svv, спасибо Вам большое. Вы, как всегда, очень хорошо всё объяснили!
Мои познания, увы, невелики, но рискну предложить для ТС
Norma ещё одну задачу, аналогичную, поскольку ответ к предыдущей задаче уже раскрыт. Может быть, и эта задача будет полезной (а если к моему несовершенному изложению последуют исправления, то это тоже может быть поучительным). Пусть, как и в
первоначальной задаче, материальная точка единичной массы совершает плоское движение; ее кинетическая энергия:

Потенциал теперь пусть имеет вид

где

- положительная константа (она введена для «физичности»; по ходу дела можно будет убедиться, что ею определяется частота колебаний).
Система уравнений движения:




Уважаемый
amon подчёркивал, что можно пытаться найти первый интеграл, исходя из наличия непрерывного преобразования симметрии. Замечаем, что в данном примере

и

инвариантны к поворотам в плоскости

на любой угол - инвариантны к непрерывным ортогональным преобразованиям координат

Исходя из этого можно догадаться, что наряду с интегралом энергии

сохраняющейся величиной будет момент импульса; обозначим его как
Задача: написать явные выражения для

и найти
третий первый интеграл

(Как и в предыдущей задаче, здесь ответ для

оказывается довольно простым.)