Первые инетгралы

[Norma]

Материальная точка совершает плоское движение, ее кинетическая энергия: $T=(\dot{x}^2+\dot{y}^2)/2$. И потенциальная энергия: $V=x$. Правильно ли я понимаю, что система обладает двумя первыми интегралами, но из физических соображений можно определить только один инетграл - интеграл энергии?

[amon]

Norma в сообщении #1640543 писал(а):

система обладает двумя первыми интегралами, но из физических соображений можно определить только один интеграл - интеграл энергии?

Сразу видно два первых интеграла - энергия (система трансляционно-инвариантна во времени) и импульс $p_y$ (трансляционная инвариантность вдоль $y$).

[Norma]

amon
Спасибо! А если потенциал зависит уже от двух переменных. Например, $V=\frac{x^2+y^2}{x+y}$, то в этом случае нельзя уже сказать, какой у системы второй первый интеграл?

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

Norma
Инетграл - это интеграл из интернета.

[amon]

Norma в сообщении #1640552 писал(а):

Например, $V=\frac{x^2+y^2}{x+y}$, то в этом случае нельзя уже сказать, какой у системы второй первый интеграл?

В этом - почти наверняка нельзя. Уж больно потенциал хреновый. А вообще, можно пытаться найти первый интеграл исходя из симметрии энергии (точнее $L=T-V$). Если существует непрерывное преобразование, при котором эта штука не меняется, то такому преобразованию соответствует столько интегралов движения, сколько у этого преобразования независимых параметров, от которых оно зависит.

[svv]

Norma в сообщении #1640543 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что система обладает двумя первыми интегралами

Для ответа на этот вопрос решите следующую интересную задачу, связанную с Вашей системой. Обозначим $v_x=\dot x,\;v_y=\dot y$. Пусть $g$ — положительная константа («ускорение свободного падения»), у Вас она равна единице, я её ввёл для «физичности». Можете также представлять, что ось $x$ направлена вертикально вверх, ось $y$ горизонтальна.

Движение Вашей материальной точки описывается автономной системой ДУ:
$\begin{array}{l}\dot x=v_x\\\dot y=v_y\\\dot v_x=-g\\\dot v_y=0\end{array}$
Переменные $x,y,v_x,v_y$ играют роль координат в четырёхмерном фазовом пространстве.

Вам сейчас известны два первых интеграла:
$\begin{array}{l}f_1(x,y,v_x,v_y)=\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+gx\\f_2(x,y,v_x,v_y)=v_y\end{array}$
Однако в статье Первый интеграл Википедии утверждается, что система из $n$ уравнений (при некоторых условиях, которые у нас выполнены) имеет $n-1$ функционально независимых первых интегралов. Значит, у нас должен быть ещё третий?

Задача. Найти третий первый интеграл $f_3(x,y,v_x,v_y)$.
Полученный набор первых интегралов должен быть честным функционально независимым, в том смысле, что ранг матрицы Якоби
$\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}&\frac{\partial f_1}{\partial y}&\frac{\partial f_1}{\partial v_x}&\frac{\partial f_1}{\partial v_y}\\[1ex]\frac{\partial f_2}{\partial x}&\frac{\partial f_2}{\partial y}&\frac{\partial f_2}{\partial v_x}&\frac{\partial f_2}{\partial v_y}\\[1ex]\frac{\partial f_3}{\partial x}&\frac{\partial f_3}{\partial y}&\frac{\partial f_3}{\partial v_x}&\frac{\partial f_3}{\partial v_y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}g&0&v_x&v_y\\[1ex]0&0&0&1\\[1ex]?&?&?&?\end{bmatrix}$
должен быть равен $3$. Неформально, $f_3$ не равен тождественной константе (а постоянен лишь в силу системы ДУ) и не выводится из первых двух интегралов.

Мимо этого первого интеграла прошли такие великие умы, как Лагранж, Гамильтон и другие... (Шутка. Просто он малоинтересен. Однако он совершенно честный, в указанном выше смысле.)

[reterty]

svv в сообщении #1640595 писал(а):

Для ответа на этот вопрос решите следующую интересную задачу, связанную с Вашей системой. Обозначим $v_x=\dot x,\;v_y=\dot y$. Пусть $g$ — положительная константа («ускорение свободного падения»), у Вас она равна единице, я её ввёл для «физичности». Можете также представлять, что ось $x$ направлена вертикально вверх, ось $y$ горизонтальна.

Движение Вашей материальной точки описывается автономной системой ДУ:
$\begin{array}{l}\dot x=v_x\\\dot y=v_y\\\dot v_x=-g\\\dot v_y=0\end{array}$
Переменные $x,y,v_x,v_y$ играют роль координат в четырёхмерном фазовом пространстве.

Вам сейчас известны два первых интеграла:
$\begin{array}{l}f_1(x,y,v_x,v_y)=\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+gx\\f_2(x,y,v_x,v_y)=v_y\end{array}$
Однако в статье Первый интеграл Википедии утверждается, что система из $n$ уравнений (при некоторых условиях, которые у нас выполнены) имеет $n-1$ функционально независимых первых интегралов. Значит, у нас должен быть ещё третий?

Задача. Найти третий первый интеграл $f_3(x,y,v_x,v_y)$.
Полученный набор первых интегралов должен быть честным функционально независимым, в том смысле, что ранг матрицы Якоби
$\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}&\frac{\partial f_1}{\partial y}&\frac{\partial f_1}{\partial v_x}&\frac{\partial f_1}{\partial v_y}\\[1ex]\frac{\partial f_2}{\partial x}&\frac{\partial f_2}{\partial y}&\frac{\partial f_2}{\partial v_x}&\frac{\partial f_2}{\partial v_y}\\[1ex]\frac{\partial f_3}{\partial x}&\frac{\partial f_3}{\partial y}&\frac{\partial f_3}{\partial v_x}&\frac{\partial f_3}{\partial v_y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}g&0&v_x&v_y\\[1ex]0&0&0&1\\[1ex]?&?&?&?\end{bmatrix}$
должен быть равен $3$. Неформально, $f_3$ не равен тождественной константе (а постоянен лишь в силу системы ДУ) и не выводится из первых двух интегралов.

Мимо этого первого интеграла прошли такие великие умы, как Лагранж, Гамильтон и другие... (Шутка. Просто он малоинтересен. Однако он совершенно честный, в указанном выше смысле.)

$f_3=\dfrac{v_x}{y v_y}?$

[Cos(x-pi/2)]

reterty в сообщении #1640634 писал(а):

$f_3=\dfrac{v_x}{y v_y}?$

Конечно же нет. Проверка ведь очень лёгкая - подставляете решение $y(t)=v_yt+y(0),$ $v_x(t)=-gt+v_x(0)$ и убеждаетесь, что написанное Вами выражение не является постоянной величиной. (Или попробуйте вычислить его при начальном условии $v_y=0$ :-)

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1640637 писал(а):

reterty в сообщении #1640634 писал(а):

$f_3=\dfrac{v_x}{y v_y}?$

Конечно же нет. Проверка ведь очень лёгкая - подставляете решение $y(t)=v_yt+y(0),$ $v_x(t)=-gt+v_x(0)$ и убеждаетесь, что написанное Вами выражение не является постоянной величиной. (Или попробуйте вычислить его при начальном условии $v_y=0$

Где-то подзапутался... Имеем: $\dfrac{v_x}{v_y}= \tg \alpha=\dfrac{dx}{dy}$. Но $x=ay^2$ (траектория- парабола). Тогда $\dfrac{dx}{dy}=2ay$, откуда $\dfrac{v_x}{ yv_y}=2a$.....

[Cos(x-pi/2)]

Здесь, в разделе ПРР, лучше не писать непродуманных формул. Откуда у Вас взялась какая-то $x=ay^2?$ Решите хорошенько указанную выше систему ДУ, с произвольными начальными условиями (например, при $t=0,$ то есть с заданными постоянными $x(0),\,y(0), \,v_x(0), \,v_y(0).$ Притом из предыдущего обсуждения понятно и без решений, что $v_y(t)=v_y(0)$ - это сохраняющаяся величина.)

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1640641 писал(а):

Здесь, в разделе ПРР, лучше не писать непродуманных формул. Откуда у Вас взялась какая-то $x=ay^2?$ Решите хорошенько указанную выше систему ДУ, с произвольными начальными условиями (например, при $t=0,$ то есть с заданными постоянными $x(0),\,y(0), \,v_x(0), \,v_y(0).$ Притом из предыдущего обсуждения понятно и без решений, что $v_y(t)=v_y(0)$ - это сохраняющаяся величина.)

Решил. И получил уравнение траектории в виде: $x(y)=\dfrac{-gy^2}{2v_y ^2}+\dfrac{v_x(0)}{v_y}y$. При этом считаем, что $x(0)=y(0)=0$. Тогда $v_x(0)=f_3=v_x+\dfrac{g}{v_y}y$

[Cos(x-pi/2)]

reterty в сообщении #1640644 писал(а):

При этом считаем, что $x(0)=y(0)=0$.

Это с какой радости?

Наверное надо всё-таки все величины $x,y,v_x,v_y$ рассматривать как функции переменной $t.$ И в итоге проверить, что составленное из них выражение $f_3(x,y,v_x,v_y)$ сводится к $f_3(x(0),y(0),v_x(0),v_y(0)).$

Ведь таким же образом и очевидное здесь сохранение y-составляющей импульса проявляется: $v_y(t)=v_y(0).$ И сохранение энергии таким же образом проверяется: $\frac{1}{2}(v_x^2(t)+v_y^2(t))+gx(t)=\frac{1}{2}(v_x^2(0)+v_y^2(0))+gx(0).$

[svv]

reterty
Хочу показать, как выглядит проверка того, что $f_1=\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+gx$ есть первый интеграл, в чуть более возвышенной терминологии. Как заметил Cos(x-pi/2), в конкретном решении переменные $x,y,v_x,v_y$ — функции времени. Тогда по «цепному правилу»
$\frac{df_1}{dt}=\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f_1}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f_1}{\partial v_x}\frac{dv_x}{dt}+\frac{\partial f_1}{\partial v_y}\frac{dv_y}{dt}$
Представим это в матричной форме как произведение строки на столбец:
$\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}&\frac{\partial f_1}{\partial y}&\frac{\partial f_1}{\partial v_x}&\frac{\partial f_1}{\partial v_y}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot x\\\dot y\\\dot v_x\\\dot v_y\end{bmatrix}$
В строке записаны компоненты дифференциальной формы $df_1$ в координатах $x,y,v_x,v_y$ фазового пространства. В явном виде они выписаны в первой строке матрицы Якоби (см. моё предыдущее сообщение). Форму $df_1$ можно назвать градиентом функции $f_1$.
В столбце в тех же координатах записаны компоненты векторного поля $a$, которое задаёт динамическую систему. В явном виде это правые части системы ДУ первого порядка.
Произведение строки на столбец — значение дифференциальной формы $df_1$ на векторном поле $a$. Иначе — производная функции $f_1$ по направлению $a$:
$df_1(a)=\nabla_a f$

Подставляем явные выражения:
$\begin{bmatrix}g&0&v_x&v_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\-g\\0\end{bmatrix}=0$
Каждому решению ДУ в фазовом пространстве соответствует интегральная кривая векторного поля $a$. Мы проверили, что производная $f_1$ по направлению векторного поля $a$ (т.е. вдоль интегральной кривой) всюду равна нулю. Иначе — что функция $f_1$ постоянна на любом решении. Это и значит, что $f_1$ — первый интеграл.

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1640634 писал(а):

$f_3=\dfrac{v_x}{y v_y}?$

странный какой-то вообще инвариант... на структуру посмотрите ... две подсистемы(x и y) вообще не зависят (не взаимодействуют) друг от друга

PS

уже ответили

[svv]

pppppppo_98 в сообщении #1640658 писал(а):

две подсистемы(x и y) вообще не зависят (не взаимодействуют) друг от друга

И в этом вся крутизна.

Поведение каждой "подсистемы" описывается ДУ второго порядка (либо системой двух ДУ первого порядка) и, согласно этой статье, имеет только один независимый инвариант. А когда мы их соединяем вместе, система уже четвёртого порядка, поэтому независимых инвариантов должно быть три. Откуда берётся третий? Он обязательно включает переменные обеих подсистем (иначе одна из них обладала бы двумя инвариантами). Но, поскольку подсистемы не взаимодействуют, третий инвариант с точки зрения физики объединяет эти переменные совершенно искусственно. И, тем не менее, математически это законный инвариант.

Каждый инвариант — семейство трёхмерных гиперплоскостей. Если выбрать из каждого семейства по гиперплоскости (проходящей через начальную точку), их пересечение даст одномерную интегральную кривую.

Подождите 2-3 дня, и если задачу не решат, я покажу $f_3$.