Диагональный аргумент Кантора

[thepooh]

Mikhail_K в сообщении #1607015 писал(а):

thepooh
Меня интересует один вопрос. Вот в Вашем представлении, видимо, кроме конечных натуральных чисел есть ещё и бесконечные. Предположим, пусть так. А вот если тогда мы возьмём только конечные натуральные числа - сколько их, по-Вашему? Миллион? Триллион? Или всё-таки бесконечно много?

Выше встречалась фраза "все конечные натуральные числа". Эта фраза не имеет смысла по следующей причине. Мы можем взять конечное количество конечных натуральных чисел. Но как только мы попытаемся взять их "все", они начнут бесконечно возрастать и в пределе станут бесконечными. То есть сам оператор "все" вынуждает натуральные числа стать бесконечными. Это как парадокс брадобрея.

-- 29.08.2023, 13:21 --

Dedekind в сообщении #1607016 писал(а):

Неверно. И бесконечность множества натуральных чисел, и "конечность" каждого отдельного натурального числа - следует из их определения. А аксиомой в ZFC является то, что такое бесконечное множество вообще существует, следовательно, это определение - непротиворечиво.

Значит можно доказать, что эти определения непротиворечивы. А мне сказали что этого доказать нельзя.

[mihaild]

thepooh в сообщении #1607014 писал(а):

Как я понял аксиомой является то, что множество натуральных чисел бесконечно, хотя все натуральные числа конечны

thepooh в сообщении #1607014 писал(а):

Иначе говоря существование счётных множеств является аксиомой (как я понял из сказанного выше)

Это два разных утверждения, оба из которых неверны. Откройте учебник и прочитайте правильные аксиомы.
По каким источникам Вы изучали теорию множеств?

[thepooh]

Dedekind в сообщении #1606991 писал(а):

thepooh
Вы там обещали на вопрос ответить:
Вам ответ дали:

Mikhail_K в сообщении #1606985 писал(а):

Ни при каком $N$ не станет.

В этом ответе видимо утверждается, что натуральный ряд конечен. Наверное и в такой аксиоматике можно что-то построить

[TOTAL]

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

То есть сам оператор "все" вынуждает натуральные числа стать бесконечными.

В комнате сидели два конечных (обычных) натуральных числа. По сигналу тревоги все натуральные числа выбежали из комнаты. Точнее, хотели выбежать, но у них не получилось, т.к. оператор "все" сделал их бесконечно большими и неповоротливыми.

[thepooh]

mihaild в сообщении #1607020 писал(а):

Это два разных утверждения, оба из которых неверны. Откройте учебник и прочитайте правильные аксиомы.
По каким источникам Вы изучали теорию множеств?

Тогда эти утверждения можно доказать с помощью правильных аксиом?

[mihaild]

thepooh в сообщении #1607025 писал(а):

Тогда эти утверждения можно доказать с помощью правильных аксиом?

Да. И если бы Вы читали учебник, то об этом знали.
Повторяю вопрос: по каким источникам Вы изучали теорию множеств?

[thepooh]

mihaild в сообщении #1607026 писал(а):

Да. И если бы Вы читали учебник, то об этом знали.
Повторяю вопрос: по каким источникам Вы изучали теорию множеств?

Ни по каким. Я просто на обывательском уровне не понял диагональный аргумент Кантора. Из обсуждения выяснилось, что непонимание кроется в том, что на обывательском уровне неясно как натуральные числа могут быть конечными, несмотря на то, что их множество бесконечно. Есть какое-то простое наглядное объяснение? Если нет, и надо углубляться в тонкости, тогда я просто поверю на слово

[mihaild]

thepooh в сообщении #1607027 писал(а):

Есть какое-то простое наглядное объяснение?

Если то, что было ранее сказано в теме, не является "простым наглядным" - то нету.

[zykov]

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

Но как только мы попытаемся взять их "все", они начнут бесконечно возрастать и в пределе станут бесконечными.

Не надо повторять эту чушь по кругу.
Числа не станут "бесконечными".
Ни в пределе (посмотрите хотя бы определение предела в математике), ни как вообще.

[thepooh]

zykov в сообщении #1607032 писал(а):

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

Но как только мы попытаемся взять их "все", они начнут бесконечно возрастать и в пределе станут бесконечными.

Не надо повторять эту чушь по кругу.
Числа не станут "бесконечными".
Ни в пределе (посмотрите хотя бы определение предела в математике), ни как вообще.

Ну значит и множество останется конечным. Получили, что натуральный ряд конечен.

[mihaild]

thepooh в сообщении #1607034 писал(а):

Получили, что натуральный ряд конечен

Нет, не получили.
Я подозреваю, что за время, проведенное Вами в этой теме, Вы вполне могли бы хотя бы прочитать нормальное изложение, и как минимум спрашивать что-то более конкретно, не повторяя одно и то же.
Ответы на нужные Вам вопросы есть, например, в "Теории множеств" Куратовского, Мостовского, издание 1970 года, второй параграф второй главы и первый параграф третьей главы (которая так и называется: "Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества").
В том случае, если этот или подобные тексты Вы читать принципиально не хотите, и уже высказанных объяснений не понимаете, предлагаю выполнить обещание

thepooh в сообщении #1607027 писал(а):

тогда я просто поверю на слово

[zykov]

thepooh в сообщении #1607034 писал(а):

Ну значит и множество останется конечным

Нет, не значит.

[thepooh]

zykov в сообщении #1607036 писал(а):

thepooh в сообщении #1607034 писал(а):

Ну значит и множество останется конечным

Нет, не значит.

Осталось это доказать

[zykov]

thepooh
Ну доказывайте.
С вас доказательство двух утверждений:

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

Но как только мы попытаемся взять их "все", они начнут бесконечно возрастать и в пределе станут бесконечными.

thepooh в сообщении #1607034 писал(а):

Ну значит и множество останется конечным.

(Именно математическое доказательство, а не пустое словоблудие.)

[thepooh]

zykov в сообщении #1607038 писал(а):

thepooh
Ну доказывайте.
С вас доказательство двух утверждений:

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

Но как только мы попытаемся взять их "все", они начнут бесконечно возрастать и в пределе станут бесконечными.

thepooh в сообщении #1607034 писал(а):

Ну значит и множество останется конечным.

(Именно математическое доказательство, а не пустое словоблудие.)

С Вас тогда доказательство обратного, а не пустое словоблудие

-- 29.08.2023, 15:03 --

mihaild в сообщении #1607035 писал(а):

Ответы на нужные Вам вопросы есть, например, в "Теории множеств" Куратовского, Мостовского, издание 1970 года, второй параграф второй главы и первый параграф третьей главы (которая так и называется: "Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества").

Во втором параграфе второй главы просто даются аксиомы. А в первом параграфе третьей главы я не нашёл доказательства того, что натуральные числа конечны, а их множество бесконечно.