Диагональный аргумент Кантора

[epros]

vicvolf в сообщении #1606963 писал(а):

Без странных вопросов и инкрементов

Кто не знает что такое инкремент, тому либо пора в первый класс, либо он тролль.

[thepooh]

Dedekind в сообщении #1606978 писал(а):

thepooh в сообщении #1606973 писал(а):

А можете указать после которого числа натуральный ряд становится бесконечным?

Этот вопрос не имеет смысла. Бесконечность тут - свойство множества в целом, а не какого-то конкретного числа. А Вы же предлагаете разделять числа сами по себе на "конечные" и "бесконечные". Поэтому и вопрос: где конкретно заканчиваются "конечные" и начинаются Ваши "бесконечные" числа?

Возьмём последовательность множеств {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... , {1, 2, 3, ..., N }, ...
Вы меня просите указать когда число N станет бесконечным. Поэтому я и прошу Вас в ответ указать при каком N мощность множества станет бесконечной, т.е. это множество будет натуральным рядом. Как только Вы ответите, так сразу и я смогу дать ответ.

[epros]

thepooh в сообщении #1606980 писал(а):

При добавлении всех натуральных чисел в множество мы получим бесконечное множество, но Вы же не сможете указать на каком элементе это произошло.

Ни на каком не произошло. Бесконечное множество бесконечно потому, что определено как не имеющее конца, а не потому что его кто-то составил, добавляя элементы по одному.

[Mikhail_K]

thepooh в сообщении #1606983 писал(а):

Вы меня просите указать когда число N станет бесконечным.

На самом деле, никогда. Это был наводящий вопрос, сделанный для того, чтобы Вы могли найти ошибку в своих рассуждениях.

thepooh в сообщении #1606983 писал(а):

Поэтому я и прошу Вас в ответ указать при каком N мощность множества станет бесконечной

Ни при каком $N$ не станет.

thepooh в сообщении #1606983 писал(а):

т.е. это множество будет натуральным рядом.

Ни одно из выписанных Вами множеств не является натуральным рядом. Потому что в каждом из выписанных Вами множеств есть наибольшее число, а в натуральном ряде нет наибольшего числа. Натуральный ряд бесконечен, хотя каждое число в нём конечно.

Откуда у Вас вообще появились мысли о каких-то "бесконечных числах"? Если Вы вспомните школьную математику, там они ни разу не появлялись. Вот если взять все натуральные числа (обычные, конечные, так как никаких других нет) - то и получится натуральный ряд. Каждое число в нём конечно, но таких чисел (конечных) бесконечно много. Что здесь может быть неясным?

[thepooh]

Mikhail_K в сообщении #1606985 писал(а):

Натуральный ряд бесконечен, хотя каждое число в нём конечно.

Именно это и не ясно. Кажется что в этом утверждении есть противоречие. Поэтому я и прошу его доказать. Выше уже было приведено доказательство, но оно содержало исходную предпосылку, неявно предполагающую, что доказываемое утверждение верно. А именно фраза "множество всех конечных натуральных чисел" предполагает, что такое множество существует.

[epros]

thepooh в сообщении #1606988 писал(а):

А именно фраза "множество всех конечных натуральных чисел" предполагает, что такое множество существует.

То, что такое множество существует, предполагает не эта фраза, а аксиома бесконечности. Можете, конечно, её не принимать, на то она и аксиома.

[Dedekind]

thepooh
Вы там обещали на вопрос ответить:

thepooh в сообщении #1606983 писал(а):

Поэтому я и прошу Вас в ответ указать при каком N мощность множества станет бесконечной, т.е. это множество будет натуральным рядом. Как только Вы ответите, так сразу и я смогу дать ответ.

Вам ответ дали:

Mikhail_K в сообщении #1606985 писал(а):

Ни при каком $N$ не станет.

[thepooh]

epros в сообщении #1606990 писал(а):

thepooh в сообщении #1606988 писал(а):

А именно фраза "множество всех конечных натуральных чисел" предполагает, что такое множество существует.

То, что такое множество существует, предполагает не эта фраза, а аксиома бесконечности. Можете, конечно, её не принимать, на то она и аксиома.

То есть утверждение, что натуральные числа конечны - это аксиома? Тогда больше нет вопросов. Сказали бы сразу.

[epros]

thepooh в сообщении #1606994 писал(а):

То есть утверждение, что натуральные числа конечны - это аксиома?

Нет. Утверждение, что существуют бесконечные множества, аксиома. Просто в жизни никому ещё не удалось, добавляя по одному элементу, получить бесконечное множество, так что приходится просто предположить, что оно, условно говоря, "существует".

[mihaild]

thepooh в сообщении #1606994 писал(а):

То есть утверждение, что натуральные числа конечны - это аксиома? Тогда больше нет вопросов. Сказали бы сразу.

Скорее определение. Это было сказано самое позднее в в восьмом сообщении темы

dgwuqtj в сообщении #1606772 писал(а):

По определению десятичной системы счисления.

И совершенно прямым текстом в середине второй страницы.

epros в сообщении #1606841 писал(а):

thepooh в сообщении #1606839 писал(а):

Как доказать что натуральное число не может быть бесконечным?

По определению.

[thepooh]

mihaild в сообщении #1606997 писал(а):

thepooh в сообщении #1606994 писал(а):

То есть утверждение, что натуральные числа конечны - это аксиома? Тогда больше нет вопросов. Сказали бы сразу.

Скорее определение. Это было сказано самое позднее в в восьмом сообщении темы

Это определение звучит как: назовём натуральными всех зелёных крокодилов белого цвета. Поэтому к нему и были вопросы.
Если же это аксиома, то вопросов нет. Мы можем задавать произвольный набор аксиом и строить на их базе доказательства.
Если эта аксиома является частью аксиоматической системы, на базе которой строится диагональный аргумент Кантора, то никаких вопросов больше нет.

[mihaild]

thepooh в сообщении #1606998 писал(а):

Это определение звучит как: назовём натуральными всех зелёных крокодилов белого цвета

Нет.

thepooh в сообщении #1606998 писал(а):

Если же это аксиома, то вопросов нет

Чем аксиома отличается от определения?

[thepooh]

mihaild в сообщении #1606999 писал(а):

Чем аксиома отличается от определения?

Наверное тем, что определение даётся в рамках некоторой системы аксиом.
Мы же не можем в рамках евклидовой геометрии определить объекты (назовём их натуральными прямыми), которые могут одновременно быть параллельными друг другу и пересекаться.
Так же и здесь. Как я понял аксиомой является то, что множество натуральных чисел бесконечно, хотя все натуральные числа конечны. Мы можем эту аксиому включить в нашу систему аксиом и доказывать различные следствия. Например разномощность действительных и натуральных чисел.
Иначе говоря существование счётных множеств является аксиомой (как я понял из сказанного выше).

[Mikhail_K]

thepooh
Меня интересует один вопрос. Вот в Вашем представлении, видимо, кроме конечных натуральных чисел есть ещё и бесконечные. Предположим, пусть так. А вот если тогда мы возьмём только конечные натуральные числа - сколько их, по-Вашему? Миллион? Триллион? Или всё-таки бесконечно много?

[Dedekind]

thepooh в сообщении #1607014 писал(а):

Как я понял аксиомой является то, что множество натуральных чисел бесконечно, хотя все натуральные числа конечны.

Неверно. И бесконечность множества натуральных чисел, и "конечность" каждого отдельного натурального числа - следует из их определения. А аксиомой в ZFC является то, что такое бесконечное множество вообще существует, следовательно, это определение - непротиворечиво.