Почему математика работает?

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1622935 писал(а):

Единственная доступная мне интерпретация фразы "основания традиционной математики" - это взять вместо теории множеств какую-нибудь более слабую теорию типа арифметики второго порядка, и пытаться построить в ней столько математики, сколько сможете. Но я не знаю, это Вы имели в виду или что-то другое.

Интересно, а как по-Вашему развивалась математика до появления теории множеств? Как появился классический матанализ? Все математики, внёсшие вклад в развитие, должны были одинаково понимать основания, но там никакие множества не упоминались.

[EminentVictorians]

amon в сообщении #1622936 писал(а):

Особенно активно теорию множеств использовали берберские пастухи, считавшие овец, и жители Междуречья при подсчете количества кирпичей.

А Ампер думал, что любая функция дифференцируема почти всюду. Была бы теория множеств - так не думал бы. Так же и эти македоняне наверняка делали кучу ошибок и неточностей в обычной арифметике.

talash в сообщении #1622937 писал(а):

Все математики, внёсшие вклад в развитие, должны были одинаково понимать основания, но там никакие множества не упоминались.

В том и дело, что однозначности в понимании не было.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1622903 писал(а):

Что тут представлять? Это и есть наш мир.

Логика нашего мира отлична от классической? Это как?

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1622939 писал(а):

talash в сообщении #1622937 писал(а):

Все математики, внёсшие вклад в развитие, должны были одинаково понимать основания, но там никакие множества не упоминались.

В том и дело, что однозначности в понимании не было.

В чём это проявлялось?

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1622952 писал(а):

В чём это проявлялось?

Сравните, например, как понимали бесконечно малые Эйлер и Коши. У первого нильпотенты, у второго - переменные величины.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1622958 писал(а):

Сравните, например, как понимали бесконечно малые Эйлер и Коши. У первого нильпотенты, у второго - переменные величины.

Дифференциальное исчисление изначально строилось не от оснований, а интуитивно из геометрических или физических(Ньютон) соображений. С этим связаны разногласия. Как только Коши построил матанализ от оснований, разногласия в целом исчезли. А это ведь и означает, что основания все понимали примерно одинаково?

[Martynov_M]

george66 в сообщении #1622668 писал(а):

Но хочется понять, почему безногие, безмозглые, холоднокровные животные вдруг становятся процветающей группой хищников?
И если бы не было змей, кто бы мог это предсказать? И почему лягушки так не могут?

Жили-были мыши, и все их обижали. Пошли они к сове просить помощи:
— Сова, что нам делать? — сказали мыши.

Сова ответила:
— А вы станьте ёжиками. И никто вас не тронет.

Мышки обрадовались и побежали домой. Но по дороге одна мышь сказала:
— Как же мы станем ёжиками? — и они все побежали обратно, чтобы задать этот вопрос сове.

Но Сова сказала:
— Ребят, я не тактик. Я — стратег. Я занимаюсь глобальными вопросами.

-- 19.12.2023, 11:19 --

george66 в сообщении #1622668 писал(а):

Между тем, основной вопрос оснований математики содержательный -- почему она вообще работает?
Если мы выдумываем математику "из головы", почему она полезна для изучения реальности?

Потому что нас устраивает такая математика. Нам она нравится. Она дает нам и хлеба и зрелищ.
С помощью математики мы каждый день создаем супер-дешевые и качественные развлечения, например, такие как видеоигры, фильмы, спецэффекты, изображения.



Например, эта картина Д. Аллена победила в конкурсе изобразительного искусства в США в 2022 г., штат Колорадо. Её сгенерировала нейросеть. Жюри об этом не знало. И думало, что картину нарисовал человек.
Развитие нейросетей, ИИ, 3D-графики – всё это математика. Пусть и примитивная. Но математика.

Как правильно заметил Павел Дуров:
– Наша цивилизация становится все более эффективной в создании развлечений (и здесь она использует все имеющиеся у неё доступные средства, в том числе и математику).

Не было бы математики, геометрии, многочленов, кривых Безье – не было бы компьютерных игр, систем проектирования, визуализации, современных спецэффектов Голливуда, 3D-тренажеров и всего прочего.

[epros]

mihaild в сообщении #1622922 писал(а):

Но тогда "увидеть то, чего нет" - оксюморон.

Как и множество других нормальных высказываний естественного языка. Потому что одна часть высказывания про непосредственное наблюдение (мы что-то "увидели"), а вторая часть высказывания - про теоретические выводы (мы сделали вывод, что этого "нет").

mihaild в сообщении #1622922 писал(а):

Я подозреваю, что в конечном итоге Ваша модель отличается от моей чисто переименованием понятий. Нам надо как-то отличать ситуации "вижу зеленых чертей" (а никто другой не видит и не увидит), "вижу мираж в пустыне" (и сосед видит, но если пощупать, то его нет), "вижу стол" (и все видят, и если пощупать, то нащупаем стол), "не вижу суслика" (а если пощупать, то он есть). Я говорю, что есть некоторая "объективная реальность", которая говорит, что черта и миража нет, а стол и суслик есть, и дальше есть механизмы её восприятия (которые тоже являются её частью).

Отличать эти случаи мы можем начать только в рамках какого-то теоретизирования. Что за теория позволяет Вам выделить эту самую "объективную реальность"? Если Вы скажете, что это происходит независимо от теорий, вот это действительно будет оксюморон.

mihaild в сообщении #1622922 писал(а):

Тогда вопрос: почему вообще существуют простые законы природы?

Случайное стечение обстоятельств. Почему бы среди множества всего различной сложности не быть чему-то достаточно простому? Тем более, что "закон" - не подразумевает что-то глобальное. Т.е. обнаружив закон, что "все предметы падают с ускорением примерно 9,8 метров в секуду в квадрате", в будущем мы сможем установить, что он работает только в ближней окрестности Земли.

EminentVictorians в сообщении #1622946 писал(а):

epros в сообщении #1622903 писал(а):

Что тут представлять? Это и есть наш мир.

Логика нашего мира отлична от классической? Это как?

В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623002 писал(а):

В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара.

И эта же самая классическая логика Вам скажет, что нужно разделять реальные предметы и их идеализированные абстракции. Вы всего лишь заметили, что шар в $\mathbb R^3$ не всегда является хорошей моделью реального апельсина. Обращаемся к классической логике и спрашиваем ее: абстрактный шар всегда должен быть хорошей моделью реального апельсина? Она отвечает: " нет, см. значение слова "модель" ".

Не вижу противоречия.

[mihaild]

diletto в сообщении #1622929 писал(а):

Потому что под это затачивался мозг с гораздо более ранних времён, чем появились люди

Это ответ на вопрос "почему мозг умеет группировать явления, при условии, что их вообще сгруппировать возможно".

epros в сообщении #1623002 писал(а):

Потому что одна часть высказывания про непосредственное наблюдение (мы что-то "увидели"), а вторая часть высказывания - про теоретические выводы

Проблема не в этом, я не вижу никаких проблем в высказываниях, говорящих сразу и про наблюдения, и про выводы. Если мы изначально исходим из того, что наши выводы связаны с наблюдениями.
Еще раз - что значит "увидеть то, чего нет"?

epros в сообщении #1623002 писал(а):

Что за теория позволяет Вам выделить эту самую "объективную реальность"?

Куча разных.
А как Вы выбираете между теориями?

epros в сообщении #1623002 писал(а):

Почему бы среди множества всего различной сложности не быть чему-то достаточно простому?

Потому что большинство множеств различной сложности сложные. И хочется каких-то обоснований, почему наше простое.
Если у Вас монетка выпадет орлом 100 раз, Вы скажете "ну почему бы и нет", или предположите, что монетка кривая?

epros в сообщении #1623002 писал(а):

В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара

А причем тут логика? Это значит, что разрезания реального шара не совсем точно моделируются евклидовой геометрией, но это итак известно. Из абстрактного шара всегда можно вырезать набор из $10^{100}$ кубиков, каждый из которых в $2$ раза меньше предыдущего, из реального обычно нельзя.

[diletto]

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):

Это ответ на вопрос "почему мозг умеет группировать явления, при условии, что их вообще сгруппировать возможно".

Вселенная не достигла тепловой смерти. Поэтому в ней пока есть много всякого, позволяющего задавать структуры. Простейшая структура - это дихотомия. Теплее-холоднее, плотнее-разреженнее, благоприятнее-неблагоприятнее... Комбинации дихотомий дают основания более сложному структурированию. Для структурирования нужен субъект с органами чувств, позволяющими зарегистрировать дихотомии. По-моему, это всё довольно ясно.

[epros]

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):

Если мы изначально исходим из того, что наши выводы связаны с наблюдениями.
Еще раз - что значит "увидеть то, чего нет"?

Я не понял вопрос. Разумеется в данном случае вывод связан с наблюдением, на это прямо указывает слово "то".

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):

epros в сообщении #1623002 писал(а):

Что за теория позволяет Вам выделить эту самую "объективную реальность"?

Куча разных.
А как Вы выбираете между теориями?

Вот именно, что понятие "объективной реальности" - сугубо теоретическое. Если это понимать, то нет никаких проблем (за исключением того, что это понятие - избыточно). Любая естественно научная теория говорит что-то про "устройство природы", что всегда можно назвать "объективной реальностью". Весь вопрос только в нашей степени доверия к этой теории.

Проблема не в самом использовании этого понятия, а в том, что оно вводилось именно с претензией на "надтеоретичность".

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):

epros в сообщении #1623002 писал(а):

Почему бы среди множества всего различной сложности не быть чему-то достаточно простому?

Потому что большинство множеств различной сложности сложные. И хочется каких-то обоснований, почему наше простое.
Если у Вас монетка выпадет орлом 100 раз, Вы скажете "ну почему бы и нет", или предположите, что монетка кривая?

Так может быть "большинство" и есть сложное, как измерить? Вероятно, если мы и замечаем это сложное, то не настолько обращаем на него внимание, чтобы оценить насколько его "много".

Сократ, кажется (или я ошибаюсь?), рисовал большой и малый круг, чтобы проиллюстрировать знание своё и учеников. При этом размер "незнания" иллюстрировался границей круга, а не всем окружающим его пространством (которое как бы остаётся "неизмеримым").

Что касается стократного выпадения монетки орлом, то такое наверняка встречалось в истории. Возможно, что после нескольких десятков выпадений бросающий даже сформулировал какой-нибудь "закон" типа: "у меня всегда будет выпадать орёл". И возможно, что этот закон даже некоторое время работал. В таком случае это оказалось примером очередного локального закона. Не скажу, что это то же самое, что закон "все предметы падают с ускорением примерно в 9,8 метров в секунду в квадрате", но с точки зрения автора, сформулировавшего закон, в чём разница? Авторы и того, и другого закона в тот момент могут не представлять границы их применимости.

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):

А причем тут логика? Это значит, что разрезания реального шара не совсем точно моделируются евклидовой геометрией, но это итак известно. Из абстрактного шара всегда можно вырезать набор из $10^{100}$ кубиков, каждый из которых в $2$ раза меньше предыдущего, из реального обычно нельзя.

EminentVictorians в сообщении #1623003 писал(а):

И эта же самая классическая логика Вам скажет, что нужно разделять реальные предметы и их идеализированные абстракции.

Я не про реальные шары и не про противоречия внутри самой классической логики, я про "соответствие" классической логики "нашему миру". Так вот, по моим понятиям закон исключённого третьего (и приводящие к нему неконструктивные аксиомы, типа полной аксиомы выбора) - это "несоответствие нашему миру". В нашем мире нет ничего такого, что бы могло реализовать этот закон на примере действительно бесконечных процедур.

Разрезание шара - это всего лишь один из примеров. Его глючность не в том, что это нельзя проделать с каким-то там "реальным" шаром, а в том, что это нельзя проделать даже с воображаемым шаром. И этот пример не единственный. Есть куча других примеров, демонстрирующих главный дефект классической логики - что истинность в ней принципиально не выражается доказуемостью. Или, выражаясь иначе, что логическое следствие не тождественно выводимости. В этом я и вижу "несоответствие" классической логики "нашему миру". Что, конечно, не исключает возможности её использования.

[mihaild]

epros в сообщении #1623081 писал(а):

Разумеется в данном случае вывод связан с наблюдением, на это прямо указывает слово "то".

Т.е. кто-то наблюдает зеленых чертей, но наблюдения указывают, что их нет. Что значит "зеленых чертей нет"?

epros в сообщении #1623081 писал(а):

Проблема не в самом использовании этого понятия, а в том, что оно вводилось именно с претензией на "надтеоретичность".

Вы тут двигаете ворота.
Само понятие - надтеоретично. Выяснение, что ему удовлетворяет, а что нет - вопрос теории.

epros в сообщении #1623081 писал(а):

Что касается стократного выпадения монетки орлом, то такое наверняка встречалось в истории

Так а про монетку-то вы что ответите? Пожмёте плечами "ну бывает, повезло", или предположите, что с монеткой что-то не так?

(Оффтоп)

epros в сообщении #1623081 писал(а):

Его глючность не в том, что это нельзя проделать с каким-то там "реальным" шаром, а в том, что это нельзя проделать даже с воображаемым шаром

Мой воображаемый шар, что хочу с ним то и проделываю.

epros в сообщении #1623081 писал(а):

главный дефект классической логики - что истинность в ней принципиально не выражается доказуемостью

Теорема о полноте в классической логике выполнена. И существуют полные теории. В чем дефект-то - в существовании неполных теорий?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623081 писал(а):

В нашем мире нет ничего такого, что бы могло реализовать этот закон на примере действительно бесконечных процедур.

В нашем мире в принципе не доказано существование чего-либо бесконечного - но это же не повод становиться ультрафинитистами.

Бесконечность - это абстракция. Абстракции нужны, чтобы упрощать сложное. Когда Вы, например, считаете длину забора, Вы же не брезгуете использовать такую абстракцию, как отрезок. Хотя в реальности забор ни разу не идеально прямой.

Моя мысль в том, что если что-то (бесконечность/отрезок/...) отсутствует в реальности - это не повод не использовать это в мышлении.

[epros]

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):

Т.е. кто-то наблюдает зеленых чертей, но наблюдения указывают, что их нет. Что значит "зеленых чертей нет"?

На то, что их нет, указывают не наблюдения, а теоретические выводы.

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):

Само понятие - надтеоретично. Выяснение, что ему удовлетворяет, а что нет - вопрос теории.

Как это? Есть теории, которые описывают заведомо абстрактные вещи, такова практически вся математика. А есть теории, которые описывают устройство чего-то в природе. Ни те, ни другие обычно не оперируют понятием "объективная реальность", но к предмету вторых (естественнонаучных) теорий это понятие применить можно (хотя вряд ли это кому-то нужно кроме философов). Кто (какая теория) будет "выяснять" предмет какой из теорий можно так назвать?

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):

Так а про монетку-то вы что ответите? Пожмёте плечами "ну бывает, повезло", или предположите, что с монеткой что-то не так?

Да как угодно можно поступить. Можно высказать любое предположение и потом попытаться его фальсифицировать стандартным образом. Если долго не удаётся фальсифицировать, предположение постепенно приобретает статус установленной наукой истины.

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):

Мой воображаемый шар, что хочу с ним то и проделываю.

Классический анализ только утверждает, что разбиение шара "существует", но предъявить его не может. Как бы он ни "хотел" это проделать.

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):

epros в сообщении #1623081 писал(а):

главный дефект классической логики - что истинность в ней принципиально не выражается доказуемостью

Теорема о полноте в классической логике выполнена. И существуют полные теории. В чем дефект-то - в существовании неполных теорий?

Дефект, как я сказал, в том, что логическое следствие в принципе не тождественно выводимости. Дело не в полноте или неполноте конкретных теорий. Сам этот вопрос о полноте теорий с моей точки зрения является артефактом классической логики и безумного желания построить "теорию всего". Нормальные теории и не должны претендовать на полноту, ибо они представляют собой наше ограниченное знание о чём-то неограниченном.

EminentVictorians в сообщении #1623104 писал(а):

В нашем мире в принципе не доказано существование чего-либо бесконечного - но это же не повод становиться ультрафинитистами.

В нашем мире существуют бесконечные процедуры, например, продолжение натурального ряда. Конечно, эта бесконечность потенциальная, поскольку никому в реальности не удалось такие процедуры "выполнить полностью".

EminentVictorians в сообщении #1623104 писал(а):

Моя мысль в том, что если что-то (бесконечность/отрезок/...) отсутствует в реальности - это не повод не использовать это в мышлении.

Я не говорю о том, что классическую логику нельзя использовать в мышлении. Я только сказал, что она не соответствует нашему миру, ибо порождает утверждения о существовании заведомо мифических объектов.