кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646640 писал(а):

Вот, кстати, для $k=1$ у них более сложная формула (4) :

$$C(m)=2\prod_{p>2}^{\infty}\frac{p(p - 2)}{(p - 1)^2}\prod_{p|m}\frac{(p - 1)}{(p - 2)}$$

https://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html

Формула (4) получается тоже из формулы (2) при $k=1$. Так что к формуле (4) никаких поправочных коэффициентов не надо. Она описывает все случаи.

[Yadryara]

Dmitriy40
Ну да, это же я Ваш кусок кода брал, не вникая, главное, что он разрешённые остатки выдавал. Кстати, сразу по нескольким причинам m лучше переименовать в raz или r.

vicvolf в сообщении #1646656 писал(а):

Формула (4) получается тоже из формулы (2) при $k=1$.

Ну а как она получается, Вы рассказали?

Я-то правильную формулу в новом куске написал?

vicvolf в сообщении #1646656 писал(а):

Так что к формуле (4) никаких поправочных коэффициентов не надо.

Конечно, потому что как я и говорил, нужна более сложная формула. Вот она как раз такая более сложная и есть, ведь в ней два циклических произведения, последнее из которых я по-привычке именую PM.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1646656 писал(а):

Yadryara в сообщении #1646640 писал(а):

Вот, кстати, для $k=1$ у них более сложная формула (4) :

$$C(m)=2\prod_{p>2}^{\infty}\frac{p(p - 2)}{(p - 1)^2}\prod_{p|m}\frac{(p - 1)}{(p - 2)}$$

https://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html

Формула (4) получается тоже из формулы (2) при $k=1$. Так что к формуле (4) никаких поправочных коэффициентов не надо. Она описывает все случаи.

Я имел в виду, что к формуле (2) поправочных коэффициентов не надо.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1646655 писал(а):

можно не делать setminus, а сделать просто m=p-#Set(-v%p)

Не, не сработало это упрощение.

А чего по гипотезе HL-1 не высказываетесь ? Надо же как занятно получилось — мы как раз всеми (чистыми и грязными) кортежами занялись, а она как раз про них, про все.

Да, я проверил этот новый кусок кода, он пока правильный и универсальный. То есть если $PM=1$, то новый код его не портит, а в сложных случаях вычисляет тот $PM$ который нужен.

Кстати, показывает, что для 19-252 $PM=\dfrac{24}{11}$

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646661 писал(а):

Не, не сработало это упрощение.

Странно, может забыли убрать # от m в следующей формуле?

[Yadryara]

Dmitriy40, да не убрал. У меня в 2-х местах именно разрешённые остатки, так проще формулы.

vicvolf в сообщении #1646660 писал(а):

Я имел в виду, что к формуле (2) поправочных коэффициентов не надо.

Возможно, но я не склонен в таких вопросах верить на слово. Покажите, пожалуйста, как те формулы, что у меня в программе, следуют из формулы (2).

v=[0,6,12,30,42,72,90,96,120,126,132,156,162,180,210,222,240,246,252];

MC = 2^(#v-1); 

forprime(p=3,#v, m=p-#Set(-v%p);
MC *= m/p/(1 - 1/p)^#v);
BC = prodeulerrat(( p^#v - #v*p^(#v-1) )/(p-1)^#v, 1, nextprime(#v+1));

PM = 1;
forprime(p=#v+1,v[#v]/2, m=p-#Set(-v%p);
PM *= m/(p - #v));

C = MC * BC * PM;

for(po = 1, 100,

Li2 = intnum(t=2, 10^po, C/log(t)^#v);

Li2 это и есть количество всех кортежей. Оно во 2-м столбце:

19     [0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252]

10^    HL-1  24/11      Posl/Pred     Fact    Pogresh

37    7.482339 e10        0.365
38    2.366044 e11        3.16
39    2.340443 e11        0.989
40    1.174290 e12        5.02
41    6.047189 e12        5.15
42    3.778631 e13        6.25
43    2.388353 e14        6.32
44    1.534438 e15        6.42
45    9.957602 e15        6.49
46    6.525521 e16        6.55
47    4.315983 e17        6.61
48    2.879911 e18        6.67
49    1.937988 e19        6.73
50    1.314755 e20        6.78
51    8.989148 e20        6.84
52    6.192116 e21        6.89
53    4.296164 e22        6.94
54    3.001411 e23        6.99
55    2.110869 e24        7.03
56    1.494110 e25        7.08
57    1.064117 e26        7.12
58    7.624074 e26        7.16
59    5.493968 e27        7.21
60    3.981084 e28        7.25

[gris]

Dmitriy40, спасибо!
Скачал и буду просматривать внимательно.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646670 писал(а):

Покажите, пожалуйста, как те формулы, что у меня в программе, следуют из формулы (2).

Это ваша программа. Значит это Вы должны доказать, что она соответствует формуле (2), в чем я не уверен, так как Вы не понимаете формулу (2).
Контрольный вопрос - докажите формулу (5) https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html исходя из формулы (2).

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646676 писал(а):

Значит это Вы должны доказать, что она соответствует формуле (2), в чем я не уверен, так как Вы не понимаете формулу (2).

Нет слово "должны" здесь неуместно. Предлагаю Вам взять его назад.

А Вы понимаете формулу (2) ?

Мою программу я предлагаю обсуждать именно потому что никакой другой нет. Напишете свою или хотя бы опишете алгоритм — будем обсуждать Вашу.

vicvolf в сообщении #1646676 писал(а):

Контрольный вопрос - докажите формулу (5) https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html исходя из формулы (2).

Я не умею доказывать. Предлагаю это сделать Вам.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646684 писал(а):

Нет слово "должны" здесь неуместно. Предлагаю Вам взять его назад.

Хорошо, заменим на слово "можете")

Цитата:

А Вы понимаете формулу (2) ?

Да

Цитата:

Мою программу я предлагаю обсуждать именно потому что никакой другой нет. Напишете свою или хотя бы опишете алгоритм — будем обсуждать Вашу.

Можно обсудить формулу (2).

[Yadryara]

Внимательно слушаем,

Dmitriy40 в сообщении #1636845 писал(а):

Не томите.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646684 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646676 писал(а):

Контрольный вопрос - докажите формулу (5) https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html исходя из формулы (2).

Я не умею доказывать. Предлагаю это сделать Вам.

Давайте завтра с утра.

[Yadryara]

Ну а пока подтверждение того, что 1-я гипотеза Харди-Литтлвуда именно о всех кортежах.

0 - 10^              1   2   3    4     5

[0, 6]    чистые     0   7  44  299  1940          A093738
[0, 2, 6]            1   4  15   55   259          A022004
[0, 4, 6]            1   5  15   57   248          A022005

[0, 6]    все        2  16  74  411  2447          A023201

Здесь хорошо видно, что значения в последней строке являются суммой значений в трёх предыдущих строках.

Кортеж [0, 6] можно загрязнить лишь одним простым числом лишь двумя способами. И оба способа здесь представлены: это кристаллы [0, 2, 6] и [0, 4, 6]. Для них количество всех и есть количество чистых.

[Yadryara]

Но нас-то больше всего интересуют именно чистые кортежи. Как же нам вычислить количество чистых для паттерна [0, 6] для диапазона $0-x$ ?

Очевидно: посчитать количество всех для паттерна [0, 6] и вычесть из него количества для кристаллов [0, 2, 6] и [0, 4, 6]. А поскольку количества для этих кристаллов асимптотически равны, возьмём удвоенное число любого из них:

$$HL_x[0, 6]_c=HL_x[0, 6]-2HL_x[0, 2, 6]$$

$$HL_x[0, 6]_c=4\prod_{p\geqslant3}^{\infty}\frac{p(p - 2)}{(p - 1)^2}\int\limits_{2}^{x}\frac{d x'}{(ln x')^2}-9\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^2(p - 3)}{(p - 1)^3}\int\limits_{2}^{x}\frac{d x'}{(ln x')^3}$$

Этот приём можно использовать и для других кортежей.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1646676 писал(а):

докажите формулу (5) https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html исходя из формулы (2).

Для определения коэффициента $C$ в формуле (2) рассмотрим сравнение: $x(x+6)=0(modp)$ (1), где $p \geq 3$.

Это сравнение эквивалентно двум сравнениям: $x=0(modp)$ (2) и $x+6=0(modp)$ (3).

Сравнение (2) иммеет одно решение, равное 0, при любом $p \geq 3$.

Сравнение (3) имеет одно решение равное 0 при $p=3$ и одно решение, не равное 0, при $p>3$.

Таким образом, сравнение (1) имеет одно решение при $p=3$ и два решения при $p>3$.

Учитывая последнее:

$C=2 \frac{1-1/3}{(1-1/3)^2} \prod_{p \geq 5} {\frac{1-2/p}{(1-1/p)^2}}=$$4\frac{(1-2/3)}{(1-1/3)^2}\prod_{p \geq 5} {\frac{1-2/p}{(1-1/p)^2}}=4\prod_{p \geq 3} {\frac{1-2/p}{(1-1/p)^2}}$,

что соответствует формуле (5).