retertyВ этой задаче, естественно, можно записать интеграл энергии

, но её особенность в том, что энергия равна сумме двух слагаемых
![$\begin{array}{l}f_1=\frac 1 2 v_x^2+\frac k 2 x^2\,,\\[1ex]f_2=\frac 1 2 v_y^2+\frac k 2 y^2\,,\end{array}$ $\begin{array}{l}f_1=\frac 1 2 v_x^2+\frac k 2 x^2\,,\\[1ex]f_2=\frac 1 2 v_y^2+\frac k 2 y^2\,,\end{array}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/b/45b60a753a214770b5fb28871ad8596a82.png)
сохраняющихся и по отдельности. Кроме того, сохраняется момент импульса

У нас уже есть три первых интеграла, неужели найдётся четвёртый? Применим теорему Пуассона (по совету
drzewo) и вычислим

как скобку Пуассона

и

:

Интегралы

и

функционально независимы (и это уже некоторое везение, теорема Пуассона этого не гарантирует). Однако набор

, конечно, уже функционально зависим:

Иначе получилось бы, что в

ненулевой вектор

аннулирует четыре линейно независимые 1-формы

.
Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.
Я про это ничего не знаю, просветите.