Элементарная алгебра для отстающих

[horda2501]

$\sqrt{(-3)^2}=-(-3)$ Во всяком случае именно так это понято мною на данный момент. Мол, х отрицательное число, значит его модуль равен противоположенному числу. Если х не отрицательное число, то его модуль само это число. Однако, если с положительным значением всё довольно прозрачно, мол, если корень квадратный, а число под корнем с квадратом, то остаётся это число в итоге. С отрицательным неясно, ведь не очевидно как под корнем оказалось это отрицательное число в принципе Я так понимаю, что это из-за того, что я занимаюсь одной лишь математикой пока что, без приложения её к физике, которой я только-только начала заниматься. Хотя, конечно, объяснение найдётся и чисто математическое. Просто без знания конкретных задач из области практических применений это бывает сложнее всё увидеть.

[svv]

Меня беспокоит ещё вот что («незакрытый гештальт»). Когда Вы видите выражение $\sqrt{-x}$, Вы уже не думаете, что под корнем отрицательное число?

Или, ещё проще: Вы ведь не думаете, что $-x$ обязательно отрицательное число? Беря в качестве $x$ числа $25, 0, -25$, найдите для каждого $-x$.

[horda2501]

Я, конечно, могу понять концепцию отдельности знака "минус" от значения Х и от знака радикала как некую абстракцию. Но это не очень корректно в контексте предлагаемого на данном этапе в качестве базового утверждения "под знаком корня не может быть отрицательного числа". То есть, ясно что для числа -25 минус Х будет просто 25 ведь $x=-25$ значит -Х будет -(-25). Но тут срабатывает простое "как под знаком корня оказался минус если его в природе не бывает тама"

[svv]

Терминология такова. В выражении $\sqrt{-x}$ под знаком корня стоит не $x$, а $-x$.
$x$ может быть отрицательным. Но под корнем стоит не он, а $-x$.

horda2501 в сообщении #1639165 писал(а):

под знаком корня не может быть отрицательного числа

Но может быть «унарный минус». Который, применяясь к отрицательному числу, возвращает в качестве результата положительное.

[horda2501]

Теперь яснее, конечно. Буду внимательнее.

[svv]

horda2501 в сообщении #1639179 писал(а):

Буду внимательнее.

Хм, а вдруг Вы станете настолько внимательны, что совсем перестанете делать ошибки? Что тогда нам делать?

[wrest]

Мне когда-то помогало глубже проникнуть в тайны алгебры вот такое равенство: $-x=(-1)\cdot x$
Например, помогало универсально понимать $y-x=y+(-1)\cdot x$ как "сумму", а не "разность" и соответственно видеть $(-1)\cdot x$ как "слагаемое" (а не $x$ как "вычитаемое"). Это позволяет безошибочно применять правило "от перемены мест слагаемых сумма не меняется" для разностей, а именно $y-x=y+(-1)\cdot x=(-1)\cdot x +y$ ибо подобного правила для разности нет.
Примерно та же (но посложнее конечно, из-за наличия нуля) история с умножением/делением. Я например ясно вижу эквивалентность $\frac{x}{100}=x\cdot 0,01$

[horda2501]

С учётом того, что я собираюсь продолжать учиться дальше пока не умру, ошибок будет более чем достаточно, ведь на них, собственно, и учатся. Вот на днях посмотрела фильм польский посвящённый 500-летию со дня рождения Коперника (1973 года). Там узнала, что оказывается вот для чего эти тригонометрические таблицы (они были приложены к изданию книги автором). Я, правда, не знаю ещё для чего они именно, но знаю уже что нужны. "Потому что человек стремится узнать истину", как говорил герой фильма когда его спросили для чего он хочет лишить людей веры в то, что их может ждать после смерти рай. Странно, ведь в этой системе координат их может ждать и ад, а не просто выключенный телевизор. А если учишься следуя исследовательскому рефлексу дарованному природой чтобы краски были ярче, то перед выключением телевизора ещё и салюты всякие выписывает гормональная система периодически. Короче, жить можно. (Это я пытаясь подражать Декарту размышляю как физиолог и математик одновременно. Авось приведёт куда-нибудь и меня такая дорога ).

Да, я тоже очень часто именно так воспринимаю такие выражения, так как воспринимая всё выражение как сумму проще делать перестановку слагаемых Также я запомнила такое выражение как "скобки лучшие друзья ученика". Без них очень легко запутаться. Я вообще раньше стремилась всё что можно в уме высчитывать, вроде как развивать кратковременную оперативную память. В итоге у меня постоянно болела голова и мало что усваивалось. Теперь вот наоборот, стремлюсь всё прописывать, даже самое простое и очевидное. Прогресс медленнее, но так лучше. "Тише едешь - дальше будешь" это точно про изучение математики!

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1639150 писал(а):

$\sqrt{(-3)^2}=-(-3)$ Во всяком случае именно так это понято мною на данный момент. Мол, х отрицательное число, значит его модуль равен противоположенному числу. Если х не отрицательное число, то его модуль само это число. Однако, если с положительным значением всё довольно прозрачно, мол, если корень квадратный, а число под корнем с квадратом, то остаётся это число в итоге. С отрицательным неясно, ведь не очевидно как под корнем оказалось это отрицательное число в принципе

И снова - под корнем нет никакого отрицательного числа. Под корнем стоит положительное число $(-3)^2=9$.
Так что $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=-(-3)$.
И вообще, если $x$ - отрицательное число (такое как $-3$, $-7$ и т.д.), то $\sqrt{x^2}=-x$. Заметьте, что в этом равенстве под корнем стоит положительное число $x^2$, и сам корень равен положительному числу $-x$ (оно положительно, так как $x<0$).

[gefest_md]

Определим предикат $y=\sqrt{x}.$

Определение. $y=\sqrt{x}$ равносильно $y^2=x$ и $y\geqslant 0.$

Посмотрим, что даёт это определение применительно к $b=\sqrt{a^2}.$ Это равносильно тому, что $b^2=a^2$ и $b\geqslant 0.$ Потом надо как-нибудь показать, что последнее равносильно следующему.

1. Если $a\geqslant 0,$ то $b=a.$
2. Если $a<0,$ то $b=-a.$

Последнее, по определении модуля, записывается $b=|a|.$

[horda2501]

Здравствуйте! Я столкнулась с непонятным моментом. Он в следующем. Суть задания: необходимо упростить выражение $lx+3l-lx-5l$ при значении $0\leqslant X \leqslant5$ (На всякий случай у меня в записи строчная латинская L вместо модульных скобок, т.к. почему-то через LaTeX не проставляются).

При всех значениях X, кроме 5 всё ясно, сходится с ответом $2x-2$. Но почему такой ответ даётся и при $x=5$ ? Ведь в таком случае скобки должны раскрываться $x+3-(x-5)$, т.е. ответ $8$ Даже если предположить, что опечатка в учебнике, то как в целом такие выражения решаются, когда не опечатка?

[gefest_md]

Сформулирую задачу в виде задачи на доказательство.

Для любого числа $x$, если $0\leqslant x\leqslant 5,$ то $|x+3|-|x-5|=2x-2.$

Значит ответ в учебнике лучший.

[horda2501]

Не понятно, однако Есть объективно 2 варианта по условию в контексте $\sqrt{x^2}=lxl$ (Кстати, как ставить модульные скобки? Я в латексе не могу почему-то, там только одна из двух проставляется, а вторая исчезает). То есть, либо $x=5$, либо меньше 5. Если меньше, то ответ один, если равен 5, то другой. А доказать получится только то, что в учебнике опечатка и нужно преобразовать условие в $0\leqslant x < 5$

[gefest_md]

horda2501 в сообщении #1639913 писал(а):

Кстати, как ставить модульные скобки?

Вертикальная чёрточка на клавиатуре |

horda2501 в сообщении #1639913 писал(а):

нужно преобразовать условие в $0\leqslant x < 5$

В процессе доказательства, с учётом строгого определения модуля, можно рассмотреть отдельно два случая:
1. $0\leqslant x<5,$
2. $x=5.$
Ведь если подставить $5$ вместо $x$ в выражении $2x-2,$ то получится $8.$

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1639906 писал(а):

При всех значениях X, кроме 5 всё ясно, сходится с ответом $2x-2$. Но почему такой ответ даётся и при $x=5$ ? Ведь в таком случае скобки должны раскрываться $x+3-(x-5)$, т.е. ответ $8$

При $x=5$, ответ $8$ верный.
Но ответ из учебника, $2x-2$, тоже верный при $x=5$, потому что при $x=5$ имеем $2x-2=2\cdot 5-2=8$.

Если выражение под модулем равно нулю, то модуль можно раскрывать хоть со знаком плюс, хоть со знаком минус - потому что "плюс ноль" и "минус ноль" это одно и то же.

И когда можно обойтись в ответе одной формулой ($2x-2$, безо всяких оговорок про $x=5$), нужно одной и обойтись.