Нестандартный анализ без матлогики

[EminentVictorians]

Можно ли развивать нестандартный анализ без обращений к матлогике? Я имею в виду примерно следующее:

0) Забываем всю математику класса, начиная, с 8-ого (или когда там впервые появляются иррациональные числа). В общем, все что на данный момент знаем - это как работать с рациональными числами.
1) Определяем голые вещественные числа $\mathbb R$ - просто полное архимедово линейно упорядоченное поле. Ни про корни, ни про степени, ни про синусы с косинусами не знаем.
2) Фиксируем модель $^*\mathbb R$, построенную на (существующем по аксиоме выбора) свободном ультрафильтре $F \subset 2^\mathbb N$.
3) Определяем принцип переноса - процедуру, которая каждое множество $A \subset \mathbb R$ переводит в $^*A \subset {^*\mathbb R}$, функцию $f$ переводит в $^*f$ и т.д. Для множеств это делается так:

если $E \subset \mathbb R$, то определим $^*E \subset {^*\mathbb R}$ следующим образом: для гипердействительного числа $^*f$ (которое представляет собой класс последовательностей действительных чисел, в который входит, в частности, последовательность $f$) выполняется $^*f \in {^*E} \Leftrightarrow \{i \in \mathbb N| f(i) \in E\} \in F$.

4) И начинаем давать все известные определения (начиная с элементарных функций), сразу на гипердействительных числах. Я бы очень хотел избежать любое обращение к действительным числам, но, похоже, совсем избежать не получится. Например, чтобы определить функцию $\sqrt$ придется все равно сначала определить ее как функцию вида $\mathbb R_{\geqslant 0} \to \mathbb R$, а потом, пользуясь принципом переноса, определяем ее гипердействительный аналог $^* \sqrt: {^* ({\mathbb R_{\geqslant 0}}}) \to {^*\mathbb R}$. Ключевой момент, что мы стараемся ничего не доказывать про действительный корень - все свойства стараемся доказывать сразу для гипердействительного корня. Скорее всего, для вещественных корней тоже придется что-то доказать, но будем доказывать только самое необходимое.

5)Таким образом, тот же действительный корень будет для нас как бы "протокорнем". И когда мы далее будем писать значок $\sqrt$, мы будем иметь в виду на самом деле $^*{\sqrt}$. Ставить звездочку имело бы смысл, если бы для нас центральным объектом были бы действительные числа, а гипердействительные - вспомогательным. Но я хочу в принципе постараться как можно меньше задерживаться в $\mathbb R$.


Таким образом, я хочу построить нестандартный анализ, в котором не будет никакой матлогики, никаких языков, никакой теории моделей, никаких Нельсонов, Хрбачеков, Каваи, никакого принципа переноса в терминах языка первого порядка, никаких внутренних множеств, предикатов стандартности и т.д. - короче вообще ничего касающегося матлогики.

Насколько это реально?

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1623312 писал(а):

2) Фиксируем модель $^*\mathbb R$, построенную на (существующем по аксиоме выбора) свободном ультрафильтре $F \subset 2^\mathbb N$.

Можно тут поподробнее? Что такое $^*\mathbb R$ и как оно строится на свободном ультрафильтре?

-- Чт дек 21, 2023 19:43:29 --

EminentVictorians в сообщении #1623312 писал(а):

Но я хочу в принципе постараться как можно меньше задерживаться в $\mathbb R$.

Ну, теорию $\mathbb R$ можно считать известной. В смысле стандартные теоремы анализа.

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1623333 писал(а):

Можно тут поподробнее? Что такое $^*\mathbb R$ и как оно строится на свободном ультрафильтре?

1. Существует свободный ультрафильтр $F \subset 2^\mathbb N$ на множестве натуральных чисел. Зафиксируем его.
2. Рассмотрим множество $\mathbb R ^ \mathbb N$ последовательностей действительных чисел.
3. Введем отношение эквивалентности $\sim$ на $\mathbb R ^ \mathbb N$ следующим образом: $f \sim g \Leftrightarrow \{i \in \mathbb N| f(i) = g(i)\} \in F$ (Т.е. эквивалентные последовательности - это "совпадающие почти всюду" на $\mathbb N$)
4. Фактормножество $\mathbb R ^ \mathbb N \slash \sim$ объявляем множеством гипердействительных чисел: $^*\mathbb R : = \mathbb R ^ \mathbb N \slash \sim$
5. Легко построить вложение $\mathbb R \to {^*\mathbb R}$ (вещественное число $r$ переходит в класс стационарной последовательности $(r, r, ...)$)
6. Определяем порядок: $:{^*f} < {^*g} \Leftrightarrow \{i \in \mathbb N| f(i) < g(i)\} \in F$
7. Тут можно доказать, что существуют положительные бесконечно малые.
8. Далее определяем принцип переноса для множеств (у меня есть в первом сообщении) и функций (тоже легко)
9. Определяем операции. На примере сложения: $^*+$ определяется как гипердействительный аналог операции $+$ на $\mathbb R$. Гипердействительный аналог = принцип переноса.
10. Ну и дальше проверяем, что все корректно определено, что получилось неархимедово расширение вещественных чисел, что оно является линейно упорядоченным полем и все такое.

Padawan в сообщении #1623333 писал(а):

Ну, теорию $\mathbb R$ можно считать известной. В смысле стандартные теоремы анализа.

Нет, я так не хочу. Теория для $\mathbb R$ доказывается с помощью нестандартного анализа. Можете сами оценить: докажем, что любая ограниченная последовательность $f$ (самая обычная вещественнозначная, определенная на обычных натуральных числах) имеет предельную точку. Берем ее гипердействительный аналог $^*f$, смотрим на ее значение на бесконечно большом натуральном числе $N$.
$f$ ограничена $\Rightarrow$ $^*f$ ограничена $\Rightarrow$ $^*f(N)$ - конечное $\Rightarrow$ его стандартная часть и будет предельной точкой последовательности $f$. Круто? Очень!

Но меня больше интересует, можно ли вообще не знать теорию для $\mathbb R$, а стразу строить теорию для $^*\mathbb R$. Там же наверняка есть аналоги всех обычных теорем типа Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, для интеграла и т.п.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1623354 писал(а):

Круто? Очень!

Не разделяю Ваш восторг.

EminentVictorians в сообщении #1623354 писал(а):

Но меня больше интересует, можно ли вообще не знать теорию для $\mathbb R$, а стразу строить теорию для $^*\mathbb R$.

Нет, нельзя. Если вы не знаете стандартный мат анализ, какие могут быть ультрафильтры?

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1623364 писал(а):

Нет, нельзя. Если вы не знаете стандартный мат анализ, какие могут быть ультрафильтры?

Могут быть. Вероятно, Вы просто не слышали про нестандартный анализ. Нестандартный анализ с самого своего появления позиционируется как замена стандартному мат.анализу, хотя и крайне необычная.

Понятие ультрафильтра на стандартный мат.анализ не опирается.

[Padawan]

Mikhail_K
Как думаете, можно ли обучить студента (бывшего школьника) нестандартному анализу, минуя обычный математический анализ.
Либо я неправильно понимаю выражение "не знать" во фразе

EminentVictorians в сообщении #1623354 писал(а):

не знать теорию для $\mathbb R$, а стразу строить теорию для $^*\mathbb R$

Если имеется ввиду "не использовать", то да, можно. Всякой ерунды можно напридумывать. Но вот реальной пользу (док-во новых теорем, упрощение старых) от этого не будет.

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1623368 писал(а):

Как думаете, можно ли обучить студента (бывшего школьника) нестандартному анализу, минуя обычный математический анализ.

Сомневаюсь в этом. Нестандартный анализ, по крайней мере сейчас, имеет не педагогическую и не практическую, а прежде всего эстетическую ценность. Это интересная математическая теория. На стандартный мат.анализ она не опирается - утверждается только это.

Padawan в сообщении #1623368 писал(а):

Но вот реальной пользу (док-во новых теорем, упрощение старых) от этого не будет.

Возможно и так, хотя это тоже не вполне очевидно. Но я думаю, что к математике вообще не стоит подходить с потребительских позиций.

[EminentVictorians]

Посмотрел учебник george66 по нестандартному анализу. К сожалению, изложение ведется с логикой, формальными языками и всем таким подобным. Неужели нельзя без всей этой логики обойтись?

-- 22.12.2023, 14:00 --

george66, если Вам приходят уведомления - было бы очень интересно услышать Ваш комментарий по этому поводу.

[пианист]

EminentVictorians
Неплохо бы определиться, какая цель у Вашего начинания.
Нестандартный анализ, насколько я понимаю, возник из идеи свести матан к арифметике (вернуться к Лейбницу, к корням, так сказать). Каковую задачу предполагалось решить, добавив к обычным числам нестандартные.
Идея, как и следовало ожидать, с треском провалилась, обойденные таким способом трудности просто вылезли в другом месте. Сделать матан одними только элементарными средствами, увы, нельзя.
Можно неэлементарными, но сие факт известный, двести лет уже как.

[talash]

пианист в сообщении #1623741 писал(а):

Нестандартный анализ, насколько я понимаю, возник из идеи свести матан к арифметике (вернуться к Лейбницу, к корням, так сказать). Каковую задачу предполагалось решить, добавив к обычным числам нестандартные.
Идея, как и следовало ожидать, с треском провалилась, обойденные таким способом трудности просто вылезли в другом месте. Сделать матан одними только элементарными средствами, увы, нельзя.
Можно неэлементарными, но сие факт известный, двести лет уже как.

Можете раскрыть мысль, какие неэлементарные средства нужны для построения классического матанализа?

[пианист]

talash
Прошу прощения, не понял.
Изложить здесь основы дифференциального исчисления? А смысл - есть множество прекрасных учебников.

[talash]

пианист в сообщении #1623821 писал(а):

talash
Прошу прощения, не понял.
Изложить здесь основы дифференциального исчисления? А смысл - есть множество прекрасных учебников.

Прошу прощения, Вы может быть не расслышали, я попросил не изложить основы дифференциального исчисления, а перечислить неэлементарные средства, которые нужны для построения классического матанализа, про которые Вы упомянули.

[Anton_Peplov]

talash
Я мало что понимаю в нестандартном анализе. Но насколько мне известно, там главная мысль - избавиться от пределов. Убрать бесконечно малые как функции, стремящиеся к чему-то при стремлении аргумента к чему-то. Вернуться к условно ньютоновскому понятию бесконечно малой величины - как особого числа, которое меньше любого положительного числа, но больше нуля. Это удается, но ценой усложнения в других частях теории.

[talash]

Anton_Peplov в сообщении #1623824 писал(а):

talash
Я мало что понимаю в нестандартном анализе. Но насколько мне известно, там главная мысль - избавиться от пределов. Убрать бесконечно малые как функции, стремящиеся к чему-то при стремлении аргумента к чему-то. Вернуться к условно ньютоновскому понятию бесконечно малой величины - как особого числа, которое меньше любого положительного числа, но больше нуля. Это удается, но ценой усложнения в других частях теории.

Исторически арифметизацией анализа называли избавление от актуально бесконечномалых величин, чтобы в конечном итоге он строился из целых чисел. А тут получается, наоборот, возврат к актуальной бесконечности.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1623741 писал(а):

Неплохо бы определиться, какая цель у Вашего начинания.

Построить нестандартный анализ без привлечения матлогики. Как это примерно может выглядеть, я описал в первых двух сообщениях.