Теор. вероятностей: противоречие

[epros]

KhAl в сообщении #1609458 писал(а):

Но мне кажется, вопрос о том, как выбирать априорные вероятности, не всегда прост и автоматически (неявно — ещё хуже) полагать их $1/2$ — плохая привычка.

Как я понимаю, вся эта перепалка на 10 страниц возникла именно из-за этого: Хорошо или плохо при отсутствии явно определённых априорных вероятностей полагать их равными. По-моему, это не очень хорошо, но иногда другого выбора просто нет. И известный ответ девушки про динозавров на улице: "Либо встречу, либо нет", - на самом деле не такая уж бессмыслица, если исходить из того, что девушка про динозавров впервые слышит.

Интересно, что этот вопрос можно если не решить, то поднять на некий метауровень: Можно саму вероятность события рассмотреть как оцениваемый параметр $p$ и попробовать оценить его по формуле Байеса. Например, какова вероятность встретить на улице динозавра? А мы выйдем на улицу $n$ раз (для чистоты эксперимента - в разное время и в разных местах) и оценим. Конечно, нам опять же потребуется априорное распределение параметра $p$ и нам не останется ничего лучшего, как по умолчанию считать его равномерным на отрезке $[0,1]$. Но если из этих предположений посчитать апостериорное мат. ожидание случайного параметра $p$, то получится $\frac{m+1}{n+2}$, где $m$ - количество раз, которое мы встретили динозавра. Не удивительно, что при нулевом количестве испытаний мы получим оценку $p$, равную $\frac{1}{2}$, потому что мат. ожидание случайной величины, равномерно распределённой на отрезке $[0,1]$, именно этому и равно.

[realeugene]

epros в сообщении #1609518 писал(а):

И известный ответ девушки про динозавров на улице: "Либо встречу, либо нет", - на самом деле не такая уж бессмыслица, если исходить из того, что девушка про динозавров впервые слышит.

Я не писал, что анекдот был про девушку. ;)

Этот анекдот я услышал давным-давно от своих сокурсников, когда был студентом-физиком. И смешным в нём был, разумеется, не ответ блондинки "либо встречу, либо нет", а использование его как обоснование оценки вероятности встретить динозавра на улице в 50%.

Другой анекдот, который я услышал примерно в то же время, был про отличие физика от математика. Чем отличается физик от математика? Тем, что когда математика просят провести прямую через две точки - он её проводит, а когда просят провести через три - отказывается. А физик, если его просят провести прямую через три точки, её проводит, а через две провести отказывается.

Теорвер, действительно, крайне успешная математическая теория, позволяющая в физических моделях выжимать из сырых наблюдений с кучей погрешностей качественное знание. Но не надо забывать про принцип SISO - Shit In, Shit Out. В тех случаях, в которых теорвер явно не применим к ситуации в качестве инструмента моделирования, стоит включать в себе физика и отказываться его применять для некорректно сформулированной задачи.

-- 16.09.2023, 12:14 --

TOTAL в сообщении #1609513 писал(а):

Некоторые (я в том числе) готовы по имеющимся данным (по показаниям свидетелей только) оценить вероятность дождя, подсчитав вероятность того, что свидетели сказали правду.

Нет, именно вероятность дождя вы не посчитали. А что именно вы посчитали понять не представляется возможным, так как свою вероятностную модель с расчётами вы так и не опубликовали.

-- 16.09.2023, 12:17 --

Yadryara в сообщении #1609512 писал(а):

Про априорную вероятность дождя что-нибудь сказано в условии? Ничегошеньки.

Сказано. В первом варианте решения с Байесом. Потом, во втором решении, её просто отбросили, мол, и так можно. Нет, нельзя.

-- 16.09.2023, 12:34 --

мат-ламер в сообщении #1609470 писал(а):

Причём тут априорная вероятность того, что в произвольно выбранный день идёт дождь - я вообще не понял.

Если вы оцениваете вероятность дождя, важно не только то, что про этот дождь говорит кто-то, и даже не только ваше доверие словам этого человека, но и ваши априорные знания про дожди и согласованность нового сообщения с вашей собственной картиной мироустройства.

[Doctor Boom]

epros в сообщении #1609518 писал(а):

Хорошо или плохо при отсутствии явно определённых априорных вероятностей полагать их равными. По-моему, это не очень хорошо, но иногда другого выбора просто нет. И известный ответ девушки про динозавров на улице: "Либо встречу, либо нет", - на самом деле не такая уж бессмыслица, если исходить из того, что девушка про динозавров впервые слышит.

Наоборот, ее надо полагать как можно ближе к нулю, т.к. встретить динозавра можно одним способрм, а не встретить миллионом. Приведу пример - пусть вас отправили в параллельную вселенную и сказали, что если вы пойдете на глоркс и встретите там сепулек, то умрете, а если не встретите, то дадут миллион. Пошли бы вы на глоркс? Вы бы нет, я бы да, и не один раз в других вселенных и т.д. Я бы выигрывал, а вы бы нет, поэтому ваша оценка неверна

epros в сообщении #1609518 писал(а):

Конечно, нам опять же потребуется априорное распределение параметра $p$ и нам не останется ничего лучшего, как по умолчанию считать его равномерным на отрезке $[0,1]$.

С чего бы? Мы вообще его может выбрать любым (главное не брать крайние точки 1 и 0), все равно при итеративных уточнениях он будет стоемиться к истинному, вот в чем суть.

epros в сообщении #1609518 писал(а):

Но если из этих предположений посчитать апостериорное мат. ожидание случайного параметра $p$, то получится $\frac{m+1}{n+2}$, где $m$ - количество раз, которое мы встретили динозавра. Не удивительно, что при нулевом количестве испытаний мы получим оценку $p$, равную $\frac{1}{2}$, потому что мат. ожидание случайной величины, равномерно распределённой на отрезке $[0,1]$, именно этому и равно

Это ахинея. Где в вашей формуле параметр априорной вероятности $p_0$? Вы уже его априорно взяли 1/2 и получили свою формулу, из которой ВНЕЗАПНО следует, что он равен 1/2. Замкнутый круг

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1609549 писал(а):

Приведу пример - пусть вас отправили в параллельную вселенную и сказали, что если вы пойдете на глоркс и встретите там сепулек, то умрете, а если не встретите, то дадут миллион. Пошли бы вы на глоркс? Вы бы нет, я бы да, и не один раз в других вселенных и т.д. Я бы выигрывал, а вы бы нет, поэтому ваша оценка неверна

Кто вам мешает пойти и ограбить банк?

[TOTAL]

realeugene в сообщении #1609539 писал(а):

Yadryara в сообщении #1609512 писал(а):

Про априорную вероятность дождя что-нибудь сказано в условии? Ничегошеньки.

Сказано. В первом варианте решения с Байесом. Потом, во втором решении, её просто отбросили, мол, и так можно. Нет, нельзя.

Вот условие задачи. Где в нём сказано про априорную информацию?

Цитата:

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что сейчас в Тбилиси идёт дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что сейчас в Тбилиси действительно идёт дождь?

[realeugene]

TOTAL
Тут

melnikoff в сообщении #1609199 писал(а):

По теореме Байеса:
$P\{A | B\} = \frac{P\{B | A\} P\{A\}}{P\{B\}} = \frac{P\{B | A\} P\{A\}}{P\{B | A\}P\{A\} + P\{B | \overline{A}\}(1 - P\{A\})} = \frac{8P\{A\}}{7P\{A\} + 1}$

А вообще, вы должны были бы и сами догадаться, что вам чего-то не хватает, когда строили своё вероятностное пространство.

[TOTAL]

realeugene в сообщении #1609552 писал(а):

Тут

Где в условии? А не в тут.

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1609553 писал(а):

Где в условии? А не в тут.

Строго говоря, в самом условии она следует из фразы "вероятность дождя". Если эта задача сформулирована как вопрос про оценку апостериорной вероятности некоторого события после получения сообщения, то существование и необходимость для решения априорной вероятности этого события подразумевается. Это следует из теории передачи информации.

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1609550 писал(а):

Кто вам мешает пойти и ограбить банк?

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1609558 писал(а):

Мультивселенные экспериментально не отличимы от удачи.

[TOTAL]

realeugene в сообщении #1609555 писал(а):

Строго говоря, в самом условии она следует из фразы "вероятность дождя". Если эта задача сформулирована как вопрос про оценку апостериорной вероятности некоторого события после получения сообщения, то существование и необходимость для решения априорной вероятности этого события подразумевается. Это следует из теории передачи информации.

Поскольку в условии про априорную вероятность дождя вообще не говорится, то некоторые подразумевают одно. А другие подразумевают в своём ответе вероятность того, что три свидетеля действительно видят дождь.

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1609560 писал(а):

А другие подразумевают в своём ответе вероятность того, что три свидетеля действительно видят дождь.

И дают грубо ошибочный ответ. Потому что в общем случае $P(A|B) \ne P(B|A)$. А вы эти условные вероятности просто приравняли, как я понимаю.

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1609559 писал(а):

Мультивселенные экспериментально не отличимы от удачи.

Вы имеете ввиду ограбить банк в мульвселенной? Ну раз там будет нечто, похожее на банк, то оно будет и охраняться

[realeugene]

(Doctor Boom)

Doctor Boom в сообщении #1609564 писал(а):

Вы имеете ввиду ограбить банк в мульвселенной? Ну раз там будет нечто, похожее на банк, то оно будет и охраняться

Ну вот с какой-то вероятностью вам улыбнётся удача. А в остальных случаях вы себе пустите пулю в лоб. Но вы точно так же можете поступить и в единственной Вселенной, и тогда потом будете знать, что вы успешно ограбили банк. Может быть, даже, уверуете в свою богоизбранность.

[Yadryara]

realeugene в сообщении #1609539 писал(а):

Yadryara в сообщении #1609512 писал(а):

Про априорную вероятность дождя что-нибудь сказано в условии? Ничегошеньки.

Сказано. В первом варианте решения с Байесом.

Где именно в условии сказано? TOTAL вам уже процитировал условие.

realeugene в сообщении #1609555 писал(а):

Если эта задача сформулирована как вопрос про оценку апостериорной вероятности некоторого события после получения сообщения, то существование и необходимость для решения априорной вероятности этого события подразумевается. Это следует из теории передачи информации.

Я спрашивал где в условии сказано, а не о том, что подразумевается и не о том, что из чего следует.