Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[yk2ru]

Семен писал(а):

yk2ru писал(а):

Что это ещё за J такое, откуда его взяли? И что значит $ Z_2 \in\ J $? Натуральные числа точно не принадлежат этому J?

Оставляю, как Вы предложили, т.к. это не имеет особого значения. Но, на мой взгляд,
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z_2 \in\ J, X>Y\} $ - точнее.
J - множество иррациональных чисел. $ Z_2 $ в БСМ - иррациональное число.
Извиняюсь за непродуманный ответ. Жду ответ.

Семён, множество натуральных чисел принадлежит множеству иррациональных чисел или нет? Что на этот счёт в учебниках математики пишут, проверьте? Если точно не принадлежит, то тогда и ваша запись будет верна.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Семён, множество натуральных чисел принадлежит множеству иррациональных чисел или нет? Что на этот счёт в учебниках математики пишут, проверьте? Если точно не принадлежит, то тогда и ваша запись будет верна.

Не принадлежит. Оставляю, как у меня.

Добавлено спустя 1 час 2 минуты 39 секунд:

Shwedka и yk2ru, здравствуйте!
Отправляю откорректированный 1-ый пост и 2-ой (продолжение).

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
при натуральном $ n=3 $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y \}$ (2) .
Для каждого элемента из множества M определяем число
$Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $
Разделим его на:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z_2 \in\ N, X>Y\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z_2 \in\ J, X>Y\} $,
Для каждого элемента
$ (X, Y) \in\ M $ определяем
$ Z (X, Y) =\{Z_2 (X,Y)\} $ , где
$Z_2(X,Y) = $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2a)
Oпределяем число $ m_2=(Z_2-X) $.
Отсюда: $ Z_2=(m_2+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m_2+X)=$\sqrt[2]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ m_2^2+2*X*m_2-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение $ m_2 $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ m_2=Y/k_2 $, где $ k_2 $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ m_2 $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ m_2=Y/k_2 $, но число $ k_2 $ уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ m_3=(Z_3-X) $.. После возведения в куб, получаем:
$ m_3^3+3*X*m_3^2$+3*X^2*m_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой целый корень $ m_3 $ существует, то обозначим $ m_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
1. В СМ и в БСМ:
1.1 $ 0<m_2< Y $, $ 0<m_3< Y $.
1.2. Для выполнения условия $ X>Y $, $ k_2 $ должeн быть:
$ k_2>1/($\sqrt[]{2}$ - 1)$.
1.3. Для выполнения условия $ X>Y $, $ k_3 $ должeн быть:
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$.
§2. Вводим последовательность $ Z_b_r(k_2)={Z (k_2^2-1), (2*k_2)} $, которую называем базовым рядом (БР).
Отличительная особенность базового ряда это то, что $ m_2=2 $, а
$ k_2=Y/m_2=Y/2 $.
Рассмотрим, что же это за понятие – базовый ряд? БР является подмножеством множества блока подобных рядов (БПР), включённого, соответственно, в СМ или в БСМ.
(Об этом подробно в следующем сообщении).
Подставим в уравнение $ m_2^2+2*X*m_2-Y^2=0 $ (5a),
$m_2 =Y/k_2$.
Получим: $ 2* X * Y / k_2+ (Y / k_2) ^2 - Y^2= 0 $. Избавимся от знаменателя $ k_2 ^2 $ и поменяем местами члены уравнения. Тогда:
$ Y^2+2* X*Y*k_2 - k_2 ^2 *Y_2^2= 0 $. Вынесем за скобки $ Y $ и избавимся от него:
$ Y+2* X* k_2 - k_2^2*Y=0 $. Сгруппируем 1-й и 3-й члены, тогда:
$ 2* k_2* X - Y*( k_2^2 -1)= 0 $.
Перенеся число $ Y*( k_2^2 -1) $ в правую сторону уравнения, получим: $ 2* k_2*X=Y*( k_2^2 -1) $.
Составим пропорцию: $ X/Y= ( k_2^2 -1)/ (2* k_2) $.
Как один из вариантов принимаем:
$ X=( k_2^2 -1) $ (6).
$ Y= 2* k_2 $ (7).
Назовём этот вариант Базовым рядом.
Подставим (6) и (7) в уравнение (1a). Тогда:
$ Z_2=$\sqrt{( k_2^2 -1)^2+(2* k_2)^2}$= $\sqrt{ k_2^4 -2* k_2^2+1+4*k_2^2}$= $\sqrt{ k_2^4+2*k_2^2+1}$= $\sqrt{ (k_2^2 +1)^2}$= (k_2^2 +1) $.
То есть: $Z_2=(k_2^2 +1) $ (8).
Определим $ m_2 $ в БР. Т. к. $ m_2=Z_2-X $, то из (8) и
(6) имеем: $ m_2= (k_2^2 +1) - (k_2^2 -1) =2 $. Независимо от численного значения $ k_2 $, рационально оно или иррационально, в базовом ряду:
$ m_2=2 $ (9), а $ k_2= Y/2 $ (10). (См. (7).
В БР системного множества $ k_2=> 3$ – натуральное число, т. к.,
в противном случае, по крайней мере $ X $, не будет натуральным числом.
В БР бессистемного множества $ k_2 $ – иррациональное число. $ m_2=2 $, как и в системном множестве.

[yk2ru]

Семен писал(а):

Отправляю откорректированный 1-ый пост и 2-ой (продолжение).

2-й пост не стоило пока посылать, полагаю. И в 1-м то исправленном посте изложение всё ещё нечёткое, а тут ещё и продолжение. Просьба удалить продолжение, пока не станет всё ясным в 1-м посте.

Добавлено спустя 5 минут 46 секунд:

Семен писал(а):

Для каждого элемента из множества M определяем число
$Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $
...
Для каждого элемента
$ (X, Y) \in\ M $ определяем последовательность:
1. $ Z (X, Y) =\{Z_2 (X,Y)\} $ , где
$Z_2(X,Y) = $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $

То число определяем для элемента (X,Y), то вдруг последовательность.
Как выглядит последовательность для элемента (4,3) к примеру, приведите несколько первых значений этой последовательности?

Добавлено спустя 8 минут 37 секунд:

Или следующее хотите сказать:
Каждому элементу из М ставим в соответствие число. Множество всех таких чисел образуют последовательность. Почему не множеством просто это обозвать? Порядок расположения этих чисел относительно друг друга важен или нет? Раз последовательность, то числа должны располагаться/следовать друг за другом.

[Семен]

yk2ru писал(а):

То число определяем для элемента (X,Y), то вдруг последовательность.

Это опечатка. Уже удалил слово «последовательность».

yk2ru писал(а):

Просьба удалить продолжение, пока не станет всё ясным в 1-м посте.

Не смотрите продолжение. Считайте, что его нет. Прошу согласиться, т.к. его, может быть, кто-нибудь посмотрел. Если будете настаивать, то удалю.

[yk2ru]

Семен в сообщении #161746 писал(а):

Не смотрите продолжение. Считайте, что его нет. Прошу согласиться, т.к. его, может быть, кто-нибудь посмотрел.

Если вы спешите, то дальше без меня. 40 строк нестрогого математического текста - это уже много.

Добавлено спустя 5 минут 2 секунды:

Re: Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма

Семен писал(а):

Для каждого элемента
$ (X, Y) \in\ M $ определяем
$ Z (X, Y) =\{Z_2 (X,Y)\} $ , где
$Z_2(X,Y) = $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2a)

$Z_2$ уже было определено выше, ещё раз это число определяете. Полагаю, нужно всего лишь перенести туда метку (2a), а повторное определение удалить.

Добавлено спустя 10 минут 35 секунд:

Семен в сообщении #161730 писал(а):

Разделим его на:
А. Системное Множество (СМ)

Тут наверное нужно написать "Разделим множество М на". Выше стоит определение числа $Z_2$ и невольно можно подумать "Разделим это число на"

[Семен]

yk2ru писал(а):

Если вы спешите, то дальше без меня. 40 строк нестрогого математического текста - это уже много.

Я не спешу. Если скажите убрать – уберу!

yk2ru писал(а):

$ Z_2 $уже было определено выше, ещё раз это число определяете. Полагаю, нужно всего лишь перенести туда метку (2a), а повторное определение удалить.

Семен в сообщении #161730 писал(а):

Тут наверное нужно написать "Разделим множество M на". Выше стоит определение числа $ Z_2 $ и невольно можно подумать "Разделим это число на"

Полагаю вместо:
«Для каждого элемента из множества M определяем число
$Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $
Разделим его на:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z_2 \in\ N, X>Y\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z_2 \in\ J, X>Y\} $,
Для каждого элемента
$ (X, Y) \in\ M $ определяем
$ Z (X, Y) =\{Z_2 (X,Y)\} $ , где
$Z_2(X,Y) = $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2a)»


НАПИСАТЬ: «Для каждого элемента из множества M определяем число
$Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество М объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z_2 \in\ N, X>Y\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z_2 \in\ J, X>Y\} $.»

[yk2ru]

Семен в сообщении #161991 писал(а):

Я не спешу. Если скажите убрать – уберу!

Если shwedka не видит ошибок в 1 части (после всех исправлений), то можете не удалять. shwedka просила добавлять новый текст после согласования предыдущего.

[shwedka]

Поехали дальше.

[yk2ru]

Семен писал(а):

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
при натуральном $ n=3 $.

Маленькое дополнение к 1-му посту.
Слова "при натуральном $ n=3 $ " явно лишние, поскольку переменная $ n $ нигде выше не фигурирует.

Добавлено спустя 23 минуты 27 секунд:

Семен в сообщении #161730 писал(а):

Назовём этот вариант Базовым рядом.

Что пишут в Википедии:
"Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится."

К чему употреблять термин ряд, вроде суммы рядов тут не рассматриваются?

[ewert]

мало ли что в википедиях пишуть. Вот в теории вероятностей, например, ничтоже сумняшеся пишут "ряд распределения", хотя никакой это вовсе и не ряд, и никого это не колышет...

[Семен]

shwedka писал(а):

Поехали дальше.

Полагаю, что yk2ru нужно время, чтобы проанализировать первые два сообщения и дать замечания. Давайте тормознём на несколько дней, ведь нас ничто и никто не гонит.

yk2ru писал(а):

Слова "при натуральном n=3" явно лишние, поскольку переменная n нигде выше не фигурирует.

Заменю на: «при показателе степени равном 3». Убедительная просьба, если Вы согласны с предлагаемыми мной заменами или исправлениями, на Ваши замечания, сообщать мне.

yk2ru писал(а):

К чему употреблять термин ряд, вроде суммы рядов тут не рассматриваются?

Никакого отношения, термин «базовый ряд», а ещё у меня далее »подобный ряд», «блок подобных рядов», к рядам, которые «сходятся» или «расходятся» не имеет.
Говорят же «ряд чисел» и никто, при этом, не думает о других рядах. Оставляю, принятые термины. Думаю, что в этом нет крамолы.

yk2ru писал(а):

Если shwedka не видит ошибок в 1 части (после всех исправлений), то можете не удалять. shwedka просила добавлять новый текст после согласования предыдущего.

Обещаю, что без Вашего и shwedka(и) согласия, новые тексты добавлять не буду.

[yk2ru]

Семен писал(а):

§2. Вводим последовательность $ Z_b_r(k_2)={Z (k_2^2-1), (2*k_2)} $, которую называем базовым рядом (БР).
Отличительная особенность базового ряда это то, что $ m_2=2 $, а
$ k_2=Y/m_2=Y/2 $.

Почему употребляются слова "последовательность" и "ряд"? Почему не множество просто, в чём суть именно таких обозначений? Там не нужны скобки для обрамления двух выражений, записанных через запятую?
$ Z_b_r(k_2)={Z ((k_2^2-1), (2*k_2))} $ или так $ Z_b_r(k_2)={Z (k_2^2-1, 2*k_2)} $

[shwedka]

Семен в сообщении #161730 писал(а):

Вводим последовательность $ Z_b_r(k_2)={Z (k_2^2-1), (2*k_2)} $

Я не вижу последовательности. Одно число.
Еще раз предлагаю. Чтобы не мучаться с индексами, используйте маленькие буквы.

Например, вариант началa §2
////////////////////////////////////////////////////////////
для $ (X, Y) \in\ M $, определим $x=x(k_2)=k_2^2-1, \ y=y(k_2)=2k_2$
$z_2=z_2(k_2)=\sqrt{x^2+y^2} =k_2^2+1$. (2.1)
где $ k_2 $ определено в §1.
Будем называть пару $x,y$ базой для пары $X,Y$. Из определения видно, что у разных пар $X,Y$ может быть одна и та же база, так как база зависит только от $ k_2 $, а не от $X,Y$ напрямую.Все пары с одним и тем же $ k_2 $, то есть с одной и той же базой, будем называть подобными; все вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар.
Отметим, что число $b_2=z_2-x$ равно 2 для любого $ k_2 $, то есть для любой базы.

Или, если хотите, можете называть базой не пару, а тройку и определить подобные тройки...

[yk2ru]

Семен в сообщении #162185 писал(а):

«при показателе степени равном 3».

Я просто бы не менял ни на что, а стёр. И так видно, что X и Y в уравнении (1b) возводятся в степень три. Но как хотите.

[TOTAL]

yk2ru писал(а):

Семен в сообщении #162185 писал(а):

«при показателе степени равном 3».

Я просто бы не менял ни на что, а стёр.

Стирать нельзя. Не исключено, что это уравнение имеет решение при других показателях.