svv, спасибо Вам большое. Вы, как всегда, очень хорошо всё объяснили!
Мои познания, увы, невелики, но рискну предложить для ТС
Norma ещё одну задачу, аналогичную, поскольку ответ к предыдущей задаче уже раскрыт. Может быть, и эта задача будет полезной (а если к моему несовершенному изложению последуют исправления, то это тоже может быть поучительным). Пусть, как и в
первоначальной задаче, материальная точка единичной массы совершает плоское движение; ее кинетическая энергия:
![$T=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2).$ $T=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/e/55e7d0c7b2283edf1bc23281667840db82.png)
Потенциал теперь пусть имеет вид
![$V=\frac{k}{2}(x^2+y^2),$ $V=\frac{k}{2}(x^2+y^2),$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/3/17390323495b63655cd98ff1c547863982.png)
где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- положительная константа (она введена для «физичности»; по ходу дела можно будет убедиться, что ею определяется частота колебаний).
Система уравнений движения:
![$\dot x=v_x$ $\dot x=v_x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/0/79006c6e40673ff73064777e86f0478182.png)
![$\dot y=v_y$ $\dot y=v_y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/0/c0068d8c6750391e5f9dab5e2874a82582.png)
![$\dot v_x=-kx$ $\dot v_x=-kx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/8841bf7e805150c64be899f3e603160582.png)
![$\dot v_y=-ky$ $\dot v_y=-ky$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/4/154a586e5137545f878d6d02c19652a482.png)
Уважаемый
amon подчёркивал, что можно пытаться найти первый интеграл, исходя из наличия непрерывного преобразования симметрии. Замечаем, что в данном примере
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
и
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
инвариантны к поворотам в плоскости
![$(x,y)$ $(x,y)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/9/7392a8cd69b275fa1798ef94c839d2e082.png)
на любой угол - инвариантны к непрерывным ортогональным преобразованиям координат
![$x,y.$ $x,y.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/c/cec87ed8731506b56c5f21a6921b9bdc82.png)
Исходя из этого можно догадаться, что наряду с интегралом энергии
![$f_1$ $f_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/5872d29d239f95cc7a5f43cfdd14fdae82.png)
сохраняющейся величиной будет момент импульса; обозначим его как
Задача: написать явные выражения для
![$f_1,\,f_2$ $f_1,\,f_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/5/aa576a9b8a223f0332d33aa12ac2f55282.png)
и найти
третий первый интеграл
![$f_3(x,y,v_x,v_y).$ $f_3(x,y,v_x,v_y).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/c/4bc29a5d30139e3f3d3af314f2b17af282.png)
(Как и в предыдущей задаче, здесь ответ для
![$f_3$ $f_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcaacf702de430bdba0d509e0d43c82c82.png)
оказывается довольно простым.)