Первые инетгралы

[svv]

reterty
В этой задаче, естественно, можно записать интеграл энергии $\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+\frac k 2(x^2+y^2)$, но её особенность в том, что энергия равна сумме двух слагаемых
$\begin{array}{l}f_1=\frac 1 2 v_x^2+\frac k 2 x^2\,,\\[1ex]f_2=\frac 1 2 v_y^2+\frac k 2 y^2\,,\end{array}$
сохраняющихся и по отдельности. Кроме того, сохраняется момент импульса
$f_3=xv_y-yv_x$

У нас уже есть три первых интеграла, неужели найдётся четвёртый? Применим теорему Пуассона (по совету drzewo) и вычислим $f_4$ как скобку Пуассона $f_1$ и $f_3$:
$f_4=(f_1,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial v_x}\frac{\partial f_3}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{\partial f_3}{\partial v_x}=v_xv_y+kxy$
Интегралы $f_1,f_3$ и $f_4=(f_1,f_3)$ функционально независимы (и это уже некоторое везение, теорема Пуассона этого не гарантирует). Однако набор $f_1,f_2,f_3,f_4$, конечно, уже функционально зависим:
$4f_1f_2=kf_3^2+f_4^2$
Иначе получилось бы, что в $\mathbb R^4$ ненулевой вектор
$\frac d{dt}=\dot x\frac{\partial}{\partial x}+\dot y\frac{\partial}{\partial y}+\dot v_x\frac{\partial}{\partial v_x}+\dot v_y\frac{\partial}{\partial v_y}$
аннулирует четыре линейно независимые 1-формы $df_1,df_2,df_3,df_4$.

reterty в сообщении #1641944 писал(а):

Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.

Я про это ничего не знаю, просветите.

[reterty]

svv в сообщении #1642438 писал(а):

reterty в сообщении #1641944 писал(а):

Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.

Я про это ничего не знаю, просветите.

https://physics.stackexchange.com/quest ... egrability

[svv]

reterty
По ссылке только сам термин упоминается. Есть ссылка на статью 1965 года, но там тоже не густо. Я тут подумал: можно вычислить взаимную корреляцию $x(t)$ и $y(t)$ (при нулевом сдвиге) по формуле для периодических сигналов с одинаковым периодом. Для простоты положим $k=1$. При интегрировании по частям внеинтегральные члены сокращаются в силу периодичности.
$C=\frac 1 T\int\limits_0^T x y\, dt=\frac 1 T\int\limits_0^T x (-\dot v_y)\,dt=\frac 1 T\int\limits_0^T \dot x v_y\,dt=\frac 1 T\int\limits_0^T v_x v_y\,dt$
Значит,
$2C=\frac 1 T\int\limits_0^T (x y+v_x v_y)\, dt = x y+v_x v_y = K$

[drzewo]

Предлагаю задачу. Доказать, что в задаче о сферическом маятнике в поле силы тяжести нет гладкого первого интеграла, который был бы независим с интегралами энергии и проекции помента имульса на вертикальную ось почти всюду.

[пианист]

(Оффтоп)

Еще есть такая штука, последний множитель Якоби. Иногда бывает полезной.