Диагональный аргумент Кантора

[thepooh]

dgwuqtj в сообщении #1606793 писал(а):

Вы так и не написали, что эти записи означают. Если что, натуральные числа - это не строки, а мощности конечных множеств (есть и другие варианты определений).

Это записи означают бесконечные натуральные числа.
Они являются мощностями бесконечных множеств.

[Mikhail_K]

thepooh в сообщении #1606791 писал(а):

Значит если мы допустим существование натуральных чисел следующего вида:
...
52454...(бесконечное количество цифр)...245535
65758...(бесконечное количество цифр)...843950
26948...(бесконечное количество цифр)...448072
...

Мы получим какие-то проблемы? Или противоречия? Какие?

А с такими числами у Вас не получится диагональный процесс Кантора. Так как десятичная запись каждого числа имеет начало и конец, то Вам придётся сделать и список чисел тоже имеющим начало и конец. А для доказательства несчётности Вам нужен именно бесконечный вниз список, чтобы его строки могли быть занумерованы всеми натуральными числами.

На самом-то деле, таких "натуральных чисел", которые Вы написали здесь, тоже не бывает. У любого натурального числа лишь конечное количество цифр. Но прямо доказать это затруднительно (ввиду того, например, что бывают нестандартные модели $\mathbb{N}$ с "бесконечно большими" натуральными числами, чем-то похожими на приведённые Вами). Но в это Вам лучше сейчас не углубляться. Достаточно того, что даже если бы такие числа были, диагональный процесс с ними бы всё равно не получился.

[пианист]

Есть целые p-адические числа.
Их множество, да, континуально.

[Mikhail_K]

thepooh в сообщении #1606796 писал(а):

Это записи означают бесконечные натуральные числа.
Они являются мощностями бесконечных множеств.

Как было выше верно сказано, по одному из определений, натуральные числа - это мощности конечных множеств. Поэтому эта Ваша формулировка внутренне противоречива, как "квадратный круг".

пианист в сообщении #1606802 писал(а):

Есть целые p-адические числа.
Их множество, да, континуально.

И здесь важно, что $p$-адические числа - это не натуральные числа.

[Geen]

пианист в сообщении #1606802 писал(а):

Есть целые p-адические числа.

Ну какие же они целые, если среди них есть делители единицы?

[пианист]

Уж какие есть.
Во всяком случае, похоже на то, что (видимо) хотел автор темы.

[epros]

thepooh в сообщении #1606791 писал(а):

Значит если мы допустим существование натуральных чисел следующего вида:
...
52454...(бесконечное количество цифр)...245535
65758...(бесконечное количество цифр)...843950
26948...(бесконечное количество цифр)...448072
...

Мы получим какие-то проблемы? Или противоречия? Какие?

Мы получим очевидное противоречие с определением натурального числа, каковое всегда представляется конечной последовательностью цифр.

То, что Вы придумали, это:
1) Продукт Вашей фантазии, не имеющий отношения к натуральным числам.
2) Вообще не имеет чёткого определения, потому что там, где написано "бесконечное количество цифр", может на самом деле находиться что угодно.

[thepooh]

Как доказать что натуральное число не может быть бесконечным?
Несмотря на то что их бесконечное количество
В этом вся загвоздка, как я понимаю

[Geen]

thepooh в сообщении #1606839 писал(а):

В этом вся загвоздка, как я понимаю

Нет, загвоздка в другом...
Приведите, пожалуйста, определение натурального числа.

[epros]

thepooh в сообщении #1606839 писал(а):

Как доказать что натуральное число не может быть бесконечным?

По определению. По крайней мере "стандартное" натуральное число. Нестандартные - это такие, которые больше любого стандартного.

[thepooh]

Geen в сообщении #1606840 писал(а):

Нет, загвоздка в другом...
Приведите, пожалуйста, определение натурального числа.

Я только из википедии могу

Цитата:

Натурáльные чи́сла (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее[1]). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом[2].

Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n. Натуральные числа ещё можно называть целыми положительными числами. Поэтому отрицательные и нецелые (дробные) числа к натуральным не относятся.

-- 27.08.2023, 22:32 --

epros в сообщении #1606841 писал(а):

По определению. По крайней мере "стандартное" натуральное число. Нестандартные - это такие, которые больше любого стандартного.

Зачем разделять на стандартные и нестандартные? Речь про все натуральные числа (стандартные, нестандартные, любые)

[mihaild]

thepooh в сообщении #1606842 писал(а):

Я только из википедии могу

Ну тогда возьмите любой учебник матлогики и узнайте, как определяются натуральные числа.
Любое натуральное число по определению конечно. Точнее даже в другую сторону - конечные множества определяются как имеющие мощность, записывающуюся натуральным числом.
Никаких "бесконечных натуральных чисел" не бывает. По определению.
А любое натуральное число в десятичной системе записывается конечным числом цифр. Это доказывается.

[Null]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1606843 писал(а):

Это доказывается.

Интересно как доказать что мы можем записать любое конечное число цифр. Это уже физика или философия.

[thepooh]

mihaild в сообщении #1606843 писал(а):

thepooh в сообщении #1606842 писал(а):

Я только из википедии могу

Ну тогда возьмите любой учебник матлогики и узнайте, как определяются натуральные числа.
Любое натуральное число по определению конечно. Точнее даже в другую сторону - конечные множества определяются как имеющие мощность, записывающуюся натуральным числом.
Никаких "бесконечных натуральных чисел" не бывает. По определению.
А любое натуральное число в десятичной системе записывается конечным числом цифр. Это доказывается.

Тогда как называются бесконечные целые положительные числа?
Зачем называть их как то иначе, чем натуральные?
Зачем натуральные числа искусственно обрублены на конечных значениях?

[Null]

thepooh в сообщении #1606846 писал(а):

Тогда как называются бесконечные целые положительные числа?

Эта фраза не имеет смысла. Целые - тоже конечные, а если вы о бесконечных строках цифр, то это не числа. И не надо пытаться менять общепринятые термины - они нужны чтобы люди могли понимать друг друга.