Еще раз об аксиоме выбора

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1616762 писал(а):

Я приводил ее в качестве аналогии для формальных арифметик.

Боюсь спрашивать что Вы называете формальными арифметиками (глядя на то, как Вы, для личного пользования, кастрировали теорию групп).

EminentVictorians в сообщении #1616762 писал(а):

начать привносить в тему какое-то содержание

В какую тему? Ту, которая называется "что-то там про аксиому выбора" или в тему "представления EminentVictorians о прекрасном"? (Называть вторую тему как-то иначе не могу, поскольку ни одной Вашей "формулировки" не понимаю, а все уточняющие вопросы и замечания (не только от меня) Вы игнорируете).

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616680 писал(а):

epros в сообщении #1616670 писал(а):

Где Вы здесь увидели какие-то слова про сигнатуру?

Любая формальная теория записывается в некотором формальном языке с некоторой сигнатурой. Вы прямо про сигнатуру не написали, откуда я сделал вывод, что она стандартная.

Вместо уже описанной сигнатуры, можно было взять похожую с унарным функциональным символом взятия обратного элемента. Но это различие гомеопатическое (и аксиомы будут совсем чуть-чуть по-другому записаны). Теорему Бернсайда все равно сформулировать не получится.

Я просто все равно не понял. Раз Вы имели в виду не эту сигнатуру, то какую?

Видите ли, я Вам, собственно, ничего не предлагал, а только пытался выяснить, какую ценную мысль Вы пытаетесь до нас донести. Вы что-то сказали про теорию "одной группы" из трёх аксиом, и я попытался выяснить, какие у Вас к ней претензии. По моим понятиям, теория, состоящая из трёх аксиом, определяющих понятие группы, это нормальная теория, которая на самом деле подходит для любой группы. Вы сказали, что в ней что-то там "нельзя выразить", и я попытался выяснить что Вы имели в виду под "выразить в теории", ибо по моим понятиям это словосочетание бессмысленно. После пары страниц разъяснений мы, наконец, пришли к тому, что говорить нужно о выразимости в языке. Т.е. Вы задним числом поясняете, что имели в виду не ограничения трёх аксиом, а ограничения языка. Теперь я пытаюсь понять, откуда Вы взяли, что наш язык должен быть чем-то ограничен.

На Ваш последний процитированный вопрос я могу ответить так: Я имею в виду любую сигнатуру, в которой можно выразить указанные три аксиомы. При этом я вовсе не имею в виду, что она должна быть минимальной. Мало того, я не имею в виду и того, что мы обязаны ограничиваться логикой первого порядка. А в логике второго порядка, например, можно даже без введения символов операций (группового умножения в том числе) выразить практически что угодно.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1616796 писал(а):

Теперь я пытаюсь понять, откуда Вы взяли, что наш язык должен быть чем-то ограничен.

Так не бывает формальной теории вне языка. Любая формальная теория "погружена" (т.е. записывается) в некотором заранее фиксированном формальном языке с некоторой заранее фиксированной сигнатурой.

epros в сообщении #1616796 писал(а):

Я имею в виду любую сигнатуру, в которой можно выразить указанные три аксиомы. При этом я вовсе не имею в виду, что она должна быть минимальной. Мало того, я не имею в виду и того, что мы обязаны ограничиваться логикой первого порядка.

Это значит, что Вы имели в виду не теорию, а класс теорий.

epros в сообщении #1616796 писал(а):

По моим понятиям, теория, состоящая из трёх аксиом, определяющих понятие группы, это нормальная теория, которая на самом деле подходит для любой группы.

Вот даже здесь Вы пишете о теории в единственном числе, хотя имеете в виду целый класс их.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616834 писал(а):

Это значит, что Вы имели в виду не теорию, а класс теорий.

Ну и кто тут у нас формалист? Прикиньте, когда я говорю "натуральное число", то тоже имею в виду класс.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1616837 писал(а):

Прикиньте, когда я говорю "натуральное число", то тоже имею в виду класс.

А ZFC входит в этот класс?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616870 писал(а):

epros в сообщении #1616837 писал(а):

Прикиньте, когда я говорю "натуральное число", то тоже имею в виду класс.

А ZFC входит в этот класс?

Натуральных чисел? С чего бы это?

[EminentVictorians]

epros, я писал:

EminentVictorians в сообщении #1616834 писал(а):

Это значит, что Вы имели в виду не теорию, а класс теорий.

Слово "класс" относится к слову "теорий".

Вы это подтвердили. И даже сказали, что и натуральные числа для Вас - это тоже класс теорий.

Вот я и спрашиваю: ZFC есть в этом классе теорий?

[epros]

Нет, я сказал, что натуральные числа для меня тоже класс. Когда я говорю "натуральное число", то имею в виду представителя класса натуральных чисел и не обязан Вам уточнять, 5 это или 7.

[EminentVictorians]

epros, давайте еще раз разберемся с "аксиоматической теорий групп".

Я Вам объяснил свое понимание:

EminentVictorians в сообщении #1616834 писал(а):

Так не бывает формальной теории вне языка. Любая формальная теория "погружена" (т.е. записывается) в некотором заранее фиксированном формальном языке с некоторой заранее фиксированной сигнатурой.

Вы не хотите фиксировать конкретный язык и конкретную сигнатуру (даже конкретный порядок логики фиксировать не хотите). Хорошо, я не против. Но в таком случае, Вы рассматриваете не одну теорию, а класс теорий.

Далее я понял так, что натуральные числа для Вас - это тоже класс теорий. Я тут тоже готов принять Ваши правила игры. Я подозреваю, что в этот класс теорий входят всякие арифметики Пеано, Робинсона, Пресбургера, $PA_2$, какие-нибудь более слабые фрагменты $PA_2$ и всякие такие теории.

При чем здесь вообще "класс натуральных чисел"? Речь идет о классе теорий.

Поэтому спрошу еще раз: ZFC входит в этот класс теорий или нет?

[epros]

EminentVictorians, может хватит уже фигню нести? Особенно после того, как пояснили? Речь шла о классах объектов там, где Вы хотели говорить "об одном конкретном" объекте (теории). Я Вам пояснил, что мы обычно всегда и говорим о классах, а не об отдельном конкретном объекте (на примере натуральных чисел).

Если мы будем обсуждать повадки и физиологию слонов, Вы что же, заставите меня притащить конкретного слона?

-- Чт ноя 09, 2023 09:19:11 --

EminentVictorians в сообщении #1616902 писал(а):

Поэтому спрошу еще раз: ZFC входит в этот класс теорий или нет?

Насколько я помню, мы говорили о теории, содержащей три аксиомы, определяющие группу (и больше ничего). Или Вы о чём-то другом? Это ведь Вы завели разговор, а не я.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1616967 писал(а):

Речь шла о классах объектов там, где Вы хотели говорить "об одном конкретном" объекте (теории).

Да. Я говорил об одной конкретной теории, а Вы говорили про целый класс похожих теорий.

epros в сообщении #1616967 писал(а):

Насколько я помню, мы говорили о теории, содержащей три аксиомы, определяющие группу (и больше ничего).

Да. Но Вы скорее говорили про все такие теории сразу. Или, по-другому, про произвольную теорию такого рода.

Сейчас все правильно написал?

Просто дальше я эту логику решил перенести на структуру натуральных чисел. Если последовательно придерживаться такой логики, то Вы и про структуру натуральных чисел должны говорить не как про одну теорию, а как про совокупность теорий. Например, вот таких:

EminentVictorians в сообщении #1616902 писал(а):

Я подозреваю, что в этот класс теорий входят всякие арифметики Пеано, Робинсона, Пресбургера, $PA_2$, какие-нибудь более слабые фрагменты $PA_2$ и всякие такие теории.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616991 писал(а):

Я говорил об одной конкретной теории, а Вы говорили про целый класс похожих теорий.

И хочу добавить к этому, что разговоры о "совершенно конкретных" вещах уместны разве что в тех случаях, когда мы можем пальцем указать на реальный объект. Да и то могут возникнуть вопросы к тому, где подразумеваются его границы. В математике же, которая в принципе занимается абстракциями, разговор об "одном конкретном" объекте предметен, пожалуй, только если подразумевается возможность доказательства единственности в том или ином контексте.

Когда же речь о теории, то чем обеспечивается её "единственность"? Можно сказать (как Вы), что однозначностью определения языка и аксиоматики. Но при желании можно даже до используемого шрифта докопаться, ибо от него зависит правильность распознавания символов, а значит и утверждений.

Мои требования к формализации не столь суровые. Раз мы не уточняли грамматику языка, значит по моим понятиям подойдёт любой язык, в котором выразимы упомянутые аксиомы. С Вашей точки зрения это "класс" теорий? Да на здоровье.

EminentVictorians в сообщении #1616991 писал(а):

epros в сообщении #1616967 писал(а):

Насколько я помню, мы говорили о теории, содержащей три аксиомы, определяющие группу (и больше ничего).

Да. Но Вы скорее говорили про все такие теории сразу. Или, по-другому, про произвольную теорию такого рода.

Сейчас все правильно написал?

Ну так Вы тоже язык не уточняли. Вы что-то говорили о невозможности что-то выразить в теории из трёх аксиом. И это звучало странно, поскольку аксиомы никак не могут помешать или помочь что-то выразить. Могут помешать ограничения языка, но о них речи не было.

В итоге, в чём заключалась Ваша мысль? Что человек, который будет писать учебник по теории групп, после того, как в начале первой главы определит понятие группы, приведя указанные три аксиомы, не сможет ничего сказать про конечные группы, поскольку столкнётся с ограничениями языка, не позволяющими ему выразить понятие "конечности"? Глупость какая-то.

EminentVictorians в сообщении #1616991 писал(а):

Просто дальше я эту логику решил перенести на структуру натуральных чисел. Если последовательно придерживаться такой логики, то Вы и про структуру натуральных чисел должны говорить не как про одну теорию, а как про совокупность теорий. Например, вот таких:

EminentVictorians в сообщении #1616902 писал(а):

Я подозреваю, что в этот класс теорий входят всякие арифметики Пеано, Робинсона, Пресбургера, $PA_2$, какие-нибудь более слабые фрагменты $PA_2$ и всякие такие теории.

А в чём проблема? Есть элементарная арифметика натуральных чисел, которая определяет только нуль и инъективную унарную функцию инкремента. Есть арифметика Пресбургера, определяющая ещё и сложение. Есть арифметика Робинсона, определяющая ещё и умножение, но без индукции. Есть примитивно рекурсивная арифметика, которая позволяет индукцию только по примитивно рекурсивным формулам. Есть арифметика Пеано первого порядка, есть второго порядка (обозначается $Z_2$). В некотором смысле это всё разные определения натуральных чисел.

Исторически понятие натурального числа тоже не возникло сразу в готовом виде, а постоянно развивалось.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1617006 писал(а):

Есть элементарная арифметика натуральных чисел, которая определяет только нуль и инъективную унарную функцию инкремента. Есть арифметика Пресбургера, определяющая ещё и сложение. Есть арифметика Робинсона, определяющая ещё и умножение, но без индукции. Есть примитивно рекурсивная арифметика, которая позволяет индукцию только по примитивно рекурсивным формулам. Есть арифметика Пеано первого порядка, есть второго порядка (обозначается $Z_2$). В некотором смысле это всё разные определения натуральных чисел.

Вот. А я считаю, что это все разные модели натуральны чисел. (Слово "модель" понимается в общенаучном смысле, а не в смысле матлогики). Возьмем арифметику Пресбургера. На натуральных числах есть умножение, это бесспорно. Но в арифметике Пресбургера умножения нету. Почему? Да все просто. Мы сами захотели ограничить себя и посмотреть, что будет, если построить такую модель натуральных чисел. Т.е. арифметика Пресбургера, как и любая модель, ухватывает одни аспекты моделируемого объекта (в роли которого выступают натуральные числа) и не ухватывает другие аспекты. Нормальное поведение модели. А вот сводить натуральные числа к арифметике Пресбургера - вот это на мой взгляд в корне неправильно. Аналогичные аргументы относятся и ко всем остальным перечисленным формальным теориям.

Вы можете спросить: "Так где же тогда "настоящие" натуральные числа, если все это - модели?". Здесь у меня нету хорошего ответа. С одной стороны, мне кажется, что настоящие натуральные числа - это то конкретное множество из моего универсума, о котором речь шла ранее. С другой стороны, мой универсум - это по сути неформальная ZFC. А для ZFC существуют диофантовы уравнения, вопрос разрешимости которых не зависит от нее самой. И это печально.

Но я списываю это на то, что ZFC является теорией первого порядка, а сама формализованная логика первого порядка тоже является лишь моделью нормальной человеческой логики, используемой в математике. И у меня есть ощущение, что она - плохая модель. Мне кажется, что в обычной математической деятельности мы используем рассуждения, которые либо не формализуются в теориях множеств первого порядка в принципе, либо формализуются, но не "непосредственно". Привести пример не могу, сам ищу.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

Вот. А я считаю, что это все разные модели натуральны чисел. (Слово "модель" понимается в общенаучном смысле, а не в смысле матлогики).

Слово "модель" в этом смысле плохо тем, что обычно этот смысл подразумевает наличие в реальности моделируемого объекта. А математические объекты - воображаемые, мы их придумываем с такими свойствами, которые нам интересны. Они сами обычно предназначены для того, чтобы быть моделями чего-то реального.

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

Возьмем арифметику Пресбургера. На натуральных числах есть умножение, это бесспорно. Но в арифметике Пресбургера умножения нету. Почему? Да все просто. Мы сами захотели ограничить себя и посмотреть, что будет, если построить такую модель натуральных чисел.

Умножение, очевидно, исторически определялось через сложение натуральных чисел. Поэтому не удивителен интерес к тому, что было бы, если бы мы так и остались с одним сложением.

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

Т.е. арифметика Пресбургера, как и любая модель, ухватывает одни аспекты моделируемого объекта (в роли которого выступают натуральные числа) и не ухватывает другие аспекты. Нормальное поведение модели.

Ну, я про это уже сказал: Что за "моделируемый объект"? Определим натуральные числа арифметикой Пресбургера - она и будет определением объекта. И это очень интересный объект в том смысле, что достаточно слабый язык его определения позволяет реально получить ответ "да" или "нет" на любой вопрос, заданный на этом языке. В отличие от более сильных арифметик.

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

А вот сводить натуральные числа к арифметике Пресбургера - вот это на мой взгляд в корне неправильно. Аналогичные аргументы относятся и ко всем остальным перечисленным формальным теориям.

Сводить что? Чем по-Вашему определяется "реальное" натуральное число? По-моему, чем на большее нам хватает воображения, тем сложнее получается понятие натурального числа.

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

Вы можете спросить: "Так где же тогда "настоящие" натуральные числа, если все это - модели?". Здесь у меня нету хорошего ответа.

А у меня есть хороший ответ: "Настоящих" нет, есть только придуманные.

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

С одной стороны, мне кажется, что настоящие натуральные числа - это то конкретное множество из моего универсума, о котором речь шла ранее.

Когда кажется, креститься нужно.

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

С другой стороны, мой универсум - это по сути неформальная ZFC. А для ZFC существуют диофантовы уравнения, вопрос разрешимости которых не зависит от нее самой. И это печально.

Чем Вам далась эта ZFC? Это всего лишь одно из многих возможных определений "множества".

EminentVictorians в сообщении #1617113 писал(а):

Но я списываю это на то, что ZFC является теорией первого порядка, а сама формализованная логика первого порядка тоже является лишь моделью нормальной человеческой логики, используемой в математике. И у меня есть ощущение, что она - плохая модель. Мне кажется, что в обычной математической деятельности мы используем рассуждения, которые либо не формализуются в теориях множеств первого порядка в принципе, либо формализуются, но не "непосредственно". Привести пример не могу, сам ищу.

Конечно же известны утверждения, не формализуемые иначе, чем в логике второго порядка. Но это не значит, что она - решение всех проблем. На самом деле, чем сложнее логика, тем проблем, вопросов и сомнений становится больше.

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1617205 писал(а):

Конечно же известны утверждения, не формализуемые иначе, чем в логике второго порядка.

Приведите пример такого содержательного утверждения. Мне почему-то казалось, что ZFC и логики первого порядка достаточно для любых нужд математики.