Считать определения метатеоретическим уровнем.
Да на здоровье. Можете даже специальный символ
использовать, чтобы было понятно, где там "метатеоретический уровень".
А на уровне теории таскать длинные строчки, где нету "слона", но есть "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши".
Это можно. Например, простую аксиому сложения
можно переформулировать примерно по следующей схеме: Существует
(далее - формулой теории множеств утверждается, что
является бинарной функцией) такая, что
(где саму функцию,
и
необходимо расписать формулами теории множеств). И перед всем этим не забыть поставить условие
, где
тоже придётся расписать формулой теории множеств. Потому что эта аксиома - именно для натуральных чисел, а не для любого множества.
В итоге получим примерно трёхстраничную формулу. И при этом никуда не денется вопрос, который Вы упорно продолжаете игнорировать: Каким образом читатель узнает, что эта формула относится к определяемой Вами "модели арифметики Пеано", в отличие от множества других формул теории множеств? Как только Вы сможете внятно ответить на этот вопрос, Вы поймёте, что никуда не ушли от перечисления аксиом Пеано.
В частности, при таком подходе, ни сигнатура, ни аксиомы теории множеств расширяться не будут.
Если не расширите, не сможете ответить на предыдущий вопрос.
Мне вообще кажется странным, что приходится на десятке страниц объяснять, что для того, чтобы определить понятие, его неизбежно придётся
упомянуть, т.е.
назвать. А это никак не проделать без добавления названия в язык.
-- Сб дек 30, 2023 11:55:03 --Главное — это осознание, что они есть, и тогда мы можем считать, что ньютоновская механика является корректной эффективной (а значит истинной) теорией в пределах своей применимости без конкретизации этих пределов.
Всё то же самое можно сказать и о теории охотников о падении тел.
Значит когда они говорят "камни падают так-то" они некорректно распространяют теорию за пределы её применимости.
Куда распространяют? Про другие миры и дальний космос до Вас они и не слышали. Точно так же, как и Вы сейчас наверняка даже не думаете о тех пределах применимости Ньютоновской механики, которые не определены квантовой механикой или теорией относительности.
А вот этого вопроса я не понимаю.
Я тоже не понимаю, поэтому не считаю "объективную реальность" осмысленным понятием.
-- Сб дек 30, 2023 12:03:12 --Вводить сокращения в сигнатуру и добавлять определяющие их аксиомы в корпус аксиом можно. Получится консервативное расширение теории. Но можно и не вводить.
Конечно же можно не вводить в арифметику Пеано понятие порядка. При этом даже если Вы употребите формулы, утверждающие что-то про порядок чисел, то даже не узнаете, что сейчас говорили о порядке. Но если Вы целенаправленно хотите говорить о порядке, то Вам придётся консервативно расширить арифметику Пеано. Не надо этого бояться. Зато все будут знать, что Вы говорите именно о порядке.
Прошу прощения, "сигнатура" - это просто алфавит (список символов) теории или что-то более хитрое?
Сигнатура - это символы, не относящиеся к логическим (специфичные для теории), с указанием их синтаксического использования: типа "унарная функция" или "бинарный предикат".