Диагональный аргумент Кантора

[thepooh]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, разобраться с диагональным аргументом Кантора.

Выпишем все натуральные числа:
0
000...(бесконечное количество нулей)...001
000...(бесконечное количество нулей)...002
000...(бесконечное количество нулей)...003
...
847...(бесконечное количество цифр)...375
847...(бесконечное количество цифр)...376
...

Теперь проведём диагональную процедуру (получим новое натуральное число следующим способом)
возьмём первую цифру первого числа и увеличим её на 1
возьмём вторую цифру второго числа и увеличим её на 1
возьмём третью цифру третьего числа и увеличим её на 1
и т.д.

Получим новое натуральное число, которого нет в нашем списке, т.к. оно отличается от каждого числа в списке. Значит множество натуральных чисел несчётно (континуально)

В рассуждениях явно есть ошибка, но я не могу понять где?

[dgwuqtj]

Во-первых, непонятно, что это за бесконечные строчки из цифр, у которых есть и начало, и конец. Во-вторых, натуральными числами они точно не являются: в десятичной системе счисления натуральные числа - это в точности бесконечные влево последовательности цифр, у которых почти ао всех местах нули (то есть кроме конечного набора позиций).

[thepooh]

dgwuqtj в сообщении #1606759 писал(а):

Во-первых, непонятно, что это за бесконечные строчки из цифр, у которых есть и начало, и конец. Во-вторых, натуральными числами они точно не являются: в десятичной системе счисления натуральные числа - это в точности бесконечные влево последовательности цифр, у которых почти ао всех местах нули (то есть кроме конечного набора позиций).

Хорошо запишем все бесконечные влево последовательности цифр (натуральные числа) в произвольном порядке
...(бесконечное количество цифр)...343976935
...(бесконечное количество цифр)...636567567
...(бесконечное количество цифр)...123678843
...

С помощью диагональной процедуры получим новое натуральное число, которого нет в нашем списке, т.к. оно отличается от всех чисел в списке. Значит множество натуральных чисел несчётно (континуально)

[dgwuqtj]

Если к такому списку применить диагональный метод, вы получите последовательность из цифр, бесконечно много которых ненулевые. То есть это будет не натуральное число.

[Dedekind]

thepooh в сообщении #1606763 писал(а):

С помощью диагональной процедуры получим новое натуральное число, которого нет в нашем списке

Не очевидно. Во-первых, напишите явно, что за процедуру Вы проводите. Во-вторых, докажите, что получившееся число действительно является натуральным.

[thepooh]

dgwuqtj в сообщении #1606764 писал(а):

Если к такому списку применить диагональный метод, вы получите последовательность из цифр, бесконечно много которых ненулевые. То есть это будет не натуральное число.

А почему натуральное число не может состоять из бесконечного количества ненулевых цифр?

[Dedekind]

thepooh в сообщении #1606768 писал(а):

А почему натуральное число не может состоять из бесконечного количества ненулевых цифр?

А чему в таком случае будет равно следующее за ним натуральное число?

[dgwuqtj]

thepooh в сообщении #1606768 писал(а):

А почему натуральное число не может состоять из бесконечного количества ненулевых цифр?

По определению десятичной системы счисления.

[thepooh]

Dedekind в сообщении #1606769 писал(а):

А чему в таком случае будет равно следующее за ним натуральное число?

Возьмём натуральное число с бесконечным количеством ненулевых цифр, например такое
...(бесконечное количество ненулевых цифр)...23467827645
Тогда следующее за ним будет
...(бесконечное количество ненулевых цифр)...23467827646

-- 27.08.2023, 14:19 --

dgwuqtj в сообщении #1606772 писал(а):

По определению десятичной системы счисления.

Есть какое-то доказательство?

[dgwuqtj]

thepooh в сообщении #1606783 писал(а):

Есть какое-то доказательство?

Есть стандартное определение. Вы можете его написать?

[thepooh]

dgwuqtj в сообщении #1606785 писал(а):

Есть стандартное определение. Вы можете его написать?

Нет. Напишите, пожалуйста

[dgwuqtj]

Берём натуральное число $n > 0$. У него существует единственное представление в виде $n = n_0 + 10 n_1 + \ldots + 10^k n_k$, где $0 \leq n_i \leq 9$ и $n_k \neq 0$ (это теорема). Это соответствует записи $n = \overline{n_k \ldots n_0}$ без ведущих нулей. Можно, конечно, добавить и ведущие нули даже в бесконечном количестве.

[Mikhail_K]

dgwuqtj в сообщении #1606789 писал(а):

Берём натуральное число $n > 0$. У него существует единственное представление в виде $n = n_0 + 10 n_1 + \ldots + 10^k n_k$, где $0 \leq n_i \leq 9$ и $n_k \neq 0$ (это теорема). Это соответствует записи $n = \overline{n_k \ldots n_0}$ без ведущих нулей.

Добавлю: из этой теоремы следует, что в десятичной записи любого натурального числа должна быть первая цифра, с которой эта десятичная запись начинается ($n_k$). Поэтому вот таких "натуральных чисел", бесконечных влево и не начинающихся ни с какой цифры, не бывает:

thepooh в сообщении #1606763 писал(а):

...(бесконечное количество цифр)...343976935
...(бесконечное количество цифр)...636567567
...(бесконечное количество цифр)...123678843
...

[thepooh]

Значит если мы допустим существование натуральных чисел следующего вида:
...
52454...(бесконечное количество цифр)...245535
65758...(бесконечное количество цифр)...843950
26948...(бесконечное количество цифр)...448072
...

Мы получим какие-то проблемы? Или противоречия? Какие?

[dgwuqtj]

Вы так и не написали, что эти записи означают. Если что, натуральные числа - это не строки, а мощности конечных множеств (есть и другие варианты определений).