1.
Кажется я нашел пример, который "весомо, грубо, зримо" демонстрирует закон ex falso quodlibet! И ведь это тот же самый пример, который я уже использовал несколько раз.
Пусть мы имеем множество
![$\mathbb N$ $\mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76bc60b8ab614c43a72e09bf81806ee82.png)
натуральных чисел (включая
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
). Каждый элемент этого множества либо делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, либо нет, а также либо делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, либо нет. При этом
![$\mathbb N$ $\mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76bc60b8ab614c43a72e09bf81806ee82.png)
разбивается на четыре непересекающихся подмножества:
1)
![$N_1$ $N_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bd1d510559f062f1989f670d3aad98d82.png)
, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, ни на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
,
2)
![$N_2$ $N_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/1/511e23eff4a266585051aad23317e9f682.png)
, элементами которого являются все числа, которые не делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и при этом делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
,
3)
![$N_3$ $N_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/f/e8fd8b345532f0b1a763d7521f7d703a82.png)
, элементами которого являются все числа, которые делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, но не делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
,
4)
![$N_4$ $N_4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/c/49cc077016cae67c7043468e227d05df82.png)
, элементами которого являются все числа, которые делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
.
Возьмем два утверждения:
![$p= $p=](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/7/ef713aee2f4b8d4c2f26e7450bd00ba582.png)
и
![$q= $q=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/d/88d9ca9eb7154de187d4adc47b300b1b82.png)
,
![$x\in \mathbb N$ $x\in \mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f953e71021d270db3fb9c8c178b822b82.png)
.
Теперь упорно о каждом числе будем утверждать, что оно делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. А также о каждом числе будем утверждать, что оно делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, и снова получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. Таким образом,
для элементов
![$N_1$ $N_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bd1d510559f062f1989f670d3aad98d82.png)
оба утверждения
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
будут ложными, то есть имеем
![$\neg p, \neg q$ $\neg p, \neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/4/d445ce0250274214ae48ea3c65d6dd4b82.png)
;
для элементов
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
будет ложным, а
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
истинным, то есть имеем
![$\neg p, q$ $\neg p, q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/d/e0d5bf81869a95ac232923ac6bc4899882.png)
;
для элементов
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
будет истинным, а
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
ложным, то есть имеем
![$p,\neg q$ $p,\neg q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/2/a92d9d2806540223ec3ba61d0332f33f82.png)
;
для элементов
![$N_4$ $N_4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/c/49cc077016cae67c7043468e227d05df82.png)
оба утверждения будут истинными, то есть имеем
![$p, q$ $p, q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/9/10984eabe311a6010d1a7c9ed19f290e82.png)
.
Составим четыре конъюнкции
1)
![$\neg p\wedge \neg q$ $\neg p\wedge \neg q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/6/6563981ae8fd5ae52b3e0e3720571d3382.png)
,
2)
![$\neg p\wedge q$ $\neg p\wedge q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/4/b0408f4d0dec48acdc7bb36117c2822482.png)
,
3)
![$p\wedge \neg q$ $p\wedge \neg q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/b/f8bd7e1fc5799eb299f82be6a1f8ec3c82.png)
,
4)
![$p\wedge q$ $p\wedge q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/9/22988727909bb85aeab5ca61787c586682.png)
,
соответствующие четырем подмножествам
![$N_1, N_2, N_3, N_4$ $N_1, N_2, N_3, N_4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/9/73921fdd3ac6830520493f7e1f7e493682.png)
. Эти подмножества являются конституентами.
Исключим третью конъюнкцию (вместе с конституентой
![$N_3$ $N_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/f/e8fd8b345532f0b1a763d7521f7d703a82.png)
) -- обведем ее траурной рамкой (зачеркнуть не получается):
1)
![$\neg p\wedge \neg q$ $\neg p\wedge \neg q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/6/6563981ae8fd5ae52b3e0e3720571d3382.png)
,
2)
![$\neg p\wedge q$ $\neg p\wedge q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/4/b0408f4d0dec48acdc7bb36117c2822482.png)
,
3)
![$\boxed {p\wedge \neg q}$ $\boxed {p\wedge \neg q}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/d/58ddc8b5a6f89aec6838419e685b8bb382.png)
,
4)
![$p\wedge q$ $p\wedge q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/9/22988727909bb85aeab5ca61787c586682.png)
.
Теперь любое число из оставшихся (то есть из принадлежащих подмножеству
![$\mathbb N\setminus N_3$ $\mathbb N\setminus N_3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b496edd4ac0ea6d99bca5158eee4289182.png)
), если делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, то делится и на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, то есть имеем истинную импликацию
![$p\to q$ $p\to q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/0/a00881f84e8960684211f3513464868a82.png)
"из истины следует истина".
Ложной импликации
![$p\to \neg q$ $p\to \neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/8/9088ad89506e7b7bcebea4b2ac02f3aa82.png)
("из истины следует ложь") не имеем, поскольку исключена третья конъюнкция (вместе с конституентой
![$N_3$ $N_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/f/e8fd8b345532f0b1a763d7521f7d703a82.png)
), так что у нас не остается чисел, которые делились бы на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и при этом не делились на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
.
Теперь смертельный номер!
Среди чисел, которые не делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
(то есть среди чисел, о которых мы лгали, что они делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
), есть такие, которые не делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
(то есть такие, о которых мы лгали, что они делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
), и такие, которые делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
(то есть такие, о которых мы не лгали, когда говорили, что они делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
), таким образом, имеем вожделенный принцип ex falso quodlibet: "из лжи следует что угодно" (в смысле: "как ложь, так и правда").
Но тут надо уточнить. Ложь бывает разная,
из одной лжи (например, из лжи, что
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
) следует, что число (
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
) не делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, то есть имеем истинную импликацию
![$\neg p\to \neg q$ $\neg p\to \neg q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/f/ebfc6d56050131fb237dd39fa1f1148e82.png)
-- "из лжи следует ложь", --
а из другой лжи (например, из лжи, что
![$9$ $9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/8/4383b081cba8f285e7854426f9ea1e6d82.png)
делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
) следует, что число (
![$9$ $9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/8/4383b081cba8f285e7854426f9ea1e6d82.png)
) делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, то есть имеем истинную импликацию
![$\neg p\to q$ $\neg p\to q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2a84e671c675940e18116124784f2ef82.png)
-- "из лжи следует истина".
И еще: если мы знаем о числе только то, что оно не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, мы не можем сказать, делится оно на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
или нет, но для каждого конкретного числа, которое не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, это однозначно.
(Раньше я думал и писал об этом в этой теме, что для чисел, которые не делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, следования неоднозначные, потому что из
![$\neg p$ $\neg p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea93f3519d9141e9e02f11439b4588d82.png)
следует как
![$\neg q$ $\neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/1806b28ae3f8ccb2f7176ba68a4fc8a382.png)
, так и
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
, но теперь вижу, что неоднозначность здесь только для пропозициональных переменных, но не для чисел, так как одно и то же число не может и делиться, и не делиться на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
.)
2.
Если возьмем утверждения:
![$p= $p=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/2/472677d18034f2283354cdcd7812dd8e82.png)
и
![$q= $q=](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/5/b4524e4d9cd0d7dc9eff89a894c8ade582.png)
, то получим многострадальные импликации
![$(x\nless 10)\to (x\nless 100)$ $(x\nless 10)\to (x\nless 100)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/2/ec250fcac579c41c044cefca4d12d89282.png)
,
![$(x\nless 10)\to (x< 100)$ $(x\nless 10)\to (x< 100)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/f/effa69620eec2866779fedbe00cf7a8882.png)
,
![$(x< 10)\to (x\nless 100)$ $(x< 10)\to (x\nless 100)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/2/3a2b44b85e8143a645bcd5243af8a8d482.png)
и
![$(x< 10)\to (x< 100)$ $(x< 10)\to (x< 100)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/9/459d62edb6ba5c4872d99b8f0c7d471b82.png)
, посылки и следствия которых, в общем виде представляют собой высказывательные функции, но при конкретных значениях эти импликации в принципе не отличаются от рассмотренных выше в посте.
3.
Справедливость
![$B\to A$ $B\to A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/5/1d53c86236fe3364c512ac062228a80682.png)
означает, что при условии верности
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
утверждение
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
справедливо (если же
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
неверно, про
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
ничего не утверждается).
Справедливость
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
означает, что утверждение
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
.
Таким образом,
![$A\to(B\to A)$ $A\to(B\to A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/7/cc7d231d0d9b650b9d30c2f9a4beff4382.png)
.
Спасибо, понятно. А вот эти:
![$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$ $A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/9/98994266215ff7b042888a8f290d3ac282.png)
![$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$ $(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/b/f9bb065408386b748cd7a48b6a93509282.png)
?
то есть пишут:
В исчислении высказываний - не пишут. Она принципиально не занимается "внутренней структурой" высказываний.
Пишут так в исчислении высказываний.
Вы имели в виду "в исчислении предикатов"?
Там есть, например, серия аксиом ("логические аксиомы") - если взять тавтологию исчисления высказываний, и вместо пропозициональных переменных подставить формулы, то получится аксиома исчисления предикатов.
Значит, импликация
![$(500 < 10) \to (500 > 100)$ $(500 < 10) \to (500 > 100)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/b/d0b7c3bb59fc59ee40a3b370ab368a8182.png)
и прочие, о которых мы так много говорили, записаны в исчислении предикатов?
А как Вы вообще хотите логические формулы диаграммами Венна изображать?
Все 16 бинарных логических операций (например,
![$A\to B$ $A\to B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6edc8a876728a5e3fcd408de719f28fc82.png)
,
![$A\vee B$ $A\vee B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/f/4ef8bbb924df876bc1dc66378948866782.png)
,
![$A\wedge B$ $A\wedge B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/4/0241b8571863ad1e7b946ce2fa4466b382.png)
) изображаются диаграммами Венна, потому что есть соответствие между этими операциями и подмножествами объемлющего множества. Соответствующие диаграммы помещены в каждой статье Википедии о логических операциях (связках).
Но более сложные операции, вероятно, труднее изобразить этими диаграммами (если вообще возможно), хотя, как видим, может быть, как раз наоборот:
А смысл? Диаграмма Венна для тавтологии - это весь лист. Т.е. как бы мы ни нарисовали
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
относительно друг друга, областью истинности такой двойной импликации будет весь лист.
Ничего и рисовать не надо. (Тем не менее, надо осознать, что именно не надо рисовать.)