Почему математика работает?

[epros]

warlock66613 в сообщении #1623632 писал(а):

Что-то есть. "Объективная реальность". Но единственный способ описать её свойства — сопоставить ей модель.

Правильно ли я понял, что по Вашим понятиям "объективная реальность" существует только как словосочетание, а никаких стульев или элементарных частиц, которые к ней могли бы относиться, не существует?

EminentVictorians в сообщении #1623633 писал(а):

Так в реальности можно что угодно чем угодно называть.

Речь же не о том, чтобы называть стул "шаром" или "трамваем".

EminentVictorians в сообщении #1623633 писал(а):

Но мы-то здесь вроде как более точные формулировки пытаемся рассматривать.

Не знаю про "точность", но по-моему мы говорили про адекватность формулировок. Так вот, насколько адекватно называть стул "стулом"?

EminentVictorians в сообщении #1623633 писал(а):

Со стулом не путаете, а с шаром путаете.
...
Или Вы считаете, что в принципе не должно быть даже абстрактной модели шара, которую можно было бы разбить на конечное число подмножеств, из которых можно потом сложить 2 таких же шара?

Нет, не путаю. Выше уже говорилось, что в моём мире нет воображаемого шара, который можно было бы так разбить.

EminentVictorians в сообщении #1623633 писал(а):

Речь о действительных числах. А для меня это теорема - я её доказывал. А еще доказывал все остальные 8 утверждений, которые обычно называют "аксиомами поля". И полноту доказывал. Получается, что я делал что-то в корне ошибочное?

Я не следил за тем, что Вы доказывали, но возможно, что Вы делали что-то в корне ненужное. Вопрос в том, в какой аксиоматике Вы это доказывали.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623639 писал(а):

Вопрос в том, в какой аксиоматике Вы это доказывали.

Вот именно. Я доказывал все в рамках теории множеств. Аксиомы о множествах - это единственные аксиомы, в которые я верю. Больше для меня никаких аксиом, формально, нету.

При таком подходе, мы берем конкретное множество, объявляем его множеством действительных чисел и потом проверяем, что оно действительно удовлетворяет "аксиомам" (которые лучше было бы назвать словом "требования") действительных чисел.

Слово "аксиома" перегружено - в этом проблема.

Собственно, это все к вопросу о моделях и доверии. Если я вижу перед собой просто список аксиом - у меня к нему не будет никакого доверия, пока я не построю теоретико-множественную модель, которая будет удовлетворять этим аксиомам. Единственный список аксиом, который я действительно принимаю на веру - аксиомы теории множеств.

Так что для меня модели еще как увеличивают доверие к аксиомам.

[warlock66613]

epros в сообщении #1623639 писал(а):

"объективная реальность" существует только как словосочетание, а никаких стульев или элементарных частиц, которые к ней могли бы относиться, не существует?

Объективная реальность существует. Не как словосочетание, а просто существует. А стульев или элементарных частиц — нет, не существует, потому что это не элементы объективной реальности, а элементы модели объективной реальности.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623639 писал(а):

Нет, не путаю. Выше уже говорилось, что в моём мире нет воображаемого шара, который можно было бы так разбить.

А, окей. Наверное я не так прочитал. Я-то думал, Вы про логику нашего реального мира хотели сказать, что она не классическая. А так Вы скорее про свою логику говорите - что классическая логика плохо согласована с Вашей интуицией.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1623643 писал(а):

Я доказывал все в рамках теории множеств. Аксиомы о множествах - это единственные аксиомы, в которые я верю.

Теории множеств бывают разные. В сущности, множество - это просто слово, которое может означать что угодно или ничего. Судя по всему, Вы имеете в виду ZFC, ибо, насколько я помню, именно эта аксиоматика Вам особенно полюбилась.

EminentVictorians в сообщении #1623643 писал(а):

Больше для меня никаких аксиом, формально, нету.

При таком подходе, мы берем конкретное множество, объявляем его множеством действительных чисел и потом проверяем, что оно действительно удовлетворяет "аксиомам" (которые лучше было бы назвать словом "требования") действительных чисел.

Вы явно чего-то не понимаете. Аксиомы нужны для того, чтобы определить что угодно. Аксиомы теории множеств Вам в этом не помогут. Вы даже что такое "множество натуральных чисел" не узнаете, пока не скажете, что это - минимальное индуктивное множество. А это, понимаете ли, уже новая аксиома.

С "множеством действительных чисел" всё то же самое: Вы ничего не сможете о нём сказать, пока не определите, что это такое. А это - уже новая аксиоматика.

EminentVictorians в сообщении #1623643 писал(а):

Слово "аксиома" перегружено - в этом проблема.

Собственно, это все к вопросу о моделях и доверии. Если я вижу перед собой просто список аксиом - у меня к нему не будет никакого доверия, пока я не построю теоретико-множественную модель, которая будет удовлетворять этим аксиомам. Единственный список аксиом, который я действительно принимаю на веру - аксиомы теории множеств.

Так что для меня модели еще как увеличивают доверие к аксиомам.

Нет, Вы явно чего-то не понимаете. Аксиомы - это просто утверждения, которые считаются доказанными уже в силу самого статуса аксиомы. Ничего больше. Здесь невозможно ничего "перегрузить".

Доверие к аксиомам - это Ваша личная проблема. Вы можете им доверять в силу любой из указанных ранее причин: непосредственного наблюдения, подтверждения авторитетом или рассуждения (в рамках другой теории, которой Вы уже доверяете). Но невозможно приобрести доверие к аксиоматике, построив её модель. Максимум, что Вы можете таким образом приобрести, это уверенность в непротиворечивости этой аксиоматики. Причём она основана на уверенности в непротиворечивости заведомо более сильной аксиоматики, которая более спорна уже в силу того, что она более сильная.

Уверенность в "правильности" аксиоматики или в том, что она хоть к чему-то применима, Вы таким образом не приобретёте.

warlock66613 в сообщении #1623644 писал(а):

Объективная реальность существует. Не как словосочетание, а просто существует. А стульев или элементарных частиц — нет, не существует, потому что это не элементы объективной реальности, а элементы модели объективной реальности.

Ну, пока Вы назвали только словосочетание. Объяснение того, что является или не является её элементами, сильно бы помогло понять, что это словосочетание должно обозначать.

[пианист]

(Оффтоп)

Цитата:

Я поинтересовалась, как следует называть того, кто могущественнее Бога. Как угодно, ответил карлик, слово "Астериск", или любое другое, которое можно произнести, - всего лишь имена-чехлы, и никакой роли не играют.

;)

[warlock66613]

epros в сообщении #1623675 писал(а):

Объяснение того, что является или не является её элементами, сильно бы помогло понять, что это словосочетание должно обозначать.

Это очень сложно сделать не переходя на философский язык, а последним не особо владею я и, подозреваю, вы. Но попробуем. Объективная реальность — это создатель истинности для высказываний, формулируемых в рамках наших физических моделей, то есть высказываний вроде "нейтрино имеет ненулевую массу", "выполняются три закона Ньютона" и т. д. Создатель истинности — это то, что делает высказывания истинными или ложными.

[talash]

Dicson в сообщении #1623502 писал(а):

Другой пример (подчёркивание моё):

Цитата:

"Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым - выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен."

Бесконечно малая и бесконечно большая - История. Википедия

Таких примеров много. Но даже из этого одного примера можно сделать вывод, что математика развивается не из оснований, а интуитивно. А строгие построения из оснований сложны и используются для доказательства, что интуитивные догадки верны. И сложны настолько, что вот есть конкретный пример, когда десятилетиями не могли установить строгость.

Интересно, почему так? Может что-то не так с основаниями, может их можно упростить и получить понятное системное изложение традиционной математики от оснований до классического матанализа?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623675 писал(а):

Судя по всему, Вы имеете в виду ZFC, ибо, насколько я помню, именно эта аксиоматика Вам особенно полюбилась.

ZFC или что-то близкое. Я на самом деле не совсем уверен, что моя теория множеств - это прям в точности ZFC. Я не исключаю, что могу пользоваться какими-то утверждениями, которые я считаю самоочевидными (т.е. я пользуюсь ими как аксиомами), но которые явно не сформулированы в списке аксиом ZFC и не выводятся из него. Аналогия - аксиома Паша из геометрии. Ей геометры пользовались 2 тысячелетия, но осознали это совсем недавно по историческим меркам (всего лишь полтора века назад).

epros в сообщении #1623675 писал(а):

С "множеством действительных чисел" всё то же самое: Вы ничего не сможете о нём сказать, пока не определите, что это такое. А это - уже новая аксиоматика.

Т.е. любое определение - это новая аксиоматика?
Т.е. когда я ввожу такое определение:

Пусть $M := \{\varnothing\}$ (т.е. просто определяю одноэлементное множество посредством прямого перечисления его элементов)

я ввожу какую-то новую аксиоматику?

Я могу, конечно попробовать догадаться, что Вы имеете в виду какую-нибудь аксиому типа $(x \in M) \leftrightarrow ((\forall y) \neg(y \in x))$, но это абсолютно чуждый для меня способ мышления.

epros в сообщении #1623675 писал(а):

Но невозможно приобрести доверие к аксиоматике, построив её модель. Максимум, что Вы можете таким образом приобрести, это уверенность в непротиворечивости этой аксиоматики.

Так мне это и надо. Для меня доверие = непротиворечивость

epros в сообщении #1623675 писал(а):

Причём она основана на уверенности в непротиворечивости заведомо более сильной аксиоматики, которая более спорна уже в силу того, что она более сильная.

Да, непротиворечивость по модулю непротиворечивости моей теории множеств. Но я в нее верю безусловно, поэтому для меня это не проблема.

epros в сообщении #1623675 писал(а):

Уверенность в "правильности" аксиоматики или в том, что она хоть к чему-то применима, Вы таким образом не приобретёте.

Разумеется. Но мне этого и не надо. Вопросы применимости к чему-то реальному - это уже вопросы, выходящие за рамки математики. Можно сказать так, что это вопросы области деятельности под названием математическое моделирование.

[mihaild]

epros в сообщении #1623628 писал(а):

Математика такова именно потому, что в таком виде она оказалась интересна математикам

Тут вопрос в том, включать ли в математику вопрос о том, что включать в математику. Я считаю, что нет.

epros в сообщении #1623628 писал(а):

Между прочим, экономика большей частью - это теория игр, основанная на понятии об индивидуальных предпочтениях рациональных игроков

"Большей частью". Хотя я бы сказал, что это не экономика, а занятие экономистов. Т.е. так получается, что люди, считающиеся экономистами, существенную часть времени занимаются математикой.
Но если завтра обнаружат, что у нас из теории игр получаются выводы, противоречащие наблюдениям, то проблема гарантированно в попытке применить неподходящую математику, а не внутри математики.

epros в сообщении #1623628 писал(а):

В рамках известных мне исторических теорий это утверждение неразрешимо

Я Вам сейчас состряпаю две исторические теории, которые методом С. Потолка выяснят это имя. Вопрос о том, какая из них дает правильный ответ, Вы считаете осмысленным?

epros в сообщении #1623628 писал(а):

Почему? Я не требую от теорий полноты

Как это? Вы требуете, чтобы классическая логика сказала Вам, верна ли теорема Бернштейна - на том основании, что она считает, что оно либо верно, либо неверно. Это ИМХО полностью аналогично тому, что физика говорит, что кирпич упадет за какое-то конкретное время, а Вы требуете его назвать, не сообщая нужных данных.

epros в сообщении #1623675 писал(а):

которая более спорна уже в силу того, что она более сильная

Это неправда. Если я сейчас выпишу из головы какой-нибудь список аксиом, то показать, что ZF может построить его модель - хороший способ повысить уверенность в том, что мой список не противоречив.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1623682 писал(а):

Объективная реальность — это создатель истинности для высказываний, формулируемых в рамках наших физических моделей, то есть высказываний вроде "нейтрино имеет ненулевую массу", "выполняются три закона Ньютона" и т. д. Создатель истинности — это то, что делает высказывания истинными или ложными.

А что делает высказывания "истинными"? Классический логик скажет, что построение модели (причём разные модели определяют истинность по-разному). Конструктивная логика скажет, что источник истинности - некая процедура (можно сказать, что процедура доказательства). В естественных науках, вроде, принято считать, что "истинной" следует считать ту теорию, которая надёжно подтверждена экспериментами. При этом если покопаться, то возникает куча дополнительных вопросов: Насколько надёжно и какими экспериментами. Вот утверждение: "Тела падают с ускорением примерно 9.8 метров в секунду в квадрате", - оно "истинно" или нет? С одной стороны, было множество возможностей убедиться, что на Земле это действительно так. С другой стороны, сейчас мы знаем, что "истинность" этого высказывания довольно условна - ровно в той мере, в какой речь идёт о ближней окрестности Земли. Подразумевается ли это контекстом утверждения? Точно так же в будущем мы можем обнаружить ограниченность области применения любого "фундаментального" теоретического утверждения.

А каков Ваш ответ?

EminentVictorians в сообщении #1623691 писал(а):

Т.е. любое определение - это новая аксиоматика?
Т.е. когда я ввожу такое определение:

Пусть $M := \{\varnothing\}$ (т.е. просто определяю одноэлементное множество посредством прямого перечисления его элементов)

я ввожу какую-то новую аксиоматику?

Конечно, это и есть аксиома. Причём $M$, $\varnothing$ и фигурные скобки должны быть распознаваемы грамматикой языка.

EminentVictorians в сообщении #1623691 писал(а):

Я могу, конечно попробовать догадаться, что Вы имеете в виду какую-нибудь аксиому типа $(x \in M) \leftrightarrow ((\forall y) \neg(y \in x))$, но это абсолютно чуждый для меня способ мышления.

Ну да, можете и так интерпретировать. Чуждость или не чуждость - это вопрос привычки. На самом деле, любая формулировка задачи - это по-сути дополнительная аксиоматика к той теории, в которой решается задача. Т.е. когда Вы читаете: "Из пункта А в сторону пункта Б в полдень выехал поезд, движущийся со скоростью 80 км/ч", - то Вы присоединяете это утверждение к аксиомам той теории, которая определяет скорости через расстояния и время, а потом делаете вывод в отношении того конкретного вопроса, который задан в задаче (например, когда этот поезд с чем-то там встретится).

EminentVictorians в сообщении #1623691 писал(а):

Так мне это и надо. Для меня доверие = непротиворечивость

Так непротиворечивых аксиоматик можно наформулировать сколько угодно самых разных, причём зачастую несовместимых друг с другом. Большая их часть будет совершенно бессмысленна и никому и никогда не интересна. Как Вы можете доверять им всем, с учётом их возможной несовместимости?

EminentVictorians в сообщении #1623691 писал(а):

Да, непротиворечивость по модулю непротиворечивости моей теории множеств. Но я в нее верю безусловно, поэтому для меня это не проблема.

Ну, это Ваше дело. Но я Вам напомню, что при добавлении аксиом непротиворечивая теория может стать противоречивой, но не наоборот. Поэтому усложнение аксиоматики - всегда сомнительно. Вот, скажем, Вы знаете, что в арифметике Пеано неразрешима теорема Гудстейна. А можно ли её добавить в качестве новой аксиомы? Да сколько угодно. Только к сомнениям в непротиворечивости самой арифметики после этого добавятся сомнения в теореме Гудстейна. Кстати, можно добавить в качестве новой аксиомы отрицание теоремы Гудстейна. В итоге получим омега-противоречивую теорию. И это ещё не значит, что в такой теории выводится противоречие. Но вот если к омега-противоречивой теории добавить утверждение о её непротиворечивости, то уже получим противоречивую теорию.

Поэтому усиление аксиоматики всегда чревато тем, что на каком-то этапе мы получим противоречие (и поначалу может быть даже не заметим этого). А уж насколько адским усилением аксиоматики является хотя бы та же аксиома выбора, я даже напоминать не буду.

-- Вс дек 24, 2023 23:02:39 --

mihaild в сообщении #1623700 писал(а):

Тут вопрос в том, включать ли в математику вопрос о том, что включать в математику. Я считаю, что нет.

Я не предлагаю включать этот вопрос в математику. Но о том, что этот вопрос существует и важен для реальных математиков, свидетельствует хотя бы то, что вся математика пока ещё не погрязла в построениях всевозможных нестандартных моделей чего угодно, а большей частью всё же занимается достаточно осмысленными вещами.

mihaild в сообщении #1623700 писал(а):

Я Вам сейчас состряпаю две исторические теории, которые методом С. Потолка выяснят это имя. Вопрос о том, какая из них дает правильный ответ, Вы считаете осмысленным?

Так я же не говорю, что все исторические теории равноценны. История - наука о наблюдавшемся, поэтому подтверждение её теорий наблюдениями - важно. Так что будем Вашу "состряпанную" теорию пытаться чем-то подтвердить или опровергнуть.

mihaild в сообщении #1623700 писал(а):

Как это? Вы требуете, чтобы классическая логика сказала Вам, верна ли теорема Бернштейна - на том основании, что она считает, что оно либо верно, либо неверно.

Это не я требую, а построители моделей обещают сказать нам что-то про "истинность". И замечу, что сама потребность говорить что-то про "истинность" дополнительно к доказуемости возникла именно потому, что для доказуемости нет закона исключённого третьего.

mihaild в сообщении #1623700 писал(а):

Если я сейчас выпишу из головы какой-нибудь список аксиом, то показать, что ZF может построить его модель - хороший способ повысить уверенность в том, что мой список не противоречив.

Это артефакт Вашего избыточного доверия к ZF самой по себе. Я этим не особо страдаю.

[mihaild]

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Но вот если к омега-противоречивой теории добавить утверждение о её непротиворечивости, то уже получим противоречивую теорию

А где про это можно прочитать?
Возьмем $T$ - минимальное омега-противоречивое расширение PA (добавим константу $c$ и аксиомы $c \neq S(\ldots(S(0))\ldots)$). Правда ли что $T \vdash \Box_T \ulcorner \bot \urcorner$?

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Так что будем Вашу "состряпанную" теорию пытаться чем-то подтвердить или опровергнуть.

Поскольку эта теория ничем, кроме фиксации имени кошки не отличается от классической, то, скорее всего, не получится. Так вопрос о том, какая из них правильнее, вообще осмысленен?

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Это артефакт Вашего избыточного доверия к ZF самой по себе

Я бы не сказал, что большее доверие к ZF, чем ко взятой с потолка теории, избыточно.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Так непротиворечивых аксиоматик можно наформулировать сколько угодно самых разных, причём зачастую несовместимых друг с другом. Большая их часть будет совершенно бессмысленна и никому и никогда не интересна. Как Вы можете доверять им всем, с учётом их возможной несовместимости?

Не понимаю. У меня все происходит внутри теории множеств. Вы даете мне список аксиом, я строю модель (т.е. просто множество). Получилось построить модель - все хорошо. Есть множество с нужными свойствами. Не получилось построить - значит эти аксиомы для меня ничего не значат. Кто с кем несовместен? (как одно множество может быть несовместно с другим?)

[warlock66613]

epros в сообщении #1623710 писал(а):

В естественных науках, вроде, принято считать, что "истинной" следует считать ту теорию, которая надёжно подтверждена экспериментами.

Нет, естественные науки основаны на наивном реализме. так что истинной теория может быть и без всякого подтверждения: без подтверждения мы просто не знаем истинна теория или нет. Земля была круглой и тогда, когда некому было подтверждать это экспериментами, и тогда, когда эксперименты/наблюдения (некорректные) свидетельствовали, что она плоская.

epros в сообщении #1623710 писал(а):

Подразумевается ли это контекстом утверждения?

Ну откуда же я знаю, подразумевается это контекстом или нет, если это зависит от контекста? Может подразумеваться, может нет. На то он и контекст.

[Dicson]

talash в сообщении #1623690 писал(а):

Но даже из этого одного примера можно сделать вывод, что математика развивается не из оснований, а интуитивно. А строгие построения из оснований сложны и используются для доказательства, что интуитивные догадки верны. И сложны настолько, что вот есть конкретный пример, когда десятилетиями не могли установить строгость.

Интересно, почему так?

Знание не развивается из "оснований", имея в виду нечто такое, что можно сформулировать. И математика тоже. Поэтому любые конкретные сформулированные основания математики будут, во-первых, неполны, ведь то, что нельзя сформулировать, останется за бортом, а во-вторых, сами эти основания уже никаких конкретных оснований под собой иметь не будут. В итоге не будет оснований считать их действительно основаниями. Вроде бы в отношении математики это ещё Гёдель доказал, но, чтобы понять, почему так получается, надо посмотреть шире.

Есть только одна абсолютная истина - существование себя. Абсолютная потому, что существование себя одинаково подтверждает абсолютно всё, даже отрицание себя. Но что есть Я, где есть Я, как есть Я? В ответе на эти вопросы состоит познание. А качество ответа определяется по тому, лучше стало себе или хуже. Если ничего не предпринимать, то рано или поздно становится хуже, и волей-неволей приходится выдвигать гипотезы. И если стало лучше, то гипотеза разумна, стоит и дальше двигаться в этом направлении.

Но дать окончательный ответ на эти вопросы невозможно. Будучи началом любого знания, Я не определено и ни из чего определённого не исходит, Я невозможно опровергнуть и Я не имеет доказательств. Например, если бы можно было понять Я, то понятным бы стало всё (потому что, поняв Я, мы поймём исток всего - всех вопросов и ответов), но теория всего не имеет смысла.

Поэтому все наши знания выходят из ниоткуда и уходят в никуда. Никаких сколько-нибудь конкретных оснований у них нет. Только свои ощущения, никакого точно определимого источника не имеющие. Это значит, что любой поиск оснований - математики, физики, реального и нереального и вообще чего угодно - если копать слишком глубоко, приведёт лишь к выхолащиванию смысла предмета поиска. Основания будут только всё больше растворяться в аргументах и уточнениях, стремясь к полностью неопределённым, а не проявляться всё точнее. Любое конкретное знание, будь то какие-либо аксиомы, теории, факты - это всего лишь прослойка между абсолютно неизвестным, как с точки зрения начал этих знаний, так и с точки зрения их завершения.

Говоря по-другому, нет языка, который бы позволил эти основания выразить. Ведь язык тоже конкретен. Любые слова имеют смысл только на некотором уровне определённости представления о предмете, о котором хотят высказаться. Но основания знаний находятся за этой гранью. В итоге, можно сказать, что в основании всего лежит лишь здравый смысл (общность опыта), который позволяет нам понимать друг друга и без обязательного спуска к истокам сущего.
***

В то же время, кроме существования себя, всё остальное, что написано выше, не истина. Ведь бессмысленность теории всего говорит о том, что истинная реальность неизвестна, а значит, по мере дальнейшего познания любое нынешнее утверждение может в конечном итоге поменять смысл, в том числе на противоположный - и, например, теория всего обретёт смысл. С другой стороны, и существование себя - это истина такого рода, что она растворяется, как только начинаешь к ней присматриваться. Так что, если очень хочется, наверное, можно и основания математики поискать.