2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Первые инетгралы
Сообщение13.06.2024, 03:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
reterty
В этой задаче, естественно, можно записать интеграл энергии $\frac 1 2(v_x^2+v_y^2)+\frac k 2(x^2+y^2)$, но её особенность в том, что энергия равна сумме двух слагаемых
$\begin{array}{l}f_1=\frac 1 2 v_x^2+\frac k 2 x^2\,,\\[1ex]f_2=\frac 1 2 v_y^2+\frac k 2 y^2\,,\end{array}$
сохраняющихся и по отдельности. Кроме того, сохраняется момент импульса
$f_3=xv_y-yv_x$

У нас уже есть три первых интеграла, неужели найдётся четвёртый? Применим теорему Пуассона (по совету drzewo) и вычислим $f_4$ как скобку Пуассона $f_1$ и $f_3$:
$f_4=(f_1,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial v_x}\frac{\partial f_3}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{\partial f_3}{\partial v_x}=v_xv_y+kxy$
Интегралы $f_1,f_3$ и $f_4=(f_1,f_3)$ функционально независимы (и это уже некоторое везение, теорема Пуассона этого не гарантирует). Однако набор $f_1,f_2,f_3,f_4$, конечно, уже функционально зависим:
$4f_1f_2=kf_3^2+f_4^2$
Иначе получилось бы, что в $\mathbb R^4$ ненулевой вектор
$\frac d{dt}=\dot x\frac{\partial}{\partial x}+\dot y\frac{\partial}{\partial y}+\dot v_x\frac{\partial}{\partial v_x}+\dot v_y\frac{\partial}{\partial v_y}$
аннулирует четыре линейно независимые 1-формы $df_1,df_2,df_3,df_4$.
reterty в сообщении #1641944 писал(а):
Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.
Я про это ничего не знаю, просветите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первые инетгралы
Сообщение13.06.2024, 04:33 
Аватара пользователя


08/10/09
947
Херсон
svv в сообщении #1642438 писал(а):
reterty в сообщении #1641944 писал(а):
Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.
Я про это ничего не знаю, просветите.

https://physics.stackexchange.com/quest ... egrability

 Профиль  
                  
 
 Re: Первые инетгралы
Сообщение14.06.2024, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
reterty
По ссылке только сам термин упоминается. Есть ссылка на статью 1965 года, но там тоже не густо. Я тут подумал: можно вычислить взаимную корреляцию $x(t)$ и $y(t)$ (при нулевом сдвиге) по формуле для периодических сигналов с одинаковым периодом. Для простоты положим $k=1$. При интегрировании по частям внеинтегральные члены сокращаются в силу периодичности.
$C=\frac 1 T\int\limits_0^T x y\, dt=\frac 1 T\int\limits_0^T x (-\dot v_y)\,dt=\frac 1 T\int\limits_0^T \dot x v_y\,dt=\frac 1 T\int\limits_0^T v_x v_y\,dt$
Значит,
$2C=\frac 1 T\int\limits_0^T (x y+v_x v_y)\, dt = x y+v_x v_y = K$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первые инетгралы
Сообщение14.06.2024, 19:07 


21/12/16
721
Предлагаю задачу. Доказать, что в задаче о сферическом маятнике в поле силы тяжести нет гладкого первого интеграла, который был бы независим с интегралами энергии и проекции помента имульса на вертикальную ось почти всюду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первые инетгралы
Сообщение14.06.2024, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2316
МО

(Оффтоп)

Еще есть такая штука, последний множитель Якоби. Иногда бывает полезной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group