Диагональный аргумент Кантора

[thepooh]

Null в сообщении #1606847 писал(а):

thepooh в сообщении #1606846 писал(а):

Тогда как называются бесконечные целые положительные числа?

Эта фраза не имеет смысла. Целые - тоже конечные, а если вы о бесконечных строках цифр, то это не числа. И не надо пытаться менять общепринятые термины - они нужны чтобы люди могли понимать друг друга.

Тогда почему множество всех натуральных чисел бесконечно? Если сами они конечны?

[dgwuqtj]

Вас удивляет, что есть бесконечно много конечных множеств $\{\}$, $\{a\}$, $\{a, b\}$, ..., между которыми попарно нет биекций? Так мир устроен...

[epros]

thepooh в сообщении #1606842 писал(а):

Зачем разделять на стандартные и нестандартные? Речь про все натуральные числа (стандартные, нестандартные, любые)

Не надо разделять, можете считать, что бывают только стандартные числа. Множество стандартных натуральных чисел определяется как минимальное множество, содержащее единицу и инкремент каждого своего элемента. Даже нет смысла уточнять, что каждое натуральное число "конечно", потому что понятие "конечное множество" определяется как "множество, элементы которого могут быть пронумерованы до некоторого натурального числа".

thepooh в сообщении #1606846 писал(а):

Тогда как называются бесконечные целые положительные числа?

Это Вы выдумываете какие-то "бесконечные последовательности цифр". Поэтому я и говорю, что если такие вещи и могут в каком-то смысле считаться натуральными числами, то только нестандартными. И Вам скорее всего пока что незачем знать, что это такое.

-- Вс авг 27, 2023 22:56:46 --

thepooh в сообщении #1606848 писал(а):

Тогда почему множество всех натуральных чисел бесконечно? Если сами они конечны?

Очевидно потому, что у натурального ряда по определению нет конца.

[mihaild]

thepooh в сообщении #1606846 писал(а):

Тогда как называются бесконечные целые положительные числа?

Никак не называются. Как называются зеленые крокодилы белого цвета?

thepooh в сообщении #1606846 писал(а):

Зачем называть их как то иначе, чем натуральные?

Затем, что натуральными числами названа некоторая конкретная структура. Она полезна для многих применений. При желании можете придумать свою, четко её описать и назвать любым еще не занятым словом.

thepooh в сообщении #1606848 писал(а):

Тогда почему множество всех натуральных чисел бесконечно? Если сами они конечны?

Один из стандартных подходов к определению натуральных чисел - определить $n$ как множество, содержащее все натуральные числа, меньшие $n$ - в нём как раз $n$ элементов. Тогда легко определить конечное множество - это множество, равномощное какому-нибудь натуральному числу.
Легко показать, что если для множества $X$ существует сюръекция в натуральное число $n$, не являющаяся биекцией, то биекцией между $X$ и $n$ не существует (тут используется конечность $n$, для бесконечных множеств это свойство не выполнено). Для любого натурального числа $n$, существует сюръекция $\mathbb N \to n$, не являющаяся биекцией - докажите! (это несложно из определения выше)
Значит $\mathbb N$ не является конечным.

(Null)

Null в сообщении #1606845 писал(а):

Интересно как доказать что мы можем записать любое конечное число цифр. Это уже физика или философия.

Так не можем же.

epros, ИМХО зря Вы вообще нестандартные модели упомянули.

[KhAl]

Нафига спорить об определениях?

Отвечу на вопрос (курсив мой)

thepooh в сообщении #1606763 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1606759 писал(а):

Во-первых, непонятно, что это за бесконечные строчки из цифр, у которых есть и начало, и конец. Во-вторых, натуральными числами они точно не являются: в десятичной системе счисления натуральные числа - это в точности бесконечные влево последовательности цифр, у которых почти ао всех местах нули (то есть кроме конечного набора позиций).

Хорошо запишем все бесконечные влево последовательности цифр (натуральные числа) в произвольном порядке
...(бесконечное количество цифр)...343976935
...(бесконечное количество цифр)...636567567
...(бесконечное количество цифр)...123678843
...

С помощью диагональной процедуры получим новое натуральное число последовательность цифр, которого нет в нашем списке, т.к. оно отличается от всех чисел в списке. Значит множество натуральных чисел несчётно (континуально)

Ошибки в рассуждении нет: из него следует, что ни в каком порядке нельзя записать все подряд бесконечные влево последовательности цифр. То есть им нельзя приписать номера "первый, второй, третий..." и так далее, так, чтобы до любого можно было досчитать за конечное время — а именно это и означает счётность.

[epros]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1606855 писал(а):

epros, ИМХО зря Вы вообще нестандартные модели упомянули.

Согласен. Само как-то вырвалось при виде "бесконечных последовательностей цифр". Но и Ваши слова про сюръекцию и биекцию для данного собеседника наверняка окажутся чересчур.

[vicvolf]

(Оффтоп)

„Если вы что-то не можете объяснить 6-летнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.“.— Альберт Эйнштейн.

[StepV]

thepooh в сообщении #1606752 писал(а):

Получим новое натуральное число, которого нет в нашем списке, т.к. оно отличается от каждого числа в списке. Значит множество натуральных чисел несчётно (континуально)

В рассуждениях явно есть ошибка, но я не могу понять где?

Не знаю, на сколько мой взгляд на вашу проблему правильный. Если в чем-то не прав, надеюсь меня поправят. На мой взгляд в вашем рассуждении можно указать на ошибку следующим способом. Заметьте, что в доказательстве Кантора несуществующее в бесконечном списке число, оказывается где-то внутри списка. между двумя вещественными числами. Это соответствует их свойствам.
В вашем же случае, если вы выписываете подряд все натуральные числа, а потом диагональным методом пытаетесь получить число, которое оказывается между двумя натуральными числами, то какое натуральное число может оказаться между $1$ и $2$? Никакого. Если вы таблицу заполнили без пропусков, то диагональное число должно указать на какое-то уже имеющееся в списке число.
Если вы таблицу заполняли с пропуском некоторых натуральных чисел, то этим методом заполняются пропуски, после чего числа начнут повторяться.

[Ende]

vicvolf в сообщении #1606886 писал(а):

„Если вы что-то не можете объяснить 6-летнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.“.— Альберт Эйнштейн.

Во-первых, замечание за оффтоп.

Во-вторых, Эйнштейн такой глупости не говорил. И Фейнман не говорил. Недавно на форуме уже указывали верный источник этой расхожей цитаты.

Anton_Peplov в сообщении #1605365 писал(а):

Курт Воннегут, "Колыбель для кошки".

Курт Воннегут писал(а):

– Доктор Хониккер любил говорить, что, если ученый не умеет популярно объяснить восьмилетнему ребенку, чем он занимается, значит, он шарлатан.
– Выходит, я глупей восьмилетнего ребенка, – уныло сказала мисс Пефко. – Я даже не знаю, что такое шарлатан.

На всякий случай замечу, что доктор Хониккер – злая карикатура на гениального ученого. Так что приписывать его слова реальным выдающимся ученым – не только невежество, но и неуважение.

[mihaild]

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1606886 писал(а):

„Если вы что-то не можете объяснить 6-летнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.“.— Альберт Эйнштейн.

Владимир Ленин писал(а):

Главная проблема цитат в интернете в том, что люди сразу верят в их подлинность.

StepV в сообщении #1606895 писал(а):

Заметьте, что в доказательстве Кантора несуществующее в бесконечном списке число, оказывается где-то внутри списка. между двумя вещественными числами

Нет, никакого "внутри" нету, порядок в доказательстве Кантора не используется.

[StepV]

mihaild в сообщении #1606900 писал(а):

порядок в доказательстве Кантора не используется

С этой частью замечания полностью согласен.

mihaild в сообщении #1606900 писал(а):

Нет, никакого "внутри" нету

А эта часть мне непонятна. Когда мы построили бесконечную таблицу со всеми действительными числами, то диагональным методом получаем некое число $d$, для которого всегда найдутся два действительных числа такие, что $d1<d<d2$. Ведь число $d$ находится внутри множества действительных чисел.
В этом заключается и неприменимость метода к натуральным числам, т.к. между соседними натуральными числами других натуральных чисел уже существовать не может.

[Mikhail_K]

StepV в сообщении #1606912 писал(а):

В этом заключается и неприменимость метода к натуральным числам

Неприменимость заключается не в этом. В чём она заключается - было написано выше. Вообще, диагональный процесс призван доказать несчётность множества рассматриваемых чисел, что в применении к натуральным числам уже само по себе внутренне противоречиво; если он при этом доказывает ещё что-нибудь странное или противоречивое (?), это само по себе не говорит о его неприменимости. Чтобы обосновать неприменимость рассуждения, надо указать конкретную ошибку в нём.

StepV в сообщении #1606912 писал(а):

то диагональным методом получаем некое число $d$, для которого всегда найдутся два действительных числа такие, что $d1<d<d2$.

Для любого натурального числа $n$, кроме единицы, тоже найдутся два натуральных числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $n_1<n<n_2$. И что?

[mihaild]

StepV в сообщении #1606912 писал(а):

Когда мы построили бесконечную таблицу со всеми действительными числами, то диагональным методом получаем некое число $d$, для которого всегда найдутся два действительных числа такие, что $d1<d<d2$. Ведь число $d$ находится внутри множества действительных чисел

А причем тут диагональный метод? Для любого и действительного, и целого числа найдутся числа, его большие и меньшие.

StepV в сообщении #1606912 писал(а):

В этом заключается и неприменимость метода к натуральным числам

Нет, не в этом.
Неприменимость диагонального метода к натуральным числам (последовательностям цифр, содержащим конечное число не-нулей) в том, что в результате его применения не получится натуральное число (получится последовательность, содержащая бесконечное количество не-нулей).

[zykov]

StepV
Диагональный метод никак не связан с "больше-меньше".
"больше-меньше" вообще может быть неопределено.

Например, для алгоритмов есть Halting problem, там тоже доказательство идёт аналогично Cantor's diagonal argument.
Никаких "больше-меньше" там нет.

[thepooh]

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно.
Он скажет, смотри, мы заполняем множество натуральных чисел элементами: добавляем 1, 2, 3, ... , N, ...
Либо мы где-то остановимся, тогда последнее добавленное число будет конечным, как и все предыдущие, но и мощность множества при этом будет конечной.
Либо мы добавляем элементы до бесконечности, но тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными.