Почему математика работает?

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1624556 писал(а):

У меня есть подозрение, что все модели натуральных чисел, рассматриваемые внутри теории множеств, будут изоморфны.

Изоморфны как что? Как множества они не изоморфны, так как содержат разное число элементов. Как модели натуральных чисел? Это порочный круг получается.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1624555 писал(а):

Только это совсем не те аксиомы, о которых говорит и на которых так настаивает epros

Фактически те же самые. Есть незначительные тонкости. Например, в стандартной модели инкремент определяется аксиомой $Sx = x \cup \{x\}$, а в аксиоматике Пеано - двумя аксиомами: $Sx \ne 0$ и $Sx = Sy \to x = y$. Казалось бы, есть разница. Но последние две аксиомы выводимы из первой.

EminentVictorians в сообщении #1624556 писал(а):

это не проблема натуральных чисел, а проблема самой $PA_1$ - в том, что она - кастрированная теория

Гёдель сказал, что любая теория "кастрированная". А "натуральные числа" - это понятие, определённое аксиоматикой. Так что какова аксиоматика, таково и понятие. Нет никаких "объективных натуральных чисел", существующих независимо от определения. И определённые "стандартной моделью" натуральные числа - тоже определены аксиоматически, просто эта аксиоматика чуть посильнее аксиоматики арифметики Пеано первого порядка, а поэтому теорема Гудстейна в ней оказалась доказуема. Но и в ней есть недоказуемые утверждения.

EminentVictorians в сообщении #1624556 писал(а):

У меня есть подозрение, что все модели натуральных чисел, рассматриваемые внутри теории множеств, будут изоморфны.

Что это значит?

[warlock66613]

epros в сообщении #1624565 писал(а):

Гёдель сказал, что любая теория "кастрированная".

Не любая, а только теория, имеющая структуру, который рассматривал Гёдель: со строго определёнными, превентивно зафиксированными аксиомами и правилами вывода. Нет причин считать, что математика может быть адекватно ужата в такие строгие рамки.

epros в сообщении #1624565 писал(а):

Нет никаких "объективных натуральных чисел", существующих независимо от определения.

Это как минимум сомнительное утверждение. Натуральные числа, как и вообще математика, существуют в головах математиков, и насколько они похожи на "аксиоматически определённые натуральные числа" — это большой вопрос. Есть причины, почему хотя нестандартных моделей натуральных чисел Пеано — много, стандартная только одна.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1624562 писал(а):

Как множества они не изоморфны, так как содержат разное число элементов.

Изоморфизм между множествами - это просто биекция. Т.е. множество $A$ называется изоморфным множеству $B$, если просто существует биекция $f:A \to B$. Под изоморфизмом натуральных чисел как множеств (а не как структур) понимается изоморфность (т.е. по сути тупо равномощность) их носителей. Вы уверены, что они не изоморфны как множества? (По-моему, изоморфны).

epros в сообщении #1624565 писал(а):

Что это значит?

Я говорил про изоморфизм натуральных чисел как структур. Это значит следующее:
Пусть $\mathbb N_1$ и $\mathbb N_2$ - два носителя двух моделей натуральных чисел. Тогда существует биекция $f:\mathbb N_1 \to \mathbb N_2$ такая, что
$f(0_1) = 0_2$,
$f(S_1(a)) = S_2(f(a))$ ($\forall a \in \mathbb N_1$)

где $0_1$ и $0_2$ - соответственно ноль первого носителя и ноль второго носителя,
и $S_1$ и $S_2$ - соответственно последователь первого носителя и второго носителя

[epros]

warlock66613 в сообщении #1624568 писал(а):

Не любая, а только теория, имеющая структуру, который рассматривал Гёдель: со строго определёнными, превентивно зафиксированными аксиомами и правилами вывода.

Нет, не так. Речь о "достаточно сильной теории", под которой конкретно Гёдель имел в виду способность выразить утверждения арифметики Пеано.

warlock66613 в сообщении #1624568 писал(а):

Нет причин считать, что математика может быть адекватно ужата в такие строгие рамки.

Наоборот. "Строгие рамки" - это полные теории, язык которых недостаточно силён, чтобы выразить произвольные утверждения арифметики Пеано. Вся математика заведомо находится за этими рамками, поэтому в ней неразрешимые арифметические утверждения всегда будут.

warlock66613 в сообщении #1624568 писал(а):

Натуральные числа, как и вообще математика, существуют в головах математиков, и насколько они похожи на "аксиоматически определённые натуральные числа" — это большой вопрос.

В головах существует множество не вполне осмысленных вещей типа чайника Рассела. Но чтобы другие люди без помощи телепатии поняли, о чём идёт речь, нужно дать этому определение. А другого способа, кроме как сформулировать аксиоматику, не существует.

warlock66613 в сообщении #1624568 писал(а):

Есть причины, почему хотя нестандартных моделей натуральных чисел Пеано — много, стандартная только одна.

А кто Вам сказал, что стандартная модель - одна? Это просто такое название для одного из способов построения моделей.

-- Вс дек 31, 2023 17:00:21 --

EminentVictorians в сообщении #1624570 писал(а):

Тогда существует биекция $f:\mathbb N_1 \to \mathbb N_2$

Конечно нет! Не существует биекции между носителями стандартной и нестандартной модели, ибо нестандартные модели бывают несчётные.

[warlock66613]

epros в сообщении #1624572 писал(а):

Но чтобы другие люди без помощи телепатии поняли, о чём идёт речь, нужно дать этому определение.

Это не так. Никто никогда не давал вам определение "стула", но вы знаете что такое стул. Знание языка, в том числе семантики слов предаётся от человека к человеку невербальными средствами. И в точных науках, и даже в математике дело обстоит очень похоже. Начиная с какого-то уровня определения, конечно, даются, но они всё равно вторичны. Можно прекрасно забыть определение и всё же быть способным его восстановить, если помнить невербализуемую суть определяемого понятия. Можно даже ставить вопросы типа "а хорошее ли вот такое-то определение такой-то штуки и не лучше ли вместо него использовать вот такое-то?" (речь о неэкивалентных определениях). А уж конкретно натуральным числам дать общепринятое определение вообще пока никому не удалось.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624572 писал(а):

Конечно нет! Не существует биекции между носителями стандартной и нестандартной модели, ибо нестандартные модели бывают несчётные.

Так Вы мне покажите эту модель! Чтобы все по порядку было построено:

1)Такое-то множество называем множеством псевдонатуральных чисел
2)Такой-то его элемент называем псевдонулем
3)Такую-то функцию называем псевдопоследователем
4)Докажем, что все требования Пеано выполнены.

[warlock66613]

EminentVictorians, вы не знаете теоремы Лёвенгейма — Скулема или внезапно заделались конструктивистом и отказываетесь признавать существование чего-либо без "конкретного примера" этого чего-либо?

-- 31.12.2023, 18:08 --

epros в сообщении #1624572 писал(а):

А кто Вам сказал, что стандартная модель - одна?

А кто вам сказал, что их много? Собственно, дело даже не в том одна она или нет. Главное, что само слово в единственном числе и это неспроста. И если кто-то скажет "стандартная модель арифметики", то все подумают примерно об одном и том же. А вот если кто-то скажет "нестандартная модель арифметики", то кто-то, например, подумает о минимальной нестандартной модели с бесконечно большим числом, а кто-то — о модели несчётной мощности и т. д.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1624579 писал(а):

вы не знаете теоремы Лёвенгейма — Скулема или внезапно заделались конструктивистом и отказываетесь признавать существование чего-либо без "конкретного примера" этого чего-либо?

Ой, это сложный вопрос. Не уверен, что смогу грамотно ответить.

Я скажу так, что я не очень доверяю всем этим общим матлогическим теоремам. Я, в частности, не уверен, что вариант теории множеств, который я использую, формализуется в логике первого порядка. Я вообще не доверяю формальным теориям первого порядка, типа той же ZFC. Своей родной(см. оффтоп про универсум), похожей на канторовскую, теории множеств (в которой, кстати, нету никаких парадоксов) я доверяю больше, чем всем этим результатам про формальные теории. Я вообще не уверен даже, что аксиомы исчисления предикатов первого порядка покрывают все логические фигуры, которые мы используем в повседневной математике.

Я не требую конструктивности. Вот на днях, я полностью построил модель $^* \mathbb R$ гипердействительных чисел. Она не проходит в конструктивные рамки - существование свободного ультрафильтра на $\mathbb N$ требует аксиому выбора. Но тем не менее, эта модель мне невероятно понравилась. Я считаю ее абсолютно корректной и хорошо определенной. Так что конструктивность не требуется. Но внятно описать эту модель надо. На уровне строгости той модели гипердействительных чисел из моего поста по гиперссылке. Иначе не поверю.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1624574 писал(а):

Никто никогда не давал вам определение "стула", но вы знаете что такое стул.

Да бросьте, папы с мамами очень даже давали. Ну и воспитатели в детском саду отчасти. Это, конечно, выглядит не так формально, как в математике, но по сути, когда тебе показывают, где стул, а где не стул, то это тоже определение. Ну и без прямых объяснений в виде разговоров и ответов на вопросы ребёнка дело не обходится.

warlock66613 в сообщении #1624574 писал(а):

Знание языка, в том числе семантики слов предаётся от человека к человеку невербальными средствами.

Каким образом знание языка может передаваться невербальными средствами? Невербальными средствами может передаваться умение пользоваться стулом, но никак не знание того, что этот предмет называется "стул".

warlock66613 в сообщении #1624574 писал(а):

Начиная с какого-то уровня определения, конечно, даются, но они всё равно вторичны.

Ну разумеется, детям в начальной школе преподают не формальную арифметику Пеано, а счёт, потом правила сложения и правила умножения. Но ведь это тоже вариант определения понятия "натуральные числа".

warlock66613 в сообщении #1624574 писал(а):

А уж конкретно натуральным числам дать общепринятое определение вообще пока никому не удалось.

Насколько оно должно быть "общепринятым"? Джузеппе Пеано постарался и теперь арифметика Пеано вроде бы как считается наиболее общепринятым определением (с оговоркой, что аксиома индукции - второго порядка).

EminentVictorians в сообщении #1624577 писал(а):

Так Вы мне покажите эту модель! Чтобы все по порядку было построено

Ищите и обрящете, в сети всё есть. Не заставляйте меня делать для Вас работу, которая мне не особо интересна.

warlock66613 в сообщении #1624579 писал(а):

А кто вам сказал, что их много? Собственно, дело даже не в том одна она или нет. Главное, что само слово в единственном числе и это неспроста. И если кто-то скажет "стандартная модель арифметики", то все подумают примерно об одном и том же.

Мало ли кто о чём подумает? Понятие о "стандартности" модели потому и возникло, что людям хотелось видеть одну модель, в то время как они уже понимали, что их много. Разумеется, в теории множеств можно сказать, что "стандартная" модель - это минимальное индуктивное множество. И в этой же теории легко доказывается, что такое множество - единственно. Вот только сегодня мы уже знаем, что у самой теории множеств есть нестандартные модели, в рамках которых "стандартная модель натуральных чисел" на самом деле оказывается нестандартной.

[Mikhail_K]

Не читал тему подробно, но скажу, что я целиком на стороне EminentVictorians в этой дискуссии.

Все модели $\mathbb{N}$, построенные в рамках ZFC, изоморфны друг другу.
Уточню: под моделью $\mathbb{N}$ я понимаю множество, на котором задана операция $S:\,\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, удовлетворяющее аксиомам Пеано, изложенным на языке множеств. То есть никакой схемы аксиом индукции, а одна аксиома: если подмножество $\mathbb{N}$ содержит единицу (или нуль, если угодно его включать в $\mathbb{N}$) и вместе с каждым элементом $\mathbb{N}$ содержит следующий, то это подмножество совпадает с $\mathbb{N}$.

Что касается нестандартных моделей и теоремы Левенгейма-Скулема, то это всё работает, но требует нестандартных моделей ZFC. Если считать, что есть одна "истинная" модель ZFC (а именно это предлагает EminentVictorians), и не рассматривать нестандартные модели (несмотря на их теоретическое существование), и в частности не рассматривать вопрос, как их отличить от "истинной" - то все модели $\mathbb{N}$ будут изоморфны друг другу.

Вопросы epros, мол как отличить утверждения ZFC, соответствующие арифметике Пеано, от всех других утверждений ZFC, мне кажутся, во-первых, странными, во-вторых, не важными. Аналогично, можно было бы сформулировать претензию к определению предела последовательности на языке $\varepsilon-\delta$: а как вы отличите утверждения на языке $\varepsilon-\delta$, соответствующие теоремам из математического анализа, от всех других утверждений с кванторами? Непонятно, почему этот вопрос вообще нужно рассматривать.

Что касается разной кодировки натуральных чисел на языке ZFC, здесь ситуация следующая. Натуральные числа - это мощности конечных множеств. Сказать, что "в таком-то множестве $n$ элементов" - то же самое, что сказать "оно равномощно любому другому множеству из $n$ элементов". Поэтому достаточно выделить (произвольным образом) множество из нуля элементов, из одного элемента, из двух элементов и т.д. и после этого предложение "в таком-то множестве $n$ элементов" будет означать "множество равномощно такому-то из этих наших стандартных множеств". Так мы перевели утверждение о числе элементов на язык теории множеств, и после этого разумно считать, что само число $n$ - это как раз и есть соответствующее стандартное множество (потому что утверждение о числе - это в точности утверждение о таком стандартном множестве). Выделить стандартные множества можно по-разному, но взять конечные ординалы, играющие ключевую роль в теории множеств - самый естественный путь.

[warlock66613]

epros в сообщении #1624586 писал(а):

Вот только сегодня мы уже знаем, что у самой теории множеств есть нестандартные модели, в рамках которых "стандартная модель натуральных чисел" на самом деле оказывается нестандартной.

Видите, даже вы признаёте, что такие якобы стандартные модели на самом деле нестандартные. Значит истинно стандартная модель всё же одна.

-- 31.12.2023, 19:18 --

Mikhail_K в сообщении #1624588 писал(а):

скажу, что я целиком на стороне EminentVictorians в этой дискуссии

Я тоже, просто, имхо, его позиция всё же не без изъяна.

Mikhail_K в сообщении #1624588 писал(а):

Натуральные числа - это мощности конечных множеств.

Вот. Это уже серьёзное усиление позиции.

epros в сообщении #1624586 писал(а):

Джузеппе Пеано постарался и теперь арифметика Пеано вроде бы как считается наиболее общепринятым определением (с оговоркой, что аксиома индукции - второго порядка).

Логика второго порядка в принципе не особо широко известный и общепринятый зверь. Многие предпочтут первопорядковую теорию множеств и определение натуральных чисел как Mikhail_K предложил выше.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1624588 писал(а):

Все модели $\mathbb{N}$, построенные в рамках ZFC, изоморфны друг другу.

В смысле существования биекции это утверждение ложно.

Mikhail_K в сообщении #1624588 писал(а):

Аналогично, можно было бы сформулировать претензию к определению предела последовательности на языке $\varepsilon-\delta$: а как вы отличите утверждения на языке $\varepsilon-\delta$, соответствующие теоремам из математического анализа, от всех других утверждений с кванторами? Непонятно, почему этот вопрос вообще нужно рассматривать.

А я Вам объясню почему. Потому что мы хотим пользоваться понятием "предел". Для этого нужно: 1) ввести термин, 2) сформулировать определение (обычно это и делается "на языке $\varepsilon-\delta$"). Если Вы этого не проделаете, то не сможете употреблять слово "предел" в своей речи: Как только употребите, так Вас и спросят, что это такое.

warlock66613 в сообщении #1624589 писал(а):

Видите, даже вы признаёте, что такие якобы стандартные модели на самом деле нестандартные. Значит истинно стандартная модель всё же одна.

С чего бы это? Это значит, что понятие "стандартности" не работает таким образок, как мы от него ожидали.

warlock66613 в сообщении #1624589 писал(а):

Логика второго порядка в принципе не особо широко известный и общепринятый зверь.

Уже хорошо известно и общепринято, что попытка выразить математическую индукцию схемой аксиом первого порядка неполноценна, поскольку такая индукция распространяется только на свойства, выразимые формулами, а не на все множества.

warlock66613 в сообщении #1624589 писал(а):

определение натуральных чисел как Mikhail_K предложил выше.

Вы про это:

Mikhail_K в сообщении #1624588 писал(а):

Натуральные числа - это мощности конечных множеств.

Проблема этого определения в том, что "конечность" обычно и определяется через натуральные числа. Масло масляное получается.

-- Вс дек 31, 2023 20:01:13 --

Кстати:

Mikhail_K в сообщении #1624588 писал(а):

взять конечные ординалы

Ординалы - это порядковые числа. А мощности множеств измеряются количественными числами - кардиналами. Хотя конечные и ординалы, и кардиналы выражаются одними и теми же натуральными числами, но всё же не надо их путать.

[warlock66613]

epros в сообщении #1624593 писал(а):

Проблема этого определения в том, что "конечность" обычно и определяется через натуральные числа.

Определяйте как несуществование подмножества, равномощного множеству. Это гораздо элегантнее.

[gevaraweb]

EminentVictorians в сообщении #1622642 писал(а):

Математика эффективна там, где есть хороший процесс моделирования реальности математикой. Там, где моделирование плохое - математика неэффективна. Т.е. благодарить надо не математику, а тех, кто смог сделать правильное моделирование. А с математики какой спрос? Она просто генерирует верные утверждения из верных и все.

Тут еще такой момент. Математика может быть эффективной независимо от "правильности" моделирования. Например, видимое движение планет хорошо объясняется и эпициклами в геоцентрической системе мира, и законами Кеплера в гелиоцентрической.
Надо подумать, какой можно сделать следующий вывод ).