Импликация и другие логические связки

[epros]

Высказывание $2 \times 2 = 4$ истинно при условии истинности аксиом арифметики Пеано. И каков вывод?

[Geen]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1632017 писал(а):

Следует ли $2 \times 2 = 4$ из "Идёт дождь"?

"А за окном шёл снег и рота красноармейцев" (с) не найден

Не надоело вам ещё ерундой заниматься?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632024 писал(а):

Высказывание $2 \times 2 = 4$ истинно при условии истинности аксиом арифметики Пеано. И каков вывод?

Что не обязательно $2 \times 2 = 4$, так что это утверждение годится для булевой функции.

Или, скажем, Вы знаете, что $2 \times 2 = 4$, а я не знаю, так что могу предположить и $2 \times 2 = 4$, и $2 \times 2 \ne 4$.

Или машина не знает, $2 \times 2 = 4$ или $2 \times 2 \ne 4$, но знает формулу булевой функции.

Но не важно, по какому основанию полагается, что существует отрицание данного утверждения, важно только, чтобы это полагалось, тогда возможна булева функция.

[svv]

epros в сообщении #1632012 писал(а):

svv в сообщении #1632008 писал(а):

Причинно-следственная связь — понятие сложное и выходящее за рамки формальной логики.

Увы, в таком смысле оно не имеет внятного определения.

Это фатально для формальной системы, но не лишает смысла слово "причина". Например, если климатолога спрашивают: "В чём причина быстрого таяния ледников в последние десятилетия?" — он даст ответ. Думаю, вопрос этот понятен и Вам. Вы также понимаете, что здесь под причиной не подразумевается произвольное $P$, такое, что истинна импликация:
если $P$, то сейчас ледники быстро тают
(ну, или "следовательно", как Вам будет угодно)

Но я согласен, что в таком понимании термины "причина" и "следствие" неформализуемы (что, повторюсь, не отменяет их полезности). Именно поэтому им не место в формальной логике.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632026 писал(а):

Но не важно, по какому основанию полагается, что существует отрицание данного утверждения, важно только, чтобы это полагалось, тогда возможна булева функция.

А если полагается, что отрицание данного утверждения не существует, то булева функция невозможна.

[epros]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1632025 писал(а):

Не надоело вам ещё ерундой заниматься?

Я терпеливый. Пока топикстартера не отпускает импликация, мне интересно, какие ещё странные мысли могут прийти в его голову.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632026 писал(а):

Что не обязательно $2 \times 2 = 4$, так что это утверждение годится для булевой функции.

На самом деле любое утверждение годится для импликации. Ну, и для булевой функции, наверное, тоже. Хотя булева функция - понятие примерно в сто раз менее полезное, чем импликация. И, кстати, в зависимости от интерпретации любое утверждение может считаться истинным или ложным. Не бывает классификации утверждений на всегда истинные, всегда ложные и подходящие для булевых функций. Правда в исчислении предикатов бывают формулы со свободными переменными, но они подставляются в аргументы импликации точно таким же образом, как и любые другие.

Вы бы сейчас лучше не пытались развивать свою интуицию про импликацию в нестандартном направлении, а взяли учебник по матлогике и почитали про то, что такое высказывания и пропозициональные переменные в исчислении высказываний, что такое формулы в исчислении предикатов и т.п.

svv в сообщении #1632029 писал(а):

Например, если климатолога спрашивают: "В чём причина быстрого таяния ледников в последние десятилетия?" — он даст ответ. Думаю, вопрос этот понятен и Вам. Вы также понимаете, что здесь под причиной не подразумевается произвольное $P$, такое, что истинна импликация:
если $P$, то сейчас ледники быстро тают
(ну, или "следовательно", как Вам будет угодно)

Разумеется, прикладные теории имеют право трактовать слово "причина" собственным образом. Причём теории из разных областей знания могут называть причинами одного и того же явления совершенно разные вещи.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632066 писал(а):

На самом деле любое утверждение годится для импликации. ... И, кстати, в зависимости от интерпретации любое утверждение может считаться истинным или ложным. Не бывает классификации утверждений на всегда истинные, всегда ложные и подходящие для булевых функций.

Совершенно согласен (хотя не совсем понимаю, что здесь разумеется под "интерпретацией").

Вы меня опередили: за ночь я пришел к тому, что Вы сказали.

Гамлет говорил: "Я хочу не того, что кажется, а того, что есть", -- а в логике напротив: важно не то, что есть, а то, что полагается, потому что логика начинается только после предположений.

Возьмем утверждение "если $2\times 2=5$, то Париж -- столица Франции". Я полагаю, что "$2\times 2=5$" это истина, а "Париж -- столица Франции" -- ложь. Почему я так полагаю, не важно, я не обязан отчитываться в этом

(но могу снизойти до удивляющихся и сказать им, например, что не признаю аксиомы Пеано

epros в сообщении #1632024 писал(а):

Высказывание $2 \times 2 = 4$ истинно при условии истинности аксиом арифметики Пеано

или просто не знаю, что $2\times 2\ne5$, а также что у меня такие представления о географии и истории.)

Кроме того я исхожу из правила "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно" (полагаю это правило в основу своего логического построения).

Исходя из этих предположений, у меня получается: из истины следует ложь, -- то есть получается, что рассматриваемое утверждение ложно.

Если же я положу, что "$2\times 2=5$" это ложь, и "Париж -- столица Франции" тоже ложь, то рассматриваемое утверждение окажется истинным.

То же самое будет, если я положу, что

"$2\times 2=5$" это ложь, а "Париж -- столица Франции" -- истина,

или что и "$2\times 2=5$", и "Париж -- столица Франции" -- истина.

Осуществляя логическое построение, важно не задумываться, соответствуют ли действительности исходные утверждения, об этом надо задумываться до того, как они положены истинными или ложными.

Но у меня вопрос: откуда взялось это правило: "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно"?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632079 писал(а):

Но у меня вопрос: откуда взялось это правило: "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно"?

epros в сообщении #1631888 писал(а):

Давайте, что ли, я расскажу как. В аксиоматике исчисления высказываний есть аксиома 1:
$A\to (B \to A)$
и есть аксиома 9:
$\neg A \to(A \to B)$.

Первое означает, что то, что известно из каких-то общих соображений, не отменится в случае добавления неких частных условий. Т.е. если из общих соображений известно, что $2 \times 2 = 4$ (утверждение $A$), то это не отменится, если предположить, что "Идёт дождь" (утверждение $B$). Это можно сформулировать так: Истинное утверждение следует из чего угодно.

Второе - это то самое ex falso quodlibet (из ложного утверждения следует что угодно).

Заранее зная, что логика у нас двузначная (вообще-то это нужно доказывать), из этих двух аксиом легко увидеть, что при значениях истинности аргументов $(0,0)$, $(0,1)$ и $(1,1)$ импликация будет истинной. А значит при значении аргументов $(1,0)$ она должна быть ложной, поскольку иначе получилась бы тождественная истина, независимо от аргументов.

[пианист]

Добавлю немного (извиняюсь, если уже проговаривалось).

Vladimir Pliassov в сообщении #1632079 писал(а):

откуда взялось это правило: "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно"?

В общем-то, это логично. И в обычном, житейском смысле "если А, то Б" означает, что выполнение А гарантирует выполнение Б, и все. Если А не выполнено, по поводу Б мы просто ничего не можем сказать. Соответственно, причинно-следственная связь будет нарушена, только если А выполнится, а Б нет, в остальных случаях все ок.

[Gevin Magnus]

svv в сообщении #1632029 писал(а):

Это фатально для формальной системы, но не лишает смысла слово "причина". Например, если климатолога спрашивают: "В чём причина быстрого таяния ледников в последние десятилетия?" — он даст ответ. Думаю, вопрос этот понятен и Вам. Вы также понимаете, что здесь под причиной не подразумевается произвольное $P$, такое, что истинна импликация:
если $P$, то сейчас ледники быстро тают
(ну, или "следовательно", как Вам будет угодно)

Но я согласен, что в таком понимании термины "причина" и "следствие" неформализуемы (что, повторюсь, не отменяет их полезности). Именно поэтому им не место в формальной логике.

Можно попытаться формализовать А - причина Б, если "если бы не было А, то не было и Б (при прочих равных)"

[Dedekind]

EminentVictorians в сообщении #1631982 писал(а):

И вот так сразу легко и без проблем приняли тот факт, что, например, высказывание "Если $2 \cdot 2 = 5$, то $2 \cdot 2 = 4$" истинно?

Ну да, на это ушло 13 минут из тех 15. И на прочие примеры vacuous truth типа "Все крокодилы в Баренцевом море красные" и т.д. Это же просто определение функции. Что тут можно размусоливать столько времени?

[talash]

epros в сообщении #1632087 писал(а):

Заранее зная, что логика у нас двузначная (вообще-то это нужно доказывать)

Но как это можно доказать? С помощью логики доказать двузначность самой себя? Или это доказывается с помощью какой-то другой (высшей) логики?

[epros]

Gevin Magnus в сообщении #1632093 писал(а):

А - причина Б, если "если бы не было А, то не было и Б (при прочих равных)"

Обозначим причинно-следственную связь стрелкой $\Rightarrow$. Тогда Ваше утверждение запишется так: $(\neg A \Rightarrow \neg B) \Rightarrow (A \Rightarrow B)$. Вы уверены, что именно этого хотели бы от причинно-следственной связи?

talash в сообщении #1632098 писал(а):

Но как это можно доказать? С помощью логики доказать двузначность самой себя? Или это доказывается с помощью какой-то другой (высшей) логики?

Двузначность классической логики следует из закона исключённого третьего. Логики, в которых его нет, не двузначные.

[Vladimir Pliassov]

1.

Раз импликация это причинно-следственная связь и импликация может быть как истинной, так и ложной, то и причинно-следственная связь может быть как истинной, так и ложной.

2.

Когда аксиомы уже даны, можно работать, не задаваясь вопросом, откуда они взялись. Это я к тому, что на мой вопрос:

"Откуда взялось это правило: "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно?" --

можно не простить ответа, а просто, исходя из этого правила, проводить логическую операцию, поверяя, истинная импликация или ложная.

Но у нас сейчас речь идет именно о том, что положить до начала логической операции, из чего исходить, какие взять правила, аксиомы, какие утверждения назначить истинными, а какие ложными и т. д..

При построении любой бинарной логической функции можно взять четыре конъюнкции (об этом в предыдущих постах) и из них исключить несколько штук, числом от $0$ до $4$. Если не исключить ни одной, получим тождественную единицу, если исключить все четыре, получим тождественный нуль, исключить только первую -- получим дизъюнкцию и так далее.

При решении практических задач с использованием этих функций надо решить, какие конъюнкции исключать, и, как я понимаю, исключать надо конъюнкции, которые по нашим представлениям являются невозможными. Их не надо путать с ложными.

Например, пусть исходные утверждения "Дождь идет" и $ оба полагаются истинными

(утверждение "Дождь идет" назначается истинным по свободному выбору между "Дождь идет" и "Дождь не идет", а $ -- из аксиоматики Пеано),

а "Дождь не идет" и $ -- ложными.

Тогда конъюнкция "Дождь не идет" $\wedge$ $ ложная (потому что состоит не из одних только истинных утверждений), но при этом возможная: может быть такое, что дождь не идет и вместе с тем $2\times 2 = 4$.

А конъюнкция "Дождь идет" $\wedge$ $ ложная и невозможная (потому что не может быть такого, чтобы шел дождь и при этом было $2\times 2 \ne 4$).

3.

Попробую на этом примере доказать аксиому

epros в сообщении #1632087 писал(а):

$A\to (B \to A)$

(тогда она перестанет быть аксиомой?).

Пусть

$B= \text {, $\neg B= \text {,

$A=, $\neg A=.

Составим четыре конъюнкции:

1) $\neg B\wedge \neg A$,

2) $\neg B\wedge A$,

3) $B\wedge \neg A$,

4) $B\wedge A$,

и исключим первую и третью (обведем их траурными рамками) как невозможные:

1) $\boxed {\neg B\wedge \neg A}$,

2) $\neg B\wedge A$,

3) $\boxed {B\wedge \neg A}$,

4) $B\wedge A$,

получим функцию -- не знаю, как она называется, но в ней из $\neg B$ и из $B$ следует $A$, то есть имеем $A\to (\neg B\to A)$ и $A\to (B\to A)$, то есть доказано (если доказано) не только что $A\to (B\to A)$, но и то, что $A\to (\neg B\to A)$.

Кстати, о таких причинно-следственных связях в бинарных логических функциях я не говорил, не придавал им значения, потому что они, так сказать, не инъективные, то есть из двух разных значений операнда следует одно и то же значение другого операнда, но, как вижу, зря (даже если не доказал аксиому).

Доказал?

[пианист]

Vladimir Pliassov
Я лишь попытался ответить на заданный вопрос. Дискуссию, если что, не читал ;)