);
v=ve;

MC = 2^(#v-1); 
forprime(p=3,#v, m=p-#Set(-v%p);MC *= m/p/(1 - 1/p)^#v);

PM = 1;
forprime(p=#v+1,v[#v]/2, m=p-#Set(-v%p);PM *= m/(p - #v));
C = MC * PM;return(C);}


{print(); Liold=1;

vchis=[0, 6, 12];

print();print(#vchis,"     ",vchis);print();

fc = [ 0,  1,  13,   58,   322, 1929, 12313, 83446, 595279, 4383099, 0 ];

ve=vchis;

C1=CalcHL();
BC = prodeulerrat(( p^#ve - #ve*p^(#ve-1) )/(p-1)^#ve, 1, nextprime(#ve
+1)); C1*=BC;v1=ve;

ve=[0, 2, 6, 12];

C2=CalcHL();
BC = prodeulerrat(( p^#ve - #ve*p^(#ve-1) )/(p-1)^#ve, 1, nextprime(#ve
+1));C2*=BC;v2=ve;

ve=[0, 4, 6, 12];

C3=CalcHL();
BC = prodeulerrat(( p^#ve - #ve*p^(#ve-1) )/(p-1)^#ve, 1, nextprime(#ve
+1));C3*=BC;v3=ve;

print("10^     HL-1        Posl/Pred     Fact    Pogresh");
print();


for(po = 1, #fc,

H1 = intnum(t=2, 10^po, C1/log(t)^#v1);
H2 = intnum(t=2, 10^po, C2/log(t)^#v2);
H3 = intnum(t=2, 10^po, C3/log(t)^#v3);

Li2 = H1 - 2*H2 - 2*H3;

if(fc[po]<>0,
printf("%d    %.8g         %.3g        %d    %.3g\n",po,Li2,Li2/Liold,fc
[po],(Li2-fc[po])/fc[po]),
printf("%d    %.8g        %.3g\n",po,Li2,Li2/Liold));
Liold=Li2;
);

print();
}quit;

Вот ключевая формула: Li2 = H1 - 2*H2 - 2*H3;

Dmitriy40 в сообщении #1646941 писал(а):

А в этом я значит неправ, ведь длина того грязного кортежа 22, а значит и интеграл будет достаточно другим (и константа перед ним).

Нет, здесь и дальше Вы перемудрили. Для ВСЕХ длин сразу для 19-252 работает HL-1 : от 19 до 49 включительно. Можете проверить на других паттернах.

[Dmitriy40]

Вот для 7-108-2 и 7-108-4 константа C одинакова (по программе), соответственно и количества получаются одинаковыми. Что реально и наблюдаем (проверили выше до 1e13).
Есть ли для 19-252 такие же аналоги (с теми же количествами остатков по модулю малых простых) мне непонятно. Симметричного точно нет, а вот несимметричного ...

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1646916 писал(а):

А если интеграл брать не от 2, а от предыдущей степени десятки, то получим количество кортежей между степенями десятки, что намного ближе к истине:

Формула асимптотическая, т.е. дает более точный результат при увеличении диапазона.

-- 20.07.2024, 17:13 --

Dmitriy40 в сообщении #1646923 писал(а):

Подозреваю это тоже артефакт нехватки точности вычислений. Берите интеграл не от 2, а кусочками, например между степенями десятки. И цифр сделайте хотя бы сотню.

Увеличивая количество цифр в неточном результате точность не достигается.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1646946 писал(а):

Увеличивая количество цифр в неточном результате точность не достигается.

Количество цифр увеличивается не только в результате, но и во всех промежуточных вычислениях (включая и все встроенные функции типа логарифма и интеграла), что и дает увеличение точности.

-- 20.07.2024, 17:33 --

Yadryara
Да, похоже HL1 выдаёт всё же общее количество всех кортежей, и чистых и всех возможных грязных. Во всяком случае для 7-108 это так и нет оснований быть по другому для прочих паттернов.
Ну значит на 1.3e24 уже таки найден первый из 8-9 грязных 19-252 до 1e25, уже что-то.
А чистых до 1e25 выходит может и не быть, если их вероятность менее 10%-15%.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1646941 писал(а):

написал же "между степенями десятки", а не "от нуля до степени десятки".

Так делать нельзя из-за низкой точности результата. Смотрите здесь в формулах https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html знак $\sim$ асимптотического равенства. Вы знаете определение асимптотического равенства?

Цитата:

И раз 8-9шт до 1e25 это грязных, то выходит первый из них уже нашёлся, на 1.3e24, и второго нет до 1.65e24. Что вполне логично. Можно считать подтверждением правильность вычислений, и оценки здесь, и моих поисков.

Не надо торопиться делать выводы с кортежем 19-257, так как они основываются на неточных результатах.

Цитата:

На самом деле что HL-1 обо всех кортежах (и чистых и всех возможных грязных той же длины) довольно очевидно - именно из-за интеграла с обратным логарифмом, это явная отсылка к теореме о распределении простых чисел и вероятности одновременного появления k простых, без указания диаметра или информации о других простых рядом/внутри. И тип кортежа кодируется константой, а не интегралом. И кстати в формулах интегралы паттернов одинаковой длины можно выносить за скобки, они же зависят только от диапазона и длины паттерна, но не от внутренней структуры кортежа (которая учитываются в константе).

Это верно - гипотеза основана на вероятностных предпосылках. Вот и разберитесь в теории сначала.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1646947 писал(а):

Да, похоже HL1 выдаёт всё же общее количество всех кортежей, и чистых и всех возможных грязных. Во всяком случае для 7-108 это так и нет оснований быть по другому для прочих паттернов.

Так проверено уже весьма немаленькое количество разных кортежей.

Вы заметили, что для нахождения количества чистых для 3-12 были сначала найдены количества всех для трёх паттернов? И очень важно для каких именно паттернов.

Вы же понимаете, что если бы хоть один паттерн был обсчитан неверно, то и количество чистых не сошлось бы. А оно сошлось. И для 2-6 тоже.

vicvolf в сообщении #1646950 писал(а):

Вот и разберитесь в теории сначала.

Давно хотел сказать. Оставьте уже этот тон. Мы здесь не на экзамене, мы коллеги и соратники. Надеюсь.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1646950 писал(а):

Так делать нельзя из-за низкой точности результата.

Т.е. Вы опровергаете формулу

$$\int_a^c f(t) dt = \int_a^b f(t) dt + \int_b^c f(t) dt,\;\;100<a<b<c$$

для любой "хорошей" (в некотором смысле, типа непрерывности) функции $f(x)$? Функция $f(x)=1/\ln^{19}(x)$ - хорошая в данном контексте.
Если таки опровергаете - продемонстрируйте! Потому что у меня что суммировать, что вычислять прямо - выдаёт строго одинаковые результаты (до 6-го знака после запятой, что более чем за глаза). Без всякой потери точности.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646952 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646950 писал(а):

Вот и разберитесь в теории сначала.

Давно хотел сказать. Оставьте уже этот тон. Мы здесь не на экзамене, мы коллеги и соратники. Надеюсь.

Я практически в начале темы сказал, что для прогноза количества простых кортежей надо использовать первую гипотезу Харди-Литтлвуда. Но почему то никто теорию не смотрел. Поэтому я не участвовал. В результате потеряли кучу времени и только сейчас спустя 50 страниц темы вернулись к этому вопросу.

Dmitriy40 в сообщении #1646954 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646950 писал(а):

Так делать нельзя из-за низкой точности результата.

Т.е. Вы опровергаете формулу

$$\int_a^c f(t) dt = \int_a^b f(t) dt + \int_b^c f(t) dt,\;\;100<a<b<c$$

для любой "хорошей" (в некотором смысле, типа непрерывности) функции $f(x)$? Функция $f(x)=1/\ln^{19}(x)$ - хорошая в данном контексте.

У нас знак асимптотического равенства, а не просто равенства. Вы знаете что это такое? Сомневаюсь. Посмотрите https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1 ... 0%B2%D0%BE Там равенство в пределе при диапазоне стремящемся к бесконечности. Поэтому гипотеза не работает на малых интервалах. Вы прежде, чем спорить, хотя бы посмотрите о чем разговор.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1646955 писал(а):

У нас знак асимптотического равенства, а не просто равенства.

В программах нет знака асимптотическое равенство. Есть знак равенства.
Так Вы опровергаете формулу суммы интегралов?
Я ведь использовал именно её. И получил совершенно корректный/идентичный результат. И потому Вам в данном случае не верю.

vicvolf в сообщении #1646955 писал(а):

Я практически в начале темы сказал, что для прогноза количества простых кортежей надо использовать первую гипотезу Харди-Литтлвуда. Но почему то никто теорию не смотрел.

Неправда, когда Вас попросили хоть что-то посчитать по этой вашей теории, Вы выкатили оценку $10^{36}$ до первого кортежа 19-252, что совершенно неадекватно, что было показано там же чуть ниже для 17-240 и 15-228. Разумеется дальше никто и не стал разбираться, то ли теория не та, то ли Вы её применить не сумели. А теперь оказалось применить не сумели.

-- 20.07.2024, 19:28 --

vicvolf в сообщении #1646955 писал(а):

Вы прежде, чем спорить, хотя бы посмотрите о чем разговор.

Ровно такая же просьба к Вам - прежде чем спорить посмотрите что я упрощал/модифицировал лишь правую часть равенства, хоть точного, хоть асимптотического, это уже вообще без разницы, интеграл он и есть интеграл и есть формула (точная!) замены одного интеграла на сумму нескольких.

-- 20.07.2024, 19:38 --

vicvolf в сообщении #1646955 писал(а):

Вы прежде, чем спорить, хотя бы посмотрите о чем разговор.

Поясню совсем по простому: $(a \sim b) \wedge (b=c+d) \Rightarrow (a \sim c+d)$, т.е. из первых двух выражений в скобках следует и третье.