Почему математика работает?

[talash]

Dicson, ну Вы загнули.

[epros]

mihaild в сообщении #1623715 писал(а):

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Но вот если к омега-противоречивой теории добавить утверждение о её непротиворечивости, то уже получим противоречивую теорию

А где про это можно прочитать?
Возьмем $T$ - минимальное омега-противоречивое расширение PA (добавим константу $c$ и аксиомы $c \neq S(\ldots(S(0))\ldots)$). Правда ли что $T \vdash \Box_T \ulcorner \bot \urcorner$?

Я не готов сейчас отвечать на такие вопросы. То, что я написал выше, это по памяти.

mihaild в сообщении #1623715 писал(а):

Поскольку эта теория ничем, кроме фиксации имени кошки не отличается от классической, то, скорее всего, не получится. Так вопрос о том, какая из них правильнее, вообще осмысленен?

Вопрос осмысленен. По моим понятиям теория, в аксиоматику которой заложено что-то про имя кошки Клеопатры, априорно сомнительна в силу отсутствия наблюдаемых фактов на эту тему.

mihaild в сообщении #1623715 писал(а):

Я бы не сказал, что большее доверие к ZF, чем ко взятой с потолка теории, избыточно.

А ZF не с потолка взята? Насколько я понимаю, она - результат усилий по спасению Канторовского "учения о множествах" после того, как по нему был нанесён удар парадоксом Рассела. Причем до этого сие учение много лет успешно развивалось в своей наивной форме и никто даже не задумывался ни о каких парадоксах. Так может быть и в ZF со временем накопают какие-нибудь парадоксы - в направлении, о котором сейчас никто даже не задумывается?

EminentVictorians в сообщении #1623722 писал(а):

Не понимаю. У меня все происходит внутри теории множеств. Вы даете мне список аксиом, я строю модель (т.е. просто множество). Получилось построить модель - все хорошо. Есть множество с нужными свойствами. Не получилось построить - значит эти аксиомы для меня ничего не значат. Кто с кем несовместен? (как одно множество может быть несовместно с другим?)

Построенная модель свидетельствует всего лишь о непротиворечивости аксиоматики, а отнюдь не о том, что аксиоматика "что-то значит". Между прочим, недоказуемость теоремы Гудстейна в арифметике Пеано была доказана построением нестандартной модели арифметики, в которой она ложна. Так вот, аксиоматика, в которой теорема Гудстейна опровержима, несовместима, скажем, с той же ZFC. Однако это тоже непротиворечивая аксиоматика, которая имеет такое же право на существование.

warlock66613 в сообщении #1623742 писал(а):

Нет, естественные науки основаны на наивном реализме. так что истинной теория может быть и без всякого подтверждения: без подтверждения мы просто не знаем истинна теория или нет. Земля была круглой и тогда, когда некому было подтверждать это экспериментами, и тогда, когда эксперименты/наблюдения (некорректные) свидетельствовали, что она плоская.

Я не согласен. Наивный реализм может быть чисто психологически помогает кому-то из учёных (например, Вайнбергу), а кто-то другой в такой психотерапии не нуждается (например, Бор). Я не знаю, что значит "истинность теории без подтверждения". В частности, утверждение о шарообразности Земли даже с позиций нашего сегодняшнего продвинутого знания о её устройстве выглядит отнюдь не абсолютной истиной, а чем-то зависимым от контекста и интерпретации. В конце концов, теории - это всего лишь слова. Многое зависит от того, к чему и как эти слова применять.

warlock66613 в сообщении #1623742 писал(а):

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Подразумевается ли это контекстом утверждения?

Ну откуда же я знаю, подразумевается это контекстом или нет, если это зависит от контекста? Может подразумеваться, может нет. На то он и контекст.

Ну вот представьте, что собрались некие охотники из племени Мумбо-Юмбо, интересующиеся устройством окружающего мира, но не имеющие доступа к цивилизации и достижениям её науки. Они определили что такое "скорость" и "ускорение" и посредством наблюдений установили закон, что все тела падают с одинаковым ускорением. Вот и весь контекст. Является ли этот закон "истинным"?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623763 писал(а):

Построенная модель свидетельствует всего лишь о непротиворечивости аксиоматики, а отнюдь не о том, что аксиоматика "что-то значит". Между прочим, недоказуемость теоремы Гудстейна в арифметике Пеано была доказана построением нестандартной модели арифметики, в которой она ложна. Так вот, аксиоматика, в которой теорема Гудстейна опровержима, несовместима, скажем, с той же ZFC. Однако это тоже непротиворечивая аксиоматика, которая имеет такое же право на существование.

Так я ведь нигде, кажется, и не настаивал на том, что аксиоматика должна "что-то значить". Я же говорю, для меня доверие = непротиворечивость. Есть непротиворечивость (т.е. если модель построена) -- я доверяю. Нету модели - не доверяю.

Потом Вы сказали про "несовместность" аксиоматик. Я, если честно, не очень пока понял, что это значит. Такое ощущение, что Вы рассматриваете разные аксиоматики - как разные теории. Но у меня-то все внутри теории множеств происходит.

Вот если я, допустим, напишу 2 таких утверждения:

1) $(\forall a > 0) (\exists n \in \mathbb N) : \frac{1}{n} < a$
2) $(\exists a > 0) (\forall n \in \mathbb N): a< \frac{1}{n}$

Казалось бы, два противоречащих друг другу утверждения. Но они оба истинны. Все дело в том, что первое утверждение - это утверждение про действительные числа, а второе - про гипердействительные. Вы это имели в виду, когда говорили про "несовместность" аксиоматик?

[mihaild]

epros в сообщении #1623763 писал(а):

По моим понятиям теория, в аксиоматику которой заложено что-то про имя кошки Клеопатры, априорно сомнительна в силу отсутствия наблюдаемых фактов на эту тему

А в какой теории Вы рассуждаете про эту сомнительность и наблюдаемые факты?)

epros в сообщении #1623763 писал(а):

А ZF не с потолка взята?

Независимо от того, откуда взята ZF, в ней уже давно много людей ищет противоречия, и пока не нашли. Что является свидетельством в пользу её непротиворечивости.

[warlock66613]

epros в сообщении #1623763 писал(а):

Я не согласен.

Я знаю. А я не согласен с вами. Что касается Бора, то он жил и творил в сложное время, когда отказ от реализма казался неприятной необходимостью. Тактически это было верное решение, стратегически, как понятно сейчас, нет.

epros в сообщении #1623763 писал(а):

В частности, утверждение о шарообразности Земли даже с позиций нашего сегодняшнего продвинутого знания о её устройстве выглядит отнюдь не абсолютной истиной, а чем-то зависимым от контекста и интерпретации.

Ну на самом деле истинны или ложны не утверждения сами по себе, а выражаемые ими пропозиции. Грубо говоря, пропозиция — это собственно содержание утверждения, в котором в том числе учитывается контекст/интерпретация. В частности, в то время как утверждение формулируется на каком-либо языке, выражаемая утверждением пропозиция языко-независима.

epros в сообщении #1623763 писал(а):

Вот и весь контекст. Является ли этот закон "истинным"?

Этого контекста недостаточно. Рассматривают ли они своё утверждение как эффективную модель или как абсолютную истину? Что они включают в понятие "все тела", рассматривают ли они Луну как "тело"? Осознают ли они ограниченность своих наблюдений и экспериментов? Понимают ли они, что есть такое явление, как сопротивление воздуха? И ещё много, много вопросов, без ответа на которые контекст не определён достаточно.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1623765 писал(а):

Так я ведь нигде, кажется, и не настаивал на том, что аксиоматика должна "что-то значить". Я же говорю, для меня доверие = непротиворечивость. Есть непротиворечивость (т.е. если модель построена) -- я доверяю. Нету модели - не доверяю.

Так в чём доверие? Вот есть вариант аксиоматики, в которой теорема Гудстейна опровержима. Она имеет модель, стало быть Вы ей доверяете?

EminentVictorians в сообщении #1623765 писал(а):

Потом Вы сказали про "несовместность" аксиоматик. Я, если честно, не очень пока понял, что это значит. Такое ощущение, что Вы рассматриваете разные аксиоматики - как разные теории. Но у меня-то все внутри теории множеств происходит.

Есть две теории натуральных чисел: одна с опровержимой теоремой Гудстейна, другая - с доказуемой. Как Вы можете доверять обеим? Обе они - про "натуральные числа", но говорят о них разное. Конечно, можно сказать, что они как бы про разные натуральные числа: одна про "нестандартные", а другая про "стандартные". Таким образом у Вас в голове может сложиться нормальный, непротиворечивый "синтез" из того, что ранее воспринималось как несовместимые между собой "тезис" и "антитезис". Но дело-то в том, что таких несовместимых друг с другом нестандартных моделей можно нагенерировать сколько угодно. И всех их придётся как-то различать, придумывать им разные названия и т.п. А зачем?

И второй вопрос: Что значит "внутри теории множеств"? Теория множеств обычно используется именно как моделирующая. Но это не значит, что без дополнительных определений Вы в ней что-то выведете про те же натуральные числа. Вам придётся, как минимум, определять: что такое нуль, что такое инкремент, что такое сумма, что такое произведение. И это всё можно определить по-разному!

mihaild в сообщении #1623769 писал(а):

А в какой теории Вы рассуждаете про эту сомнительность и наблюдаемые факты?)

Да, есть некоторые личные метатеоретические наработки, которые позволяют оценивать теории с точки зрения достоверности и применимости к той или иной предметной области. Они могут меняться, например, по результатам прочтения литературы. Скажем, если какие-то уважаемые историки где-то напишут что-то про имя кошки Клеопатры, то может быть я сочту достаточно интересным покопаться в источниках, на которые они ссылаются, и в итоге всё же соглашусь с тем, что кошку как-то звали.

mihaild в сообщении #1623769 писал(а):

в ней уже давно много людей ищет противоречия, и пока не нашли.

А сколько времени копались в Канторовском "учении о множествах" прежде чем был опубликован парадокс Рассела? Может быть Вы скажете, что никто особо и не копался. Ну так и в ZF копаются, похоже, только в одном направлении: строят её "модели" посредством ... той же ZF. А принципиально новые подходы могут родить сюрпризы.

-- Пн дек 25, 2023 17:40:42 --

warlock66613 в сообщении #1623793 писал(а):

Что касается Бора, то он жил и творил в сложное время, когда отказ от реализма казался неприятной необходимостью. Тактически это было верное решение, стратегически, как понятно сейчас, нет.

Не скажу, что разделяю философские воззрения Бора, но всё же не могу согласиться и с тем, что "стратегически" победил наивный реализм. По-моему, учёный может верить во что угодно, в сущности, всем на это наплевать. Всех интересуют только надёжно воспроизводимые в соответствующих условиях экспериментальные подтверждения.

Помнится, была какая-то забавная история в период сразу после открытия рентгеновского излучения. Тогда начался бум "открытий" всяких невидимых лучей. Не помню имён участников, но некто "открыл" очередное невидимое излучение и уже вовсю исследовал спектры с помощью прибора, содержавшего алюминиевую призму. А некто другой заявился к нему в лабораторию под видом восхищённого журналиста и после того, как отвлёк экспериментатора, незаметно вытащил у него из спектрометра алюминиевую призму. Однако экспериментатор, глядя в окуляр прибора, продолжал уверенно называть какие-то спектральные линии. Так произошло громкое закрытие очередного физического явления.

warlock66613 в сообщении #1623793 писал(а):

Ну на самом деле истинны или ложны не утверждения сами по себе, а выражаемые ими пропозиции. Грубо говоря, пропозиция — это собственно содержание утверждения, в котором в том числе учитывается контекст/интерпретация. В частности, в то время как утверждение формулируется на каком-либо языке, выражаемая утверждением пропозиция языко-независима.

Честно, я совершенн не понимаю, что это за "пропозиции" и каким образом они могут оказаться языконезависимы. Если речь о т.н. "семантике", то по понятиям классической логики, насколько я знаю, она как раз и заключается в построении тех самых "моделей". Но вообще-то модели - это как раз интерпретации языка (такие, в которых истинна аксиоматика).

warlock66613 в сообщении #1623793 писал(а):

Этого контекста недостаточно. Рассматривают ли они своё утверждение как эффективную модель или как абсолютную истину? Что они включают в понятие "все тела", рассматривают ли они Луну как "тело"? Осознают ли они ограниченность своих наблюдений и экспериментов? Понимают ли они, что есть такое явление, как сопротивление воздуха? И ещё много, много вопросов, без ответа на которые контекст не определён достаточно.

Что Вы хотите от бедных охотников? Я Вам описал ситуацию, какой она могла бы быть в реальности. При этом наверняка никто бы не стал слишком углубляться в построение формализованной математической логики или в философию. Про Луну они наверняка знают только то, что она - недостижимое для них ночное светило неизвестной природы. Философский вопрос про "эффективную модель" или "абсолютную истину" их наверняка бы озадачил, ибо они просто не поняли бы, что это значит. Ограниченность своих экспериментов они наверняка осознают, поскольку понимают, что не все ещё предметы перекидали. Но в своём законе уверены вполне: перекидано так много предметов, что от новых бросков они уже никаких сюрпризов не ждут. Про сопротивление воздуха или влияние ветра они наверняка знают, но считают возможным им пренебречь когда нужно, т.е. считают, что сути закона это не меняет.

[warlock66613]

Раз уж пошёл разговор о канторовской теории множеств, как же обойтись без цитат из Вавилова?

Цитата:

Необходимость введения аксиоматики связана отнюдь не с мнимыми «противоречиями» «наивной» теории множеств. Повторяющееся из книги в книгу утверждение о противоречиях Канторовской теории множеств совершенно абсурдно. Эти противоречия обнаружились не в теории Кантора и Дедекинда, а в теориях, придуманных самими логиками, специально с целью обнаружить в них противоречия.
<…>
В книге «Was sind und was sollen die Zahlen» Рихард Дедекинд писал «Множество $S$ полностью определено только тогда, когда относительно всякой вещи известно, является ли она элементом множества $S$ или нет”. Ясно, что такой взгляд на множества устраняет все парадоксы до их появления, но его слабость состоит не в излишней широте, а в недопустимой узости понятия множества. В действительности, описываемая ниже теория Цермело-Френкеля понимает множества значительно более широко, чем их понимали основатели теории множеств Кантор и Дедекинд, хотя, конечно, более узко, чем их первоначально понимали Фреге и Рассел.

Не то чтобы процитированное есть непреложная истина, но есть о чём задуматься.

-- 25.12.2023, 18:01 --

epros в сообщении #1623798 писал(а):

По-моему, учёный может верить во что угодно, в сущности, всем на это наплевать.

Конечно. Если я и говорю о победе реализма (хотя я слово "победа" не использовал), то я не имею в виду социологию, и, в частности, не утверждаю даже что есть хотя бы один учёный-реалист. Я имею в виду, что те вопросы, от которых отмахнулся тот же Бор как от несущественных и бесплодных, оказались очень даже продуктивными и породили большое направление теоретических и экспериментальных исследований — теорию декогеренции, коя продолжает активно развиваться вот уже пол-века и всё ещё не исчерпала себя.

-- 25.12.2023, 18:05 --

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Я Вам описал ситуацию, какой она могла бы быть в реальности.

Тогда остаётся сказать, что их теория о падении тел недостаточно конкретна, туманна, несформулирована в полной мере. И в зависимости от домысливания тем или иным образом может быть истинной или ложной.

-- 25.12.2023, 18:17 --

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Честно, я совершенно не понимаю, что это за "пропозиции"

Пропозиция — это просто то, что имеется в виду. Например, если кто-то произносит утверждение "снег белый", он же что-то имеет в виду, не так ли? Он не просто произносит бессмысленный набор звуков или рисует бессмысленные разводы на листе. И он может также делать это на разных языках, имея в виду одно и то же: он может сказать "snow is white", имею в виду то же самое, что он имел виду, говоря "снег белый". Вот это что-то, что имеется в виду, — и есть пропозиция, выраженная словесным утверждением.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Вот есть вариант аксиоматики, в которой теорема Гудстейна опровержима. Она имеет модель, стало быть Вы ей доверяете?

Ну да. Если есть модель - то доверяю. Просто эта арифметика будет не про натуральные числа, а про какие-то другие объекты. Для натуральных чисел я могу теорему Гудстейна доказать. А так, да, допускаю, что есть какое-то множество и какие-то функции и отношения на нем, такие, что для этих функций и отношений могут выполняться утверждения, интерпретируемые как аксиомы Пеано и может не выполняться утверждение, интерпретируемое как теорема Гудстейна. Просто это не натуральные числа, вот и все.

А не скинете источник, где я могу на эту модель посмотреть?

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Есть две теории натуральных чисел: одна с опровержимой теоремой Гудстейна, другая - с доказуемой. Как Вы можете доверять обеим?

Ну уж нет. Натуральные числа - это у меня конкретное множество. Для них теорема Гудстейна выполняется. А не выполняться может утверждение о каких-то других элементах какого-то другого множества, интерпретируемое как теорема Гудстейна. Это не теорема Гудстейна, а просто похожее на нее внешне утверждение. Но оно о других сущностях вообще - не о натуральных числах. Противоречия нету. Единственное, я ни разу не видел такого множества, поэтому и прошу ссылку на модель.

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Конечно, можно сказать, что они как бы про разные натуральные числа: одна про "нестандартные", а другая про "стандартные".

Одна (там где теорема Гудстейна истинна) - про натуральные числа. Другая - про какое-то другое множество (если оно вообще такое существует), которое я не знаю как называется.

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Таким образом у Вас в голове может сложиться нормальный, непротиворечивый "синтез" из того, что ранее воспринималось как несовместимые между собой "тезис" и "антитезис".

Я ни про какие тезисы и антитезисы не думаю. Я просто вижу два разных множества с разными свойствами. Чего тут удивительного?

[Dicson]

talash в сообщении #1623749 писал(а):

Dicson, ну Вы загнули.

Тем не менее всё верно.

Основания математического языка лежат вне его. Поэтому попытка их сформулировать приведёт лишь к утрате математической строгости. В стремлении к определённости мы получим рост неопределённости. В желании вернуть строгость, очевидный путь - копать дальше, найти основания теперь уже естественного языка, и всё сразу чётко сформулировать. Но основания естественного языка находятся за рамками языка, их вообще никак нельзя сформулировать, неопределённость устремится к полной.

Можно сказать иначе. Для формулировки оснований математики потребуется самый богатый язык. Но самый богатый язык будет максимально "не финитистским". А финитизм - это ещё и ясность, однозначность. Поэтому такой язык уже не будет языком, ничего сформулировать на нём будет невозможно. В итоге то же, что и выше - полная неопределённость. Обобщая, смысл знаний возникает в контексте остального опыта. Поэтому, пытаясь найти основание всех знаний, придётся выйти за рамки знаний.

Причём всё это вполне естественное следствие того, что мы мыслим нейронной сетью, а не что-то необычное. Конкретные фразы и формулировки - это некоторый итог мышления, поэтому всё мышление языком не выразить. При этом нейронные сети - это одновременно и опыт, и мышление. Поэтому утверждение выше, что язык - это некоторый итог мышления, из-за чего всё мышление языком не выразить, равно утверждению, что язык - это часть опыта, из-за чего весь опыт языком не выразить. Аналогично частью опыта являются конкретные знания, поэтому все знания конкретизировать нельзя. И так далее. Суть одна - та, что в предыдущем посте.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1623804 писал(а):

Раз уж пошёл разговор о канторовской теории множеств, как же обойтись без цитат из Вавилова?

А я в общем-то вполне согласен со всем сказанным в приведённой Вами цитате. Разумеется, если понимать сказанное буквально и не вестись на эмоциональные выпады про "абсурдность повторяющихся из книги в книгу утверждений".

Кантор действительно не формализовал аксиоматику своего "учения". Так что да, противоречивую аксиому о том, что множество можно собрать по любому свойству, действительно сформулировали за него. Однако это не умаляет значения того факта, что наверняка именно это изначально и подразумевалось.

Да, формулировка: "Множество полностью определено только тогда, когда относительно всякой вещи известно, является ли она элементом этого множества или нет”, - является недопустимо узкой для теории множеств. И очевидно, что таким образом ситуацию понимал уже Кантор, поскольку он свободно рассуждал о "множествах всех подмножеств" для бесконечных множеств, совершенно не беспокоясь о том, "известно" ли нам что-то про конкретные подмножества, которые должны ему принадлежать.

Интересно, что эта тема ответвилась после того, как разгорелась дискуссия о том, насколько математика (и теория множеств в частности) имеет отношение к "реальности". george66 там говорил, что Кантор верил в "реальность" своих множеств и в итоге спятил после того, как не смог разрешить гипотезу континуума.

warlock66613 в сообщении #1623804 писал(а):

epros в сообщении #1623798 писал(а):

Я Вам описал ситуацию, какой она могла бы быть в реальности.

Тогда остаётся сказать, что их теория о падении тел недостаточно конкретна, туманна, несформулирована в полной мере. И в зависимости от домысливания тем или иным образом может быть истинной или ложной.

Вам не кажется, что всё это можно сказать про абсолютно любые теории, включая современные? Тем не менее, теория охотников о падении тел прекрасно работает на практике. А если Вы заявитесь к ним с рассказами об иных мирах, в которых ускорение свободного падения другое, и о дальнем космосе, в котором оно вообще нулевое, то они наверняка воспримут это как сказку и попросят Вас для начала показать им эти другие миры и дальний космос.

warlock66613 в сообщении #1623804 писал(а):

Пропозиция — это просто то, что имеется в виду. Например, если кто-то произносит утверждение "снег белый", он же что-то имеет в виду, не так ли? Он не просто произносит бессмысленный набор звуков или рисует бессмысленные разводы на листе. И он может также делать это на разных языках, имея в виду одно и то же: он может сказать "snow is white", имею в виду то же самое, что он имел виду, говоря "снег белый". Вот это что-то, что имеется в виду, — и есть пропозиция, выраженная словесным утверждением.

Ну вот скажите, что "имели в виду" упомянутые охотники. По-моему, это просто, ибо переводчик у нас есть и формулировку их закона падения тел на русском языке мы уже услышали. Что с этой формулировкой не так?

EminentVictorians в сообщении #1623819 писал(а):

Просто эта арифметика будет не про натуральные числа, а про какие-то другие объекты.

Про нестандартные натуральные числа. Так их уж назвали до нас.

EminentVictorians в сообщении #1623819 писал(а):

Для натуральных чисел я могу теорему Гудстейна доказать.

В аксиоматике, полученной добавлением к аксиоматике Пеано утверждения о возможности трансфинитной индукции до ординала $\varepsilon_0$. Т.е. Вы уточнили стандартное определение "натуральных чисел".

EminentVictorians в сообщении #1623819 писал(а):

А не скинете источник, где я могу на эту модель посмотреть?

https://web.archive.org/web/20110825205 ... _59864.pdf

EminentVictorians в сообщении #1623819 писал(а):

Натуральные числа - это у меня конкретное множество.

Это Вам так кажется. Теория множеств тоже имеет нестандартные модели, в которых определённая в ней модель натуральных чисел может оказаться нестандартной.

EminentVictorians в сообщении #1623819 писал(а):

Это не теорема Гудстейна, а просто похожее на нее внешне утверждение.

Теорема Гудстейна - это определённое предложение в языке арифметики Пеано. Таково уж определение.

EminentVictorians в сообщении #1623819 писал(а):

Я ни про какие тезисы и антитезисы не думаю. Я просто вижу два разных множества с разными свойствами. Чего тут удивительного?

Да ничего. Просто таких множеств не два, а немеряное море. И все разные. И на всех выполняется аксиоматика арифметики Пеано.

[epros]

Dicson в сообщении #1623850 писал(а):

Для формулировки оснований математики потребуется самый богатый язык.

Тому, кто интересуется основаниями математики, лучше всего погрузиться в тему обратной математики. Там всё формулируется на подмножестве языка логики второго порядка, и это уже более чем достаточно богатый язык.

Лично мне, как конструктивисту, кажется спорной уже слабая лемма Кёнига, коя гласит, что бесконечное бинарное дерево имеет бесконечную ветвь. Те, кто заглянут в указанную статью википедии, увидят, что это соответствует подсистеме $\text{WKL}_0$, которая всё ещё гораздо слабее привычных народу сильных аксиоматик типа ZFC. Разумеется, в сильных аксиоматиках лемма Кёнига (и не только слабая) доказуема.

Может быть это уже стоило бы переместить в раздел математики, но давайте я пока здесь приведу своё "опровержение".

Итак, бинарное дерево - это граф, начинающийся с узла, именуемого "корнем", от каждого узла которого условно вниз, в сторону следующих узлов (потомков) отходят не более двух рёбер, условно "левое" и "правое". Это значит, что каждый узел бинарного дерева можно кодировать конечной двоичной последовательностью $p_1 p_2 \cdots p_n$, где каждая цифра $p_i$ означает шаг влево, если это нуль, и шаг вправо, если это единица (корень кодируется пустой строкой). Ветви, соответственно, кодируются конечными или бесконечными двоичными последовательностями. Кодировка конечной ветви совпадает с кодировкой её конечного узла.

Определим бинарное дерево как содержащее все ветви длиной $n \in \mathbb N$, для которых $p_n=1$ и $p_i=0$ для всех $i \ne n$. И добавим в определение следующую замечательную аксиому второго порядка: "Других ветвей у этого дерева нет".

Теперь анализ. Это дерево очевидно бесконечно, ибо его узлы можно пронумеровать так, что номера при этом не закончатся. Внимательный наблюдатель может заметить, что у этого дерева вроде бы есть бесконечная ветвь, которая кодируется бесконечной последовательностью нулей. Но я отвечу, что в силу последней аксиомы такой ветви у этого дерева НЕТ. Тогда оппонент мне может ответить, что моё определение противоречиво, так что такого дерева не существует. И вот тогда я спрошу: "А с чем именно мои формулировки вступают в противоречие?"

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623868 писал(а):

В аксиоматике, полученной добавлением к аксиоматике Пеано утверждения о возможности трансфинитной индукции до ординала $\varepsilon_0$. Т.е. Вы уточнили стандартное определение "натуральных чисел".

Нет. У меня натуральные числа определяются как обычно в теории множеств (наименьшее индуктивное множество), без всяких аксиом Пеано.

epros в сообщении #1623868 писал(а):

https://web.archive.org/web/20110825205 ... _59864.pdf

Там доказывают теорему Гудстейна и теорему "о гидре и Ахиллесе". Можете явно сказать, где там строят нестандартную модель натуральных чисел?

epros в сообщении #1623868 писал(а):

Теорема Гудстейна - это определённое предложение в языке арифметики Пеано. Таково уж определение.

Не обязательно. Теорему Гудстейна можно сформулировать в языке теории множеств.

[warlock66613]

epros в сообщении #1623868 писал(а):

Вам не кажется, что всё это можно сказать про абсолютно любые теории, включая современные?

Нет, и особенно это касается "устаревших" теорий — таких как, например, ньютоновская механика. Мы знаем границы их применимости, понимаем что это не точная теория, а эффективная. Поэтому такие теории однозначно истинны. Вот с более современными теориями посложнее, фактически мы имеем не с единой теорией, а с классом теорий, различающимися тем, как мы проведём границу применимости.

epros в сообщении #1623868 писал(а):

Ну вот скажите, что "имели в виду" упомянутые охотники.

Одно дело понимать что что-то имеется в виду, и совсем другое дело — понять что именно. А что не так с формулировкой я уже сказал.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1623919 писал(а):

Нет. У меня натуральные числа определяются как обычно в теории множеств (наименьшее индуктивное множество), без всяких аксиом Пеано.

Не получится. Нужно ещё сказать про инкремент, сложение и умножение. Без этого модель арифметики Пеано не построить. В итоге все аксиомы арифметики будут упомянуты. Фактически Вы при этом делаете всё то же самое, что делаю и я, определяя арифметику Пеано без всякой теории множеств. Плюс к этому Вы доказываете утверждение о том, что к таким (арифметическим) утверждениям можно определённым образом применять трансфинитную индукцию до ординала $\varepsilon_0$. А вот этого в аксиоматике Пеано уже нет.

EminentVictorians в сообщении #1623919 писал(а):

Там доказывают теорему Гудстейна и теорему "о гидре и Ахиллесе". Можете явно сказать, где там строят нестандартную модель натуральных чисел?

Вроде там как раз доказывают недоказуемость в арифметике Пеано.

EminentVictorians в сообщении #1623919 писал(а):

Не обязательно. Теорему Гудстейна можно сформулировать в языке теории множеств.

Ну да, если на языке теории множеств сформулировать определения понятий арифметики - чисел и операций с ними, то потом можно, вставив эти определения в предложение языка арифметики, получить предложение языка теории множеств. Только зачем?

warlock66613 в сообщении #1623929 писал(а):

Нет, и особенно это касается "устаревших" теорий — таких как, например, ньютоновская механика. Мы знаем границы их применимости, понимаем что это не точная теория, а эффективная.

А Вы уверены, что знаете все границы применимости Ньютоновской механики? Например, зная квантовую механику и связанные с ней границы, можно совершенно легко не знать границ, связанных с релятивистскими скоростями или кривизной пространства-времени. Можете ли Вы быть уверены в том, что, например, квантовая теория гравитации не определит новые границы, связанные, скажем, с квантованием самого пространства-времени?

warlock66613 в сообщении #1623929 писал(а):

Мы знаем границы их применимости, понимаем что это не точная теория, а эффективная. Поэтому такие теории однозначно истинны.

Это любопытный подход. Ну так границы применимости теории охотников племени Мумбо-Юмбо Вы знаете ещё лучше, чем границы Ньютоновской механики. Правда сами охотники их не знают. Но Вы ведь ищете "объективную реальность", которая, наверное, не должна зависеть от мнения каких-то охотников?

warlock66613 в сообщении #1623929 писал(а):

Одно дело понимать что что-то имеется в виду, и совсем другое дело — понять что именно. А что не так с формулировкой я уже сказал.

В итоге я так и не понял. Если "истинности" нам следует ожидать именно от устаревших теорий, то вот Вам ооочень устаревшая теория - про падение предметов. При этом, обратите внимание, что в своей области применимости (которую мы знаем довольно хорошо) эта теория продолжает прекрасно работать и сегодня. Так в чём же заключается выражаемая ею "объективная реальность"?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623942 писал(а):

Не получится. Нужно ещё сказать про инкремент, сложение и умножение. Без этого модель арифметики Пеано не построить.

Так они и будут.

epros в сообщении #1623942 писал(а):

В итоге все аксиомы арифметики будут упомянуты.

Можно их, конечно, называть аксиомами, но формально это будут именно теоремы, а не аксиомы.

epros в сообщении #1623942 писал(а):

Вроде там как раз доказывают недоказуемость в арифметике Пеано.

Я ведь и так это знаю. Ну да, есть утверждения, недоказуемые в $PA_1$. Но речь-то не об этом шла. Вы удивились, что я верю в аксиоматику, в которой теорема Гудстейна опровержима. Я ответил, что если есть модель - то да, верю. Вы сказали, что модель есть. Я попросил мне ее продемонстрировать. Пока не продемонстрировали.

epros в сообщении #1623942 писал(а):

Ну да, если на языке теории множеств сформулировать определения понятий арифметики - чисел и операций с ними, то потом можно, вставив эти определения в предложение языка арифметики, получить предложение языка теории множеств. Только зачем?

Если на языке теории множеств сформулировать определения понятий арифметики - чисел и операций с ними, то это и будут предложения языка теории множеств. Зачем что-то куда-то еще вставлять? И как это - вставить предложения, написанные на одном языке, в предложение, написанное на другом языке - короче говоря, вообще не понял смысл цитаты.

epros в сообщении #1623942 писал(а):

А вот этого в аксиоматике Пеано уже нет.

Я не понимаю, мне-то какая должна быть разница, что там в арифметике Пеано есть, и чего там нету. У меня вся теория множеств в распоряжении. Аксиома выбора, трансфинитная индукция по любому фундированному множеству и т.д.