Почему математика работает?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624268 писал(а):

Это называется "не определять новых понятий" и с требованием "определить модель арифметики Пеано" несовместимо.

Т.е. Вы считаете, что введение любого понятия непременно должно сопровождаться расширением алфавита теории?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624300 писал(а):

Т.е. Вы считаете, что введение любого понятия непременно должно сопровождаться расширением алфавита теории?

Сигнатуры и аксиоматики теории. Уж на это-то понятие - как минимум.

А как Вы себе представляете определения "в теории множеств" даже без называния определяемых понятий?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624303 писал(а):

Сигнатуры и аксиоматики теории. Уж на это-то понятие - как минимум.

Ну вот. А я считаю, что это не обязательно (хотя и можно).

epros в сообщении #1624303 писал(а):

А как Вы себе представляете определения "в теории множеств" даже без называния определяемых понятий?

Считать определения метатеоретическим уровнем. А на уровне теории таскать длинные строчки, где нету "слона", но есть "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши". На мой взгляд, это абсолютно корректно. В частности, при таком подходе, ни сигнатура, ни аксиомы теории множеств расширяться не будут.

[warlock66613]

epros в сообщении #1623942 писал(а):

А Вы уверены, что знаете все границы применимости Ньютоновской механики?

Ну даже если и нет, это не страшно. Главное — это осознание, что они есть, и тогда мы можем считать, что ньютоновская механика является корректной эффективной (а значит истинной) теорией в пределах своей применимости без конкретизации этих пределов.

epros в сообщении #1623942 писал(а):

Правда сами охотники их не знают.

Именно. Значит когда они говорят "камни падают так-то" они некорректно распространяют теорию за пределы её применимости. Значит эта теория — так, как они её понимают, — неверна. А может они всё-таки не имеют в виду ничего кроме привычных им условий, мест, камней — и тогда их теория истинна.

epros в сообщении #1623942 писал(а):

Так в чём же заключается выражаемая ею "объективная реальность"?

А вот этого вопроса я не понимаю.

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1624327 писал(а):

А на уровне теории таскать длинные строчки, где нету "слона", но есть "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши".

Бурбаки шли или по крайней мере делали вид, что идут этим путем. В частности, они писали, что символ $1$ обозначает терм из нескольких десятков тысяч знаков.

Еще где-то читал, что удачно выбранная система определений может сократить запись в башню экспонент раз.

Ну и из Лема:

Цитата:

Весь текст настоящей статьи Экстелопедии ("ПРОЛИСТИКА") в МЕТАЯЗЫКЕ-2 выглядит так: "Оптимальник в эн-пинайдке завсклизуется в эн-те-синклюсдоху". Как видим, в принципе любое высказывание на любом метаязыке имеет соответствие в нашем нуль-языке. Иначе говоря, между разными уровнями нет провалов, _принципиально_ непреодолимых межметаязыково. Однако, в то время как любое нуль-языковое высказывание имеет свое более сжатое соответствие в метаязыке, обратная зависимость практически не наблюдается. Так, напр., взятое из МЕТАЯЗЫКА-3 (которым гл. обр. пользуется ГОЛЕМ) высказывание: "Вывъехнутый удушематик фита пренцик а^n тренцик в космушке" - нельзя перевести на современный этнический язык (нуль-язык) по той причине, что время его произнесения превысило бы длительность человеческой жизни. (По оценке Цыбулина, на это потребовалось бы 135+-4 лет.)

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1624346 писал(а):

Бурбаки шли или по крайней мере делали вид, что идут этим путем. В частности, они писали, что символ $1$ обозначает терм из нескольких десятков тысяч знаков.

Так весь формализм идет по этому пути. Формальная ZFC ровно так и устроена. У Бурбаков просто чуть-чуть другая теория множеств была, но концепция одна и та же.

Вводить сокращения в сигнатуру и добавлять определяющие их аксиомы в корпус аксиом можно. Получится консервативное расширение теории. Но можно и не вводить.

[diletto]

EminentVictorians в сообщении #1624327 писал(а):

ни сигнатура, ни аксиомы теории множеств расширяться не будут

Прошу прощения, "сигнатура" - это просто алфавит (список символов) теории или что-то более хитрое?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624327 писал(а):

Считать определения метатеоретическим уровнем.

Да на здоровье. Можете даже специальный символ $\models$ использовать, чтобы было понятно, где там "метатеоретический уровень".

EminentVictorians в сообщении #1624327 писал(а):

А на уровне теории таскать длинные строчки, где нету "слона", но есть "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши".

Это можно. Например, простую аксиому сложения $x+0=x$ можно переформулировать примерно по следующей схеме: Существует $y$ (далее - формулой теории множеств утверждается, что $y$ является бинарной функцией) такая, что $y(x, \varnothing)=x$ (где саму функцию, $\varnothing$ и $=$ необходимо расписать формулами теории множеств). И перед всем этим не забыть поставить условие $\forall x \in \mathbb N$, где $\mathbb N$ тоже придётся расписать формулой теории множеств. Потому что эта аксиома - именно для натуральных чисел, а не для любого множества.

В итоге получим примерно трёхстраничную формулу. И при этом никуда не денется вопрос, который Вы упорно продолжаете игнорировать: Каким образом читатель узнает, что эта формула относится к определяемой Вами "модели арифметики Пеано", в отличие от множества других формул теории множеств? Как только Вы сможете внятно ответить на этот вопрос, Вы поймёте, что никуда не ушли от перечисления аксиом Пеано.

EminentVictorians в сообщении #1624327 писал(а):

В частности, при таком подходе, ни сигнатура, ни аксиомы теории множеств расширяться не будут.

Если не расширите, не сможете ответить на предыдущий вопрос.

Мне вообще кажется странным, что приходится на десятке страниц объяснять, что для того, чтобы определить понятие, его неизбежно придётся упомянуть, т.е. назвать. А это никак не проделать без добавления названия в язык.

-- Сб дек 30, 2023 11:55:03 --

warlock66613 в сообщении #1624331 писал(а):

Главное — это осознание, что они есть, и тогда мы можем считать, что ньютоновская механика является корректной эффективной (а значит истинной) теорией в пределах своей применимости без конкретизации этих пределов.

Всё то же самое можно сказать и о теории охотников о падении тел.

warlock66613 в сообщении #1624331 писал(а):

Значит когда они говорят "камни падают так-то" они некорректно распространяют теорию за пределы её применимости.

Куда распространяют? Про другие миры и дальний космос до Вас они и не слышали. Точно так же, как и Вы сейчас наверняка даже не думаете о тех пределах применимости Ньютоновской механики, которые не определены квантовой механикой или теорией относительности.

warlock66613 в сообщении #1624331 писал(а):

А вот этого вопроса я не понимаю.

Я тоже не понимаю, поэтому не считаю "объективную реальность" осмысленным понятием.

-- Сб дек 30, 2023 12:03:12 --

EminentVictorians в сообщении #1624347 писал(а):

Вводить сокращения в сигнатуру и добавлять определяющие их аксиомы в корпус аксиом можно. Получится консервативное расширение теории. Но можно и не вводить.

Конечно же можно не вводить в арифметику Пеано понятие порядка. При этом даже если Вы употребите формулы, утверждающие что-то про порядок чисел, то даже не узнаете, что сейчас говорили о порядке. Но если Вы целенаправленно хотите говорить о порядке, то Вам придётся консервативно расширить арифметику Пеано. Не надо этого бояться. Зато все будут знать, что Вы говорите именно о порядке.

diletto в сообщении #1624351 писал(а):

Прошу прощения, "сигнатура" - это просто алфавит (список символов) теории или что-то более хитрое?

Сигнатура - это символы, не относящиеся к логическим (специфичные для теории), с указанием их синтаксического использования: типа "унарная функция" или "бинарный предикат".

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624366 писал(а):

Это можно. Например, простую аксиому сложения $x+0=x$ можно переформулировать примерно по следующей схеме: Существует $y$ (далее - формулой теории множеств утверждается, что $y$ является бинарной функцией) такая, что $y(x, \varnothing)=x$ (где саму функцию, $\varnothing$ и $=$ необходимо расписать формулами теории множеств). И перед всем этим не забыть поставить условие $\forall x \in \mathbb N$, где $\mathbb N$ тоже придётся расписать формулой теории множеств. Потому что эта аксиома - именно для натуральных чисел, а не для любого множества.

Все так, только это не аксиома, а теорема теории множеств.

epros в сообщении #1624366 писал(а):

В итоге получим примерно трёхстраничную формулу.

Да.

epros в сообщении #1624366 писал(а):

И при этом никуда не денется вопрос, который Вы упорно продолжаете игнорировать: Каким образом читатель узнает, что эта формула относится к определяемой Вами "модели арифметики Пеано", в отличие от множества других формул теории множеств?

Так там прямо написано

epros в сообщении #1624366 писал(а):

$\forall x \in \mathbb N$

где $\mathbb N$ - это сокращение для конкретного, однозначно понимаемого множества - наименьшего индуктивного множества. К нему формула и относится. И на нём же построена моя модель. Значит, это высказывание к моей модели и относится.

epros в сообщении #1624366 писал(а):

Конечно же можно не вводить в арифметику Пеано понятие порядка. При этом даже если Вы употребите формулы, утверждающие что-то про порядок чисел, то даже не узнаете, что сейчас говорили о порядке. Но если Вы целенаправленно хотите говорить о порядке, то Вам придётся консервативно расширить арифметику Пеано. Не надо этого бояться. Зато все будут знать, что Вы говорите именно о порядке.

Тут Вы что-то странное пишете. На уровне формальной теории есть только строчки символов. Никаких "целенаправленных" или "не целенаправленных" высказываний там нет - есть просто высказывания. Да, действительно, может быть высказывание, которое интерпретируется как высказывание об отношении $<$, но в котором этого самого значка $<$ нету. Ну и что? Высказывание как высказывание. Одно из многих. А что там все будут или не будут знать - формальной теории по барабану. Точно так же как "целенаправленное" это высказывание или нет - ей тоже не важно. Это все какой-то метатеоретический уровень, связанный с интерпретацией человеком формальных утверждений теории. К самой теории это не относится.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624380 писал(а):

Все так, только это не аксиома, а теорема теории множеств.

А нам нужно знать, что это аксиома арифметики Пеано.

EminentVictorians в сообщении #1624380 писал(а):

Так там прямо написано

Ничего там прямо не написано. Утверждений, упоминающих элементы минимального индуктивного множества полно, но не все они имеют отношение к арифметике Пеано.

EminentVictorians в сообщении #1624380 писал(а):

Да, действительно, может быть высказывание, которое интерпретируется как высказывание об отношении $<$, но в котором этого самого значка $<$ нету. Ну и что? Высказывание как высказывание. Одно из многих. А что там все будут или не будут знать - формальной теории по барабану.

По барабану - формальная теория или нет. А вот идёт речь о порядке или нет - это не по барабану. Мы не телепаты, поэтому об этом нужно явно сказать.

EminentVictorians в сообщении #1624380 писал(а):

Это все какой-то метатеоретический уровень, связанный с интерпретацией человеком формальных утверждений теории. К самой теории это не относится.

Так определение модели - это и есть "метатеоретический уровень". И о какой "самой теории" речь? Если мы произносим слова про порядок, значит подразумеваем расширение языка и аксиоматики на это понятие. А если Вы этих слов избегаете, каждый раз произнося: "Существует такое $z$, что $x+z=y$", то Вы можете, конечно, гордиться тем, что пользуетесь не расширенным языком, но скорее всего просто никто не поймёт, о чём и зачем Вы рассуждаете.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624406 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1624380 писал(а):

Все так, только это не аксиома, а теорема теории множеств.

А нам нужно знать, что это аксиома арифметики Пеано.

Вот только есть одна небольшая проблема: это не аксиома арифметики Пеано.

epros в сообщении #1624406 писал(а):

Утверждений, упоминающих элементы минимального индуктивного множества полно, но не все они имеют отношение к арифметике Пеано.

Ни одно из них не является утверждением арифметики Пеано. А что к чему имеет или не имеет отношение - это уже вопрос интерпретации формальных утверждений.

epros в сообщении #1624406 писал(а):

Так определение модели - это и есть "метатеоретический уровень".

Не обязательно. Под "определением модели" можно понимать длинную формулу теорию множеств, которая интерпретируется примерно как "существует множество $x$ с такими-то и такими-то свойствами".

epros в сообщении #1624406 писал(а):

А если Вы этих слов избегаете, каждый раз произнося: "Существует такое $z$, что $x+z=y$", то Вы можете, конечно, гордиться тем, что пользуетесь не расширенным языком, но скорее всего просто никто не поймёт, о чём и зачем Вы рассуждаете.

Но, формально, никто не запрещает так делать.

[tolstopuz]

Я почитал Википедию и внезапно выяснил, что: 1) определения все-таки кодируются в теориях первого порядка как аксиомы; 2) всем пофиг.

Цитата:

In practice, an extension by definitions $T'$ of $T$ is not distinguished from the original theory $T$. In fact, the formulas of $T'$ can be thought of as abbreviating their translations into $T$. The manipulation of these abbreviations as actual formulas is then justified by the fact that extensions by definitions are conservative.

[epros]

EminentVictorians, по-моему Вы в какой-то демагогии погрязли. $x+0=x$ - это аксиома Пеано, и совершенно очевидно, каким образом она вошла в формулировку вышеуказанного утверждения теории множеств. А "вопрос интерпретации" этих формул, как относящихся к модели арифметики Пеано, это и есть дополнительная аксиоматика, без которой никто не узнает, что это - утверждение про аксиому Пеано, а не любое другое утверждение теории множеств.

EminentVictorians в сообщении #1624439 писал(а):

Под "определением модели" можно понимать длинную формулу теорию множеств, которая интерпретируется примерно как "существует множество $x$ с такими-то и такими-то свойствами".

Нельзя. Определение должно содержать название определяемого объекта.

EminentVictorians в сообщении #1624439 писал(а):

Но, формально, никто не запрещает так делать.

Конечно же никто не запрещает в рамках арифметики рассуждать о чём-то, не имеющем никакого отношения к понятию порядка.

-- Вс дек 31, 2023 13:01:12 --

tolstopuz в сообщении #1624453 писал(а):

Я почитал Википедию
и внезапно выяснил, что: 1) определения все-таки кодируются в теориях первого порядка как аксиомы; 2) всем пофиг.

Совершенно верно, речь о консервативном расширении моделирующей теории посредством добавлений в её сигнатуру и аксиоматику. Вообще, вся эта дурацкая дискуссия разгорелась только потому, что некоторые воображают, что существуют какие-то специфические способы определения понятий посредством построения их моделей в теории множеств. А я говорю, что это - разновидность обыкновенного определения посредством аксиоматики.

[warlock66613]

tolstopuz в сообщении #1624453 писал(а):

определения все-таки кодируются в теориях первого порядка как аксиомы

Только это совсем не те аксиомы, о которых говорит и на которых так настаивает epros. Аксиомы Пеано при обсуждаемом подходе становятся нетривиальными теоремами.

-- 31.12.2023, 14:00 --

EminentVictorians, знаете какое есть слабое место в вашей позиции? То что одну и ту же арифметику Пеано можно смоделировать очень разными способами в теории множеств. В частности, натуральные числа при разных способах будут являться совершенно разными множествами (один вариант $n = n-1 \cup \{n-1\}$, другой $n = \{n-1\}$ и ещё много можно придумать). Если бы способ был только один, тогда вопросов бы не было. Но способов много, поэтому получается, что всё-таки арифметика — это не часть теории множеств, а отдельная теория, которая довольно-таки индифферентно относится к тому, как именно её смоделировали, а натуральные числа — это всё-таки не множества, а нечто иное.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1624555 писал(а):

EminentVictorians, знаете какое есть слабое место в вашей позиции? То что одну и ту же арифметику Пеано можно смоделировать очень разными способами в теории множеств.

Так, блин, это сила, а не слабость (для меня, по крайней мере). Я люблю модели больше, чем теории. В одной модели натуральных чисел будет выполняться $1 \in 2$, в другой - не будет. А вот "требования Пеано" (не хочу называть их аксиомами) будут выполняться во всех из них (как теоремы, разумеется).

Просто я раньше удивлялся, что вот, мол, как же так, теорема Гудстейна недоказуема в $PA_1$. А потом подумал и понял, что это не проблема натуральных чисел, а проблема самой $PA_1$ - в том, что она - кастрированная теория. И если больше не обращать на нее внимание, и мыслить натуральные числа как конкретное множество, все для них будет нормально доказываться и выполняться.

Возникает резонный вопрос - какое конкретное множество (т.е. модель) из кучи доступных взять как основную. И это ключевой момент. У меня есть подозрение, что все модели натуральных чисел, рассматриваемые внутри теории множеств, будут изоморфны. Да, утверждения типа $1 \in 2$ будут выполняться не во всех из них. Но никто и не обещал - изоморфизм не обязан переносить отношение $\in$. Но ноль и последователь он переносить будет. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что он перенесет еще и операции с порядком - я не знаю. Надо думать. Но надеюсь, что да.