1.
Кажется, разобрался!
Все-таки слово "импликация" употребляется в двух разных значениях:
1) причинно-следственная связь,
2) одна из бинарных булевых функций.
Вот еще одно подтверждение того, что под импликацией может пониматься причинно-следственная связь (следование):
Импликация - это утверждение из двух частей, разделённых стрелочкой. В естественном языке это утверждение выражается оборотами: "Если ..., то ..." или "Из ... следует ...".
И чаще всего импликация так и понимается, и понималась так еще задолго до появления булевых функций:
Цитата:
Булевы функции возникли в середине 19 в. в математических задачах логики и были названы по имени Дж. Буля.
https://bigenc.ru/c/buleva-funktsiia-71ad40Так что первую импликацию можно называть
импликацией-следованием, а вторую
импликацией-функцией.
О том, почему, по моему мнению, одна (и только одна) бинарная булева функция названа импликацией (прямой), я уже писал:
"
прямая импликация это единственная из всех 16 бинарных булевых функций, в которой есть
, и при этом нет
."
Во всякой трехстрочной булевой функции имеется две причинно-следственные связи, то есть две импликации-следования (обозначенные
![$\Rightarrow$ $\Rightarrow$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/7/777d001ea1ec5971b67bb546ed760f9782.png)
):
![$$\begin {matrix}
{\begin {center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\vee Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 0\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end {center}}\\
\neg p\Rightarrow q\\
\neg q\Rightarrow p
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\leftarrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 0 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
\neg p\Rightarrow \neg q\\
q\Rightarrow p
\end {matrix}\eqno (1-a)$$ $$\begin {matrix}
{\begin {center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\vee Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 0\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end {center}}\\
\neg p\Rightarrow q\\
\neg q\Rightarrow p
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\leftarrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 0 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
\neg p\Rightarrow \neg q\\
q\Rightarrow p
\end {matrix}\eqno (1-a)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/d/c4d8c88241bec16c513d4e64170bc34a82.png)
![$$\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\rightarrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 0 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
p\Rightarrow q\\
\neg q\Rightarrow \neg p
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\uparrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
p\Rightarrow \neg q\\
q\Rightarrow \neg p
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
(1-b)
\end {matrix}
$$ $$\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\rightarrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 0 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
p\Rightarrow q\\
\neg q\Rightarrow \neg p
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\uparrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
p\Rightarrow \neg q\\
q\Rightarrow \neg p
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
(1-b)
\end {matrix}
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/8/bd867c6e600fcc6457c63840155ac88c82.png)
Что же касается двухстрочных функций, то две из них: эквиваленция и исключающее "или" -- имеют каждая по четыре импликации-следования:
![$$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P &Q & P\equiv {Q}\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 0 \\
\hline
p& \neg q& 0 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\\
\neg p\Leftrightarrow \neg q\\
p\Leftrightarrow q
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\oplus Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 0\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\\
\neg p\Leftrightarrow q\\
\neg q\Leftrightarrow p
\end {matrix}\eqno (2)
$$ $$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P &Q & P\equiv {Q}\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 0 \\
\hline
p& \neg q& 0 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\\
\neg p\Leftrightarrow \neg q\\
p\Leftrightarrow q
\end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\oplus Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 0\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 1 \\
\hline
p& q& 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\\
\neg p\Leftrightarrow q\\
\neg q\Leftrightarrow p
\end {matrix}\eqno (2)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eec9de03d1ff3350e27f7c8ca2d7e93482.png)
(Говоря "двух- или трехстрочная функция" -- я имею в виду стоки таблицы, которые не оканчиваются нулем, и, разумеется, не строку с
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
).
Почему, например, в дизъюнкции (
![$P\vee Q$ $P\vee Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/6/c56c5c6913b60b7855f05b410c516e9182.png)
) мы имеем
![$\neg p\Rightarrow q$ $\neg p\Rightarrow q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/8/73870d8787312e78e8e9a475f4f43ec282.png)
и
![$\neg q\Rightarrow p$ $\neg q\Rightarrow p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/5/70501e050b721b3c6ceceac1185e72c282.png)
? Об этом можно посмотреть
здесь #1630977.
Таким образом, во всех четырех трехстрочных бинарных булевых функциях (не в каждой из них, а в их совокупности) можно найти всего 8 импликаций-следований, и это все возможные импликации-следования из элементов множества
![$\{p, \neg p\}$ $\{p, \neg p\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/b/e2bea9ec6d56b353c91b651fbc71eee282.png)
в элементы множества
![$\{q, \neg q\}$ $\{q, \neg q\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/1/a111dc0ed2865470867e0a090e8617f382.png)
и наоборот, из элементов множества
![$\{q, \neg q\}$ $\{q, \neg q\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/1/a111dc0ed2865470867e0a090e8617f382.png)
в элементы множества
![$\{p, \neg p\}$ $\{p, \neg p\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/b/e2bea9ec6d56b353c91b651fbc71eee282.png)
.
Также и во всех двухстрочных бинарных булевых функциях (не в каждой из них, а в их совокупности) можно найти эти 8 импликаций-следований.
2.
Теперь понятно, что в выражении "истинная" или "ложная импликация" имеется в виду не импликация-функция, а импликация-следование.
Отметим, что из восьми импликаций-следований в трехстрочных функциях имеется только две ложных, и обе они принадлежат штриху Шеффера (
![$P\uparrow Q$ $P\uparrow Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/801aa23f72d0c2345a938e1331383c6d82.png)
), а в двухстрочных функциях обе они принадлежат исключающему "или".
Разумеется, если полагать, что
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
как посылки и как заключения истинны, а
![$\neg p$ $\neg p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea93f3519d9141e9e02f11439b4588d82.png)
и
![$\neg q$ $\neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/1806b28ae3f8ccb2f7176ba68a4fc8a382.png)
как посылки и как заключения ложны.
3.
Два аргумента булевой функции "импликация", принимают возможные значения из одного и того же множества, из одних и тех же двух элементов (их конечно, можно обозначить как угодно, хоть {
![$\text{True}, \text{False}$ $\text{True}, \text{False}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/4/3c4c18d78b61aefdd7b0a6aae362805982.png)
}, хоть {
![$0, 1$ $0, 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/8/7f8d1f23fa754d8311a7718e5a9a1fbd82.png)
}). Сама функция, принимает свои возможные значения над том же самом множестве, из тех же самых элементов.
Можно извратиться, конечно, и обозначать эти значения даже как {
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
,
![$\lnot{p}$ $\lnot{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/1/3d123bfcdd334bd9c83a90ec061647ce82.png)
}. Хотя значок
![$\lnot$ $\lnot$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/1/8414114f494487c2b7873fb0e6c3e0c582.png)
например уже стандартно зарезервирован для других целей, а буквы зарезервированы для "переменных" - и использовать этих значков для чего-то другого плохая практика, мягко говоря. Все равно в алгебре настаивать поменять запись числа
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
на
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, а аргументы функций вместо буковками обозначать цифрами типа
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
:)
Но даже если так, то зачем пользоваться тремя разными обозначениями, для каждого из этих двух конкретных значений (которые могут принимать как аргументы, так и результат функции)??
Чтобы данная таблица имела хоть какой-то смысл в такой записи, нужно дополнительно оговорить что чему соответствует в таблице (типа
![$0 \equiv \lnot p \equiv \lnot q$ $0 \equiv \lnot p \equiv \lnot q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/0/6903f9a7eb970094838c2eb49706886182.png)
, т.е. эти разные знаки суть разные записи одного и того же значения; то же самое и для эквивалентности значков
![$1 \equiv p \equiv q$ $1 \equiv p \equiv q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/b/0bbc14731bb4878c6fe89ad9170c5cfb82.png)
).
Здесь мне надо еще подумать, но пока что скажу, что под влиянием Ваших замечаний я переделал таблицы (если Вы заметили), вставив в них
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
. В самом деле, у меня не совсем булевы функции:
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
принимают значения не из одного и того же множества,
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
принимает значения из множества
![$\{p, \neg p\}$ $\{p, \neg p\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/b/e2bea9ec6d56b353c91b651fbc71eee282.png)
, а
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
-- из множества
![$\{q,\neg q\}$ $\{q,\neg q\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/1/03184512db4e69588cb3a31cc1cdd89582.png)
, так что каждая пара состоит из элементов разных множеств.
Зачем я так сделал, пока не могу объяснить, думаю об этом, но мне кажется, что так можно.