Диагональный аргумент Кантора

[Dedekind]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

но тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными

А когда конкретно? Можете указать число, до которого еще будут идти "конечные элементы", а после - уже "бесконечные"?

[mihaild]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно

Порекомендовать познакомиться с математикой более подробно. А для этого придется прилагать усилия.
Вы можете решить вот эту задачку?

mihaild в сообщении #1606855 писал(а):

Для любого натурального числа $n$, существует сюръекция $\mathbb N \to n$, не являющаяся биекцией - докажите!

Сначала нужно научиться решать задачи, а уже потом заниматься околофейлософской болтологией (точнее потом желание ей заниматься пропадет).

[talash]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно.
Он скажет, смотри, мы заполняем множество натуральных чисел элементами: добавляем 1, 2, 3, ... , N, ...
Либо мы где-то остановимся, тогда последнее добавленное число будет конечным, как и все предыдущие, но и мощность множества при этом будет конечной.
Либо мы добавляем элементы до бесконечности, но тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными.

У Пуанкаре есть мысли на эту тему. https://math.ru/lib/554. Цитата из. Наука и метод. Книга II. Математическое рассуждение. Глава III. Математика и логика.

Цитата:

Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.

Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь останавливаться.

Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики.

Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.

Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики. К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия.

Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры[73 - Чудовищная девятиголовая змея, которая, как говорят древнегреческие мифы, жила в Лернейском болоте. На месте отрубленных голов у нее вырастали новые. — Примеч. ред.], у которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом.

[svv]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно.

Рассмотрим множество $F$ всех конечных натуральных чисел. Допустим, само $F$ конечно. Тогда среди его элементов есть наибольший, обозначим его $n$. Прибавим к нему единицу, получим число $n+1$. Это число больше $n$, значит, оно больше каждого элемента $F$, значит, его нет в $F$. Число $n+1$ конечно и его нет в $F$, а это противоречит тому, что $F$ — множество всех конечных натуральных чисел.
Значит, предположение, что множество $F$ конечно — неверно.

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

Либо мы добавляем элементы до бесконечности, но тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными.

Тогда возникнет такая ситуация, что элемент $n$ конечен, а $n+1$ уже бесконечен.

(Dedekind)

Dedekind в сообщении #1606935 писал(а):

А когда конкретно? Можете указать число, до которого еще будут идти "конечные элементы", а после - уже "бесконечные"?

Видимо, бесконечные элементы пойдут после числа, которое столь велико, что на него уже никак невозможно указать. (Никто не может записать, никто не может представить, всей Вселенной не хватит, чтобы его изобразить...)

[TOTAL]

Множество из двух бесконечных натуральных чисел конечно? На предыдущих четырёх страницах наверняка уж с этим-то простым вопросом разобрались ...

[epros]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно

У меня встречный вопрос: Как это объяснить человеку, который не читает ответов, которые уже были даны на этот вопрос?

Проблема выеденного яйца не стоит. Я уже писал, что натуральный ряд "бесконечен" потому что у него по определению "нет конца". См. определение:

epros в сообщении #1606852 писал(а):

Множество стандартных натуральных чисел определяется как минимальное множество, содержащее единицу и инкремент каждого своего элемента.

"Содержит инкремент каждого своего элемента" - это значит, что если предположить, что мы нашли последнее натуральное число, то окажется, что для него тоже есть инкремент, т.е. оно оказывается не последним.

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными

Откуда Вы вывели это неверное утверждение?

[Geen]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно.

1. А зачем ему это объяснять?
2. Свойства множества и свойства его элементов (почти) никак не связаны друг с другом: множество из одного элемента который пустое множество вовсе не пусто; множество из одного элемента который является бесконечной строкой из единиц вовсе не бесконечно; множество каких-то "конечных чисел" может быть конечным и может быть бесконечным...
3. Хорошо бы, кстати, узнать какие множества Вы называете бесконечными.

[vicvolf]

epros в сообщении #1606953 писал(а):

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно

У меня встречный вопрос: Как это объяснить человеку, который не читает ответов, которые уже были даны на этот вопрос?

Прошу прощения, но надо уметь объяснять, а не еще больше запутывать человека.

Geen в сообщении #1606962 писал(а):

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно.

1. А зачем ему это объяснять?
2. Свойства множества и свойства его элементов (почти) никак не связаны друг с другом: множество из одного элемента который пустое множество вовсе не пусто; множество из одного элемента который является бесконечной строкой из единиц вовсе не бесконечно; множество каких-то "конечных чисел" может быть конечным и может быть бесконечным...
3. Хорошо бы, кстати, узнать какие множества Вы называете бесконечными.

epros в сообщении #1606852 писал(а):

Множество стандартных натуральных чисел определяется как минимальное множество, содержащее единицу и инкремент каждого своего элемента.

Без странных вопросов и инкрементов, а вот так:

svv в сообщении #1606945 писал(а):

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

И всё-таки, как объяснить человеку, поверхностно знакомому с математикой, что множество натуральных чисел бесконечно несмотря на то, что каждое натуральное число конечно.

Рассмотрим множество $F$ всех конечных натуральных чисел. Допустим, само $F$ конечно. Тогда среди его элементов есть наибольший, обозначим его $n$. Прибавим к нему единицу, получим число $n+1$. Это число больше $n$, значит, оно больше каждого элемента $F$, значит, его нет в $F$. Число $n+1$ конечно и его нет в $F$, а это противоречит тому, что $F$ — множество всех конечных натуральных чисел. Значит, предположение, что множество $F$ конечно — неверно.

[Geen]

vicvolf в сообщении #1606963 писал(а):

Без странных вопросов

Вопросы об определениях Вы называете странными?...

[TOTAL]

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными

(Оффтоп)

Кто привык за победу бороться,
С нами вместе пускай запоет.
Вдоль ряда понесётся
И рано или поздно до бесконечности дойдет!

[thepooh]

Dedekind в сообщении #1606935 писал(а):

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

но тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными

А когда конкретно? Можете указать число, до которого еще будут идти "конечные элементы", а после - уже "бесконечные"?

А можете указать после которого числа натуральный ряд становится бесконечным?

[mihaild]

thepooh

mihaild в сообщении #1606936 писал(а):

Вы можете решить вот эту задачку?

mihaild в сообщении #1606855 писал(а):

Для любого натурального числа $n$, существует сюръекция $\mathbb N \to n$, не являющаяся биекцией - докажите!

[Dedekind]

thepooh в сообщении #1606973 писал(а):

А можете указать после которого числа натуральный ряд становится бесконечным?

Этот вопрос не имеет смысла. Бесконечность тут - свойство множества в целом, а не какого-то конкретного числа. А Вы же предлагаете разделять числа сами по себе на "конечные" и "бесконечные". Поэтому и вопрос: где конкретно заканчиваются "конечные" и начинаются Ваши "бесконечные" числа?

[Geen]

thepooh в сообщении #1606973 писал(а):

становится бесконечным?

Приведите определение бесконечного множества, пожалуйста.

[thepooh]

svv в сообщении #1606945 писал(а):

Рассмотрим множество $F$ всех конечных натуральных чисел. Допустим, само $F$ конечно. Тогда среди его элементов есть наибольший, обозначим его $n$. Прибавим к нему единицу, получим число $n+1$. Это число больше $n$, значит, оно больше каждого элемента $F$, значит, его нет в $F$. Число $n+1$ конечно и его нет в $F$, а это противоречит тому, что $F$ — множество всех конечных натуральных чисел.
Значит, предположение, что множество $F$ конечно — неверно.

В Вашем доказательстве есть закольцованность. А именно в выражении "множество всех конечных натуральных чисел". То есть предполагается что такое множество существует. Словосочетание "всех конечных" не имеет смысла, т.к. если мы будем добавлять в наше множество все натуральные числа по порядку (первым добавим 1, вторым добавим 2,..., N-ным добавим N,... и т.д.), то "бесконечным" элементом мы добавим "бесконечное число". То есть Вы заранее в предпосылках доказательства предполагаете, что мы в процессе добавления ограничимся каким-то конечным числом. То есть Ваше доказательство противоречиво.

svv в сообщении #1606945 писал(а):

thepooh в сообщении #1606934 писал(а):

Либо мы добавляем элементы до бесконечности, но тогда и добавляемые элементы должны рано или поздно стать бесконечными.

Тогда возникнет такая ситуация, что элемент $n$ конечен, а $n+1$ уже бесконечен.

При добавлении всех натуральных чисел в множество мы получим бесконечное множество, но Вы же не сможете указать на каком элементе это произошло.