Еще раз об аксиоме выбора

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1616458 писал(а):

Я вот смотрю на имеющиеся аксиомы ZFC и не вижу ничего ни про "натуральные числа", ни про "биекцию", ни про "конечность".

А я смотрю на аксиомы ZFC и вижу, что они позволяют доказать существование множества $\mathbb N_0$ натуральных чисел с известными свойствами. Так же они позволяют определить понятие биекции между двумя множествами (как функции между двумя этими множествами с известными свойствами), а значит и определить понятие конечности множества (множество называется конечным, если существует биекция из него в какое-нибудь натуральное число).

epros в сообщении #1616458 писал(а):

Лично я не могу понять, каким образом имеющиеся аксиомы ZFC (или их отсутствие) могут помешать давать какие-то новые определения.

Давать новые определения где? В какой теории? Прежде чем давать определения, обозначьте теорию, в которой Вы эти определения собираетесь давать.

epros в сообщении #1616458 писал(а):

Ранее Вы утверждали, что добавлять новые аксиомы нельзя, потому что это будет новая теория.

Я и сейчас так считаю.

epros в сообщении #1616458 писал(а):

Что тут может быть непонятного? В качестве примера можно взять всё то же определение "конечности" через "натуральные числа" и "биекции". Нам не нужно добавлять в теорию те аксиомы, которые определяют эти понятия, потому что можно записать длинную формулу, которая будет читаться как: "Существует биекция данного множества на некое натуральное число", которую всегда можно поставить в антецедент импликации, консеквент который будет выражать теорему теории конечных множеств.

О какой теории речь? О той, в которой 3 аксиомы группы? Если да, то как Вы в ней хотите говорить про биекции и натуральные числа? Можете сколько угодно длинную строчку писать, я не против. Но объясните, как Вы хотите выразить в этой теории хотя бы понятие натуральных чисел.

epros в сообщении #1616458 писал(а):

Записать строчку - это значит записать строчку. Слово "определить", очевидно, должно означать что-то другое.

Я говорил про термы. Любой терм любой формальной теории - это строчка.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1616483 писал(а):

О той, в которой 3 аксиомы группы?

Я ещё раз прошу явно выписать "три аксиомы группы".

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616483 писал(а):

А я смотрю на аксиомы ZFC и вижу, что они позволяют доказать существование множества $\mathbb N_0$ натуральных чисел с известными свойствами. Так же они позволяют определить понятие биекции между двумя множествами (как функции между двумя этими множествами с известными свойствами), а значит и определить понятие конечности множества (множество называется конечным, если существует биекция из него в какое-нибудь натуральное число).

И что? ZFC позволяет доказать, что минимальное индуктивное множество существует, но она не утверждает, что его элементы - "натуральные числа". А чтобы это утверждение сформулировать: "Натуральное число - это элемент минимального индуктивного множества", - аксиомы ZFC не нужны. Вы можете добавить в язык новый символ - $\mathbb N$ - и определить его значение, записав указанное выше утверждение как новую аксиому теории. Но можете этого и не делать, а просто начинать каждое утверждение о натуральных числах с: "Если $x$ является элементом минимального индуктивного множества, то ...".

Про "биекцию" - то же самое. И про "конечность" в итоге будет то же самое. Аксиоматика ZFC никак не поможет и не помешает определить конечность. Важны только выразительные возможности языка.

EminentVictorians в сообщении #1616483 писал(а):

Давать новые определения где? В какой теории? Прежде чем давать определения, обозначьте теорию, в которой Вы эти определения собираетесь давать.

Всё совершенно не так. Определения не даются в какой-то готовой теории. Определения и составляют теорию, уже после того, как они даны.

EminentVictorians в сообщении #1616483 писал(а):

О какой теории речь? О той, в которой 3 аксиомы группы? Если да, то как Вы в ней хотите говорить про биекции и натуральные числа? Можете сколько угодно длинную строчку писать, я не против. Но объясните, как Вы хотите выразить в этой теории хотя бы понятие натуральных чисел.

Вы меня не слышите. Я говорю Вам, что бессмысленно говорить о "выразимости в теории", имея в виду готовую аксиоматику. Говорить можно только о "выразимости в языке".

EminentVictorians в сообщении #1616483 писал(а):

Я говорил про термы. Любой терм любой формальной теории - это строчка.

Вы зачем-то захотели сказать, что значит "определить терм". Причем в Ваших понятиях это почему-то означает всего лишь "записать" его, что какая-то бессмыслица. По моим понятиям, является ли заданная строчка "термом", определяется грамматикой языка.

[EminentVictorians]

epros
Есть формальная теория. В ней есть термы и формулы. Это просто строчки символов из алфавита этой формальной теории. Среди формул есть те, которые не имеют свободных вхождений переменных. Мы их называем замкнутыми формулами и интерпретируем как некоторые утверждения теории. Используя язык ZFC я могу написать замкнутую формулу, которая будет интерпретироваться как теорема Бернсайда. Используя аксиомы ZFC я могу ее доказать.

Если же взять теорию, в которой есть только 3 аксиомы группы, то я не смогу записать в ее языке формулу, которая будет интерпретироваться как теорема Бернсайда. Тем более, я не смогу ее доказать в этой теории.

Отсюда я делаю вывод, что теория с тремя аксиомами группы не покрывает наше представление о том, что такое группы и какие есть теоремы о них. Просто потому что язык этой теории чрезвычайно бедный. Теорема Бернсайда - это явно теорема из теории групп. А в этой теории из трех аксиом (или в языке этой теории, если Вам так больше нравится), мы ее не можем даже записать.

Абсолютно аналогичная ситуация с натуральными числами. Мой тезис был в том, что любая формальная арифметика точно так же не покрывает наше представление о натуральных числах и их свойствах, как формальная теория (одной) группы (та самая, в которой 3 аксиомы) не покрывает наше представление о теории групп.

Где я неправ-то?

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1616534 писал(а):

Где я неправ-то?

Где аксиомы?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616534 писал(а):

Просто потому что язык этой теории чрезвычайно бедный.

Ну наконец-то Вы сообразили, что дело не в аксиоматике, а в языке. Теперь вопрос в том, почему Вы решили, что язык теории, определяющий понятие группы, "чрезвычайно бедный"? Разве мы уже обсуждали определение формального языка? Насколько я помню, мы говорили только о трёх аксиомах, определяющих группу как таковую.

EminentVictorians в сообщении #1616534 писал(а):

Мой тезис был в том, что любая формальная арифметика точно так же не покрывает наше представление о натуральных числах и их свойствах

Вообще-то язык арифметики Пеано (т.е. с нулём, инкрементом, сложением и умножением) уже достаточно богатый. Как минимум, он полный по Тьюрингу. Вот без умножения действительно получится язык, на котором многие вещи невозможно выразить.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1616564 писал(а):

Ну наконец-то Вы сообразили, что дело не в аксиоматике, а в языке.

Да я все понимаю. Просто я привык мыслить теориями, а не языками. Я понимаю так:

1)Язык = Сигнатура (ну, точнее, так-то в язык входит и алфавит вместе с логическими символами, и правила образования термов и формул, и сама сигнатура, но в пределах этой темы это неважно; Вы под языком, как я понял, имели в виду просто сигнатуру)
2)В одной и той же сигнатуре (т.е. в одном и том же языке) можно сформулировать много разных теорий.
3)В пределах одного языка, разные системы аксиом порождают разные теории. В пределах разных языков - тем более.

Я не концентрировался на языке потому что мы обсуждали конкретную теорию. Если бы обсуждалось несколько теорий в одной сигнатуре, тогда да - я бы говорил про язык больше.

epros в сообщении #1616564 писал(а):

Разве мы уже обсуждали определение формального языка? Насколько я помню, мы говорили только о трёх аксиомах, определяющих группу как таковую.

Мы обсуждали формальную теорию (из трех аксиом). Любая формальная теория задается в некотором формальном языке. Поэтому обсуждать аксиомы сами по себе не имеет никакого смысла. Чтобы вообще начать обсуждать аксиомы, формальный язык уже должен быть задан (чтобы эти аксиомы элементарно записать). На всякий случай, сигнатура состоит из одного функционального символа $\cdot$ арности 2, одного предикатного символа $=$ арности 2 и константы $e$. Поэтому я все никак не могу понять, как Вы в этой сигнатуре хотите сформулировать теорему Бернсайда. На мой взгляд, это невозможно.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1616622 писал(а):

Поэтому я все никак не могу понять, как Вы в этой сигнатуре хотите сформулировать теорему Бернсайда.

Как Вы в этой сигнатуре хотите сформулировать свои аксиомы?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616622 писал(а):

Поэтому я все никак не могу понять, как Вы в этой сигнатуре хотите сформулировать теорему Бернсайда.

Я нигде не обещал ограничиваться только этой сигнатурой.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1616629 писал(а):

Я нигде не обещал ограничиваться только этой сигнатурой.

2 страницы назад:

epros в сообщении #1615924 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Но я против сведения теории групп к формальной теории (одной) группы. В этой формальной теории, по-моему, Вы даже не сможете элементарно сказать: "Рассмотрим конечную группу $G$". А я считаю, что такое предложение является вполне типичным для теории групп. Ограничивать себя тремя аксиомами и логикой первого порядка я не собираюсь.

Я ничего не понял. Аксиоматика групп - это и есть определение аксиоматической теории групп.

Что еще можно понимать под "аксиоматической теорией групп"? Тем более учитывая, что Вы ее сводите ровно к 3-м аксиомам. По-моему, ровно ту сигнатуру, о которой я только что написал. Если Вы имели в виду какой-то другой вариант, то это как минимум надо было проговорить, т.к. это явно какая-то нетипичная теория.

(Оффтоп)

Geen, в чем проблема? Вы всю тему только что-то просите и просите, причем одна просьба абсурднее другой. Либо объясняйте развернуто, что вам не нравится, либо перестаньте уже флудить.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1616633 писал(а):

Geen, в чем проблема? Вы всю тему только что-то просите и просите, причем одна просьба абсурднее другой. Либо объясняйте развернуто, что вам не нравится, либо перестаньте уже флудить.

В чём же абсурдность моей просьбы? Не считая того, что Вы её просто не сможете выполнить в рамках своих же ограничений? И тем самым просто троллите уже пяток страниц.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1616633 писал(а):

Что еще можно понимать под "аксиоматической теорией групп"? Тем более учитывая, что Вы ее сводите ровно к 3-м аксиомам. По-моему, ровно ту сигнатуру, о которой я только что написал.

Где Вы здесь увидели какие-то слова про сигнатуру?

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1616664 писал(а):

Не считая того, что Вы её просто не сможете выполнить в рамках своих же ограничений? И тем самым просто троллите уже пяток страниц.

$\forall x \forall y \forall z (((x \cdot y) \cdot z) = (x \cdot (y \cdot z)))$

$\forall x (((x \cdot e) = x) \wedge ((e \cdot x) = x)) $

$\forall x \exists y (((x \cdot y) = e) \wedge ((y \cdot x) = e))$

epros в сообщении #1616670 писал(а):

Где Вы здесь увидели какие-то слова про сигнатуру?

Любая формальная теория записывается в некотором формальном языке с некоторой сигнатурой. Вы прямо про сигнатуру не написали, откуда я сделал вывод, что она стандартная.

Вместо уже описанной сигнатуры, можно было взять похожую с унарным функциональным символом взятия обратного элемента. Но это различие гомеопатическое (и аксиомы будут совсем чуть-чуть по-другому записаны). Теорему Бернсайда все равно сформулировать не получится.

Я просто все равно не понял. Раз Вы имели в виду не эту сигнатуру, то какую?

[Geen]

EminentVictorians
Спасибо, что наконец написали "аксиомы", но два вопроса: каковы правила вывода, и какое отношение это имеет к теории групп?
(И при этом Вы ещё Коши и Эйлера обвиняли в недоопределениях?)

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1616742 писал(а):

каковы правила вывода

Это обычная теория первого порядка в исчислении предикатов гильбертовского типа. Правил вывода 2: modus ponens и правило обобщения.

Geen в сообщении #1616742 писал(а):

какое отношение это имеет к теории групп?

То, что данная формальная теория (которую можно называть элементарной теорией (одной) группы) не покрывает многие типичные теоретико групповые конструкции и теоремы. Я приводил ее в качестве аналогии для формальных арифметик. В том смысле, что формальные арифметики точно так же не покрывают наше представление о натуральных числах, как данная элементарная теория группы не покрывает наше представление о теории групп.

Geen в сообщении #1616742 писал(а):

(И при этом Вы ещё Коши и Эйлера обвиняли в недоопределениях?)

EminentVictorians в сообщении #1616152 писал(а):

А я разве оспариваю приоритет или авторитет Эйлера? Я всего лишь отметил, что во времена Эйлера математики рассуждали о неопределенных (или наверное правильнее сказать - плохоопределенных) понятиях. Разумеется, это логическая дыра.
А то так говорите, будто я решил перечеркнуть всю математику 18-ого века.

Geen, у меня есть предложение. Не хотите вместо заваливания беспредметными вопросами и странными претензиями начать привносить в тему какое-то содержание?