Не читал тему подробно, но скажу, что я целиком на стороне
EminentVictorians в этой дискуссии.
Все модели
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
, построенные в рамках ZFC, изоморфны друг другу.
Уточню: под моделью
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
я понимаю множество, на котором задана операция
![$S:\,\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $S:\,\mathbb{N}\to\mathbb{N}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/9/bd9fb0ae381b5fb86bffd8414e6077f582.png)
, удовлетворяющее аксиомам Пеано, изложенным на языке множеств. То есть никакой схемы аксиом индукции, а одна аксиома: если подмножество
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
содержит единицу (или нуль, если угодно его включать в
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
) и вместе с каждым элементом
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
содержит следующий, то это подмножество совпадает с
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
.
Что касается нестандартных моделей и теоремы Левенгейма-Скулема, то это всё работает, но требует нестандартных моделей ZFC. Если считать, что есть одна "истинная" модель ZFC (а именно это предлагает
EminentVictorians), и не рассматривать нестандартные модели (несмотря на их теоретическое существование), и в частности не рассматривать вопрос, как их отличить от "истинной" - то все модели
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
будут изоморфны друг другу.
Вопросы
epros, мол как отличить утверждения ZFC, соответствующие арифметике Пеано, от всех других утверждений ZFC, мне кажутся, во-первых, странными, во-вторых, не важными. Аналогично, можно было бы сформулировать претензию к определению предела последовательности на языке
![$\varepsilon-\delta$ $\varepsilon-\delta$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/0/940c003394a897ff375d04f067e5acfb82.png)
: а как вы отличите утверждения на языке
![$\varepsilon-\delta$ $\varepsilon-\delta$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/0/940c003394a897ff375d04f067e5acfb82.png)
, соответствующие теоремам из математического анализа, от всех других утверждений с кванторами? Непонятно, почему этот вопрос вообще нужно рассматривать.
Что касается разной кодировки натуральных чисел на языке ZFC, здесь ситуация следующая. Натуральные числа - это мощности конечных множеств. Сказать, что "в таком-то множестве
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
элементов" - то же самое, что сказать "оно равномощно любому другому множеству из
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
элементов". Поэтому достаточно выделить (произвольным образом) множество из нуля элементов, из одного элемента, из двух элементов и т.д. и после этого предложение "в таком-то множестве
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
элементов" будет означать "множество равномощно такому-то из этих наших стандартных множеств". Так мы перевели утверждение о числе элементов на язык теории множеств, и после этого разумно считать, что само число
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- это как раз и есть соответствующее стандартное множество (потому что утверждение о числе - это в точности утверждение о таком стандартном множестве). Выделить стандартные множества можно по-разному, но взять конечные ординалы, играющие ключевую роль в теории множеств - самый естественный путь.