retertyВ этой задаче, естественно, можно записать интеграл энергии
![$\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+\frac k 2(x^2+y^2)$ $\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+\frac k 2(x^2+y^2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/5/d657fa658b96f58f714b1d9675ec3d7682.png)
, но её особенность в том, что энергия равна сумме двух слагаемых
![$\begin{array}{l}f_1=\frac 1 2 v_x^2+\frac k 2 x^2\,,\\[1ex]f_2=\frac 1 2 v_y^2+\frac k 2 y^2\,,\end{array}$ $\begin{array}{l}f_1=\frac 1 2 v_x^2+\frac k 2 x^2\,,\\[1ex]f_2=\frac 1 2 v_y^2+\frac k 2 y^2\,,\end{array}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/b/45b60a753a214770b5fb28871ad8596a82.png)
сохраняющихся и по отдельности. Кроме того, сохраняется момент импульса
![$f_3=xv_y-yv_x$ $f_3=xv_y-yv_x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/2/b62289a379d81c2f4c3f8a27cfc7a7a882.png)
У нас уже есть три первых интеграла, неужели найдётся четвёртый? Применим теорему Пуассона (по совету
drzewo) и вычислим
![$f_4$ $f_4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd58e383221f0db009aac5154d92135f82.png)
как скобку Пуассона
![$f_1$ $f_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/5872d29d239f95cc7a5f43cfdd14fdae82.png)
и
![$f_3$ $f_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcaacf702de430bdba0d509e0d43c82c82.png)
:
![$f_4=(f_1,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial v_x}\frac{\partial f_3}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{\partial f_3}{\partial v_x}=v_xv_y+kxy$ $f_4=(f_1,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial v_x}\frac{\partial f_3}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{\partial f_3}{\partial v_x}=v_xv_y+kxy$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/2/9422ca0508d6a4bd9e23c4db9708deb682.png)
Интегралы
![$f_1,f_3$ $f_1,f_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/8/a684af471182379deb28b02d76b9d4ee82.png)
и
![$f_4=(f_1,f_3)$ $f_4=(f_1,f_3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/5/985483a0ebbd98efa299e648a6b4847f82.png)
функционально независимы (и это уже некоторое везение, теорема Пуассона этого не гарантирует). Однако набор
![$f_1,f_2,f_3,f_4$ $f_1,f_2,f_3,f_4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/4/204e257bdc2480237cc02ab47654cd5f82.png)
, конечно, уже функционально зависим:
![$4f_1f_2=kf_3^2+f_4^2$ $4f_1f_2=kf_3^2+f_4^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/b/41b36208e45236a073b031513062274782.png)
Иначе получилось бы, что в
![$\mathbb R^4$ $\mathbb R^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/62049b9995928ef1770da0dae944c5b082.png)
ненулевой вектор
![$\frac d{dt}=\dot x\frac{\partial}{\partial x}+\dot y\frac{\partial}{\partial y}+\dot v_x\frac{\partial}{\partial v_x}+\dot v_y\frac{\partial}{\partial v_y}$ $\frac d{dt}=\dot x\frac{\partial}{\partial x}+\dot y\frac{\partial}{\partial y}+\dot v_x\frac{\partial}{\partial v_x}+\dot v_y\frac{\partial}{\partial v_y}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/5/675375fb1941981dba9e4a1e14acc53a82.png)
аннулирует четыре линейно независимые 1-формы
![$df_1,df_2,df_3,df_4$ $df_1,df_2,df_3,df_4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/9/7499c07b9e2abba185b958215c9c795382.png)
.
Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.
Я про это ничего не знаю, просветите.