Диагональный аргумент Кантора

[epros]

thepooh в сообщении #1607448 писал(а):

количество натуральных чисел, которые можно записать с помощью такого же количества цифр равно $10^m \in \mathbb{N}$

С помощью какого количества цифр? С чего Вы взяли, что количество цифр должно быть $m$? Что мешает Вам записать число с помощью $m+1$ цифр?

thepooh в сообщении #1607448 писал(а):

То есть количество натуральных чисел всегда выражается натуральным числом.

Нет, количество натуральных чисел, которые можно записать с помощью конкретного натурального количества цифр, выражается натуральным числом. А количество натуральных чисел, которые можно записать любым натуральным количеством цифр, натуральным числом не выражается. Чувствуете разницу?

[Geen]

thepooh в сообщении #1607448 писал(а):

То есть количество натуральных чисел

Неправильно. Надо говорить "количество натуральных чисел длиной не больше $m$".

[mihaild]

thepooh, не надо игнорировать вопросы.

mihaild в сообщении #1607245 писал(а):

Вам понятны определения натуральных чисел, а также конечного и бесконечного множеств из Куратовского? Понятно ли Вам, как из них получается, что каждое натуральное число - это конечное множество, а множество натуральных чисел - бесконечное?

[talash]

Тут идёт спор об основаниях теории множеств. Мне вот тоже интуитивно непонятно, если мы можем записать бесконечное множество натуральных чисел на бумажке, почему там не будет чисел с бесконечным количеством цифр. Просто по определению? Что такое натуральное число мы знаем из опыта. И то что мы не можем перечислить все натуральные числа, потому что всегда можно прибавить единицу к уже перечисленному наибольшему числу и получим новое натуральное число, мы тоже знаем из опыта. Это то что называется потенциальная бесконечность. А вот что такое множество натуральных чисел? Тут понимается, что мы сразу имеем бесконечность и можем даже эту бесконечность записать. Это понятие не из опыта и какое-то бредовое потому что мы конечные и наши действия конечные и вдруг появляется бесконечность, как нечто само собою разумеющееся, это то что называется актуальная бесконечность. И из неё выводится некая новомодная математика, которой не было до 19 века. В самом общем виде математика это любые непротиворечивые сущности. Но бредовость исходных посылов как раз и означает потенциальную противоречивость, которая многократно и возникала при развитии теории множеств. Но любую противоречивость конечно же можно починить введением новых специально для неё придуманных правил и ограничений (костылей). Можно ли это назвать математикой? Наверное можно, но она скорее всего не будет иметь практической ценности. И тут появляется новый интересный вопрос, а кто определяет, есть ли у теории множеств практическая ценность?

[mihaild]

talash, не сбивайте ТС, пожалуйста. Вопрос, что получается из определений - математический, а не фейлософский. А он не понимает именно определений.

(Оффтоп)

talash в сообщении #1607528 писал(а):

Тут идёт спор об основаниях теории множеств

Нет, чтобы спорить о чем-то, нужно это что-то понимать.

talash в сообщении #1607528 писал(а):

если мы можем записать бесконечное множество натуральных чисел на бумажке

Не можем, чернила кончатся.

talash в сообщении #1607528 писал(а):

Просто по определению?

Да.

talash в сообщении #1607528 писал(а):

Что такое натуральное число мы знаем из опыта

Нет, не знаем.
Мы из опыта знаем, что вот такая странная штука подходит для описания некоторых опытов.

talash в сообщении #1607528 писал(а):

потенциальную противоречивость, которая многократно и возникала при развитии теории множеств

На самом деле не так уж часто. А ошибки бывают в любом роде человеческой деятельности.

talash в сообщении #1607528 писал(а):

Но любую противоречивость конечно же можно починить введением новых специально для неё придуманных правил

Ровно наоборот: противоречивость в математике чинится отменой правил, приводящих к противоречию.

talash в сообщении #1607528 писал(а):

И тут появляется новый интересный вопрос, а кто определяет, есть ли у теории множеств практическая ценность?

Неинтересный.

[zykov]

talash в сообщении #1607528 писал(а):

Мне вот тоже интуитивно непонятно, если мы можем записать бесконечное множество натуральных чисел на бумажке, почему там не будет чисел с бесконечным количеством цифр

Доказывается элементарно по индукции.

[Ende]

talash
Замечание за захват темы. Хотите задать свой вопрос - начните новую тему и задайте там.
thepooh
Ответьте на вопросы mihaild

[thepooh]

epros в сообщении #1607453 писал(а):

Нет, количество натуральных чисел, которые можно записать с помощью конкретного натурального количества цифр, выражается натуральным числом. А количество натуральных чисел, которые можно записать любым натуральным количеством цифр, натуральным числом не выражается. Чувствуете разницу?

Получается, что любые натуральные числа состоят из конкретных и не конкретных. Потому что если множество любых натуральных чисел состоит только из конкретных, то его мощность должна выражаться натуральным числом. А не конкретные - это видимо и есть бесконечные.

mihaild в сообщении #1607500 писал(а):

thepooh, не надо игнорировать вопросы.

mihaild в сообщении #1607245 писал(а):

Вам понятны определения натуральных чисел, а также конечного и бесконечного множеств из Куратовского? Понятно ли Вам, как из них получается, что каждое натуральное число - это конечное множество, а множество натуральных чисел - бесконечное?

Я посмотрю сначала теорему 10 ещё раз повнимательнее.

[epros]

thepooh в сообщении #1607590 писал(а):

Получается, что любые натуральные числа состоят из конкретных и не конкретных.

Нет, не получается. Это просто два разных квантора: существования и всеобщности. Слышали про такие?

Вы сказали, что: $\exists n\in\mathbb{N}~\exists m\in\mathbb{N}~(n\text{ является количеством чисел, записываемых не более чем }m\text{ цифрами})$.
А я сказал, что утверждение должно быть таким: $\nexists n\in\mathbb{N}~\forall m\in\mathbb{N}~(n\text{ является количеством чисел, записываемых не более чем }m\text{ цифрами})$.

[tolstopuz]

Продолжу логику ТС:

Как известно, простых чисел бесконечно много. Это означает, что существуют бесконечные простые числа. Хорошо бы найти хоть одно. Но у меня затык - я не могу понять, делится $\ldots11111$ на $3$ или нет. Как тут применить признак делимости на $3$?

Хотя тут есть и другая странность: $\ldots11111\cdot10+1=\ldots11111$, то есть $\ldots11111=-1/9$. Немного странно для натурального числа.

(Оффтоп)

Кто знает про $p$-адические числа, пока подождите :)

[svv]

(Оффтоп)

tolstopuz в сообщении #1607598 писал(а):

Как тут применить признак делимости на $3$?

Бесконечное натуральное число делится на $3$, если сумма его цифр (конечная, см. ниже, или бесконечная) делится на $3$. Для чисел вида $...11111$ вопрос сводится к тому, делится ли на $3$ бесконечное число его цифр. Простой и полезный признак!

Сумма цифр бесконечного числа может быть и конечной. Например, все цифры числа — нули, кроме одной единицы, стоящей на бесконечной позиции, считая справа.

[bot]

(Ух, понеслась)

Я уже вопрос про конечность действительного числа спрашивал - логично же, что если есть бесконечные натуральные, то должны быть бесконечные действительные, отличных от натуральных. Вот число $\pi$ - это конечное число или бесконечное? Признак бесконечности тут есть (циферок в ём много), однакож отсутствует другой признак - нету цифирок после бесконечного числа цифр. Или они есть (суслика видишь?), но до сих пор неизвестны? Вот такие бесконечные конечности получаются.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

На самом деле, в размышлениях ТС о том, что среди натуральных чисел есть конечные и бесконечные, но при этом не существует множества, состоящего только из конечных натуральных чисел, мне устойчиво чудится намёк на нестандартный анализ - отсюда у меня и была мысль о том, что, может быть, ТС на самом деле всё понимает и нас всех троллит. Но после того, как к ТС присоединился talash, приходится признать, что просто у людей бывает такая вот странная интуиция.

[diletto]

Mikhail_K в сообщении #1607609 писал(а):

На самом деле, в размышлениях ТС о том, что среди натуральных чисел есть конечные и бесконечные, но при этом не существует множества, состоящего только из конечных натуральных чисел, мне устойчиво чудится намёк на нестандартный анализ

Интересно стало: никогда не возникало идеи расщепить квантор всеобщности на два: "каждый" и "все" - и построить теорию без аксиомы, что эти кванторы равнозначны? Любое натуральное - конечно, но не факт, что все натуральные конечны.

[epros]

diletto в сообщении #1607621 писал(а):

расщепить квантор всеобщности на два: "каждый" и "все"

Это Вы о чём? Нестандартные числа совсем не про это.