Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1604168 писал(а):

Мы можем ввести произвольный список аксиом, и дальше из него что-то выводить.

На том уровне, на котором обычно определяются комплексные числа?

Давайте разделять уровни строгости. Я говорю про уровень, где мы использьзуем обычную наивную теорию множеств и просто определяем комплексные числа, по типу как вещественные в учебниках матаналаза. По-моему, произвольный список аксиом - это уже уровень матлогики и формальных теорий. Но это надо тогда прямым текстом говорить: определим формальную теорию комплесных чисел. Зафиксируем язык, содержащий... Положим исчислением предикатов, содержащее... И вот это вот все. Но у нас не тот уровень ведь. Я не очень понимаю, как на обычном уровне строгости можно говорить о корректном аксиоматическом определении, с недоказанной непротиворечивостью.

mihaild в сообщении #1604168 писал(а):

Категоричность тут точно не нужна совсем (и её часто нет).

Хм.. Одно дело, когда мы формулируем аксиомы группы. Там действительно нету категоричности. Но когда мы формулируем определение объекта, которому мы присваиваем какое-то обозначение, сам факт присвоения обозначения говорит о том, что объект единственен (или по крайней мере единственен с точностью до изоморфизма). Не присваивали бы уникальное обозначение (как с группами) - вопросов нет. Но тут-то присваиваем.

-- 06.08.2023, 14:21 --

Да, сейчас вижу, что в том месте про аксиоматическое определение стоило добавить про уникальность определяемых объектов и их обозначений.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1604169 писал(а):

Давайте разделять уровни строгости. Я говорю про уровень, где мы использьзуем обычную наивную теорию множеств и просто определяем комплексные числа, по типу как вещественные в учебниках матаналаза.

Ну и там тоже: давайте явно зафиксируем список свойств, которыми будем пользоваться, а конкретные детали конструкции будем игнорировать.

EminentVictorians в сообщении #1604169 писал(а):

Но когда мы формулируем определение объекта, которому мы присваиваем какое-то обозначение, сам факт присвоения обозначения говорит о том, что объект единственен

Или можно просто сказать, что в начале всех теорем написано "пусть $\mathbb R$ - множество вещественных чисел", аналогично тому как мы пишем "пусть $G$ - группа".

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1604170 писал(а):

а конкретные детали конструкции будем игнорировать.

Я не против такого варианта, но конструкция-то все равно должна быть. А можете сказать прямо: как Вы считаете, можно ли корректно определить вещественные числа без явного построения модели?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

Вот Вы ссылаетесь на "определение" , которое дал Alexey Rodionov:

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.

В обычной ситуации я, конечно, приму это как определение (и оно мне даже нравится), но не в такой теме, как эта. Строго говоря, это не определение.

А меня уровень формализации вполне устраивает. Ибо вполне понятно 1 (аксиомы поля известны), вполне понятно 2 (если считать, что "мнимая единица" означает "элемент, квадрат которого является обратным к единице"), вполне понятно 3 (ибо аксиоматика действительных чисел известна), и вполне понятно 4.

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

Аксиоматическое определение состоит из 3-х частей:
1)Список аксиом
2)Доказательство непротиворечивости (во всех известных мне случаях доказывается предъявлением модели)
3)Доказательство категоричности (доказательство того, что все модели данной системы аксиом изоморфны)

1 - да, 2 - нет (ибо противоречивость - проблема самой формальной системы, но рассматривать противоречивые системы нам никто запретить не может), 3 - нет (ибо категоричность системы - слишком сильное требование, которое для полного по Тьюрингу языка неосуществимо).

И, наконец, все эти придирки - мимо кассы, ибо приведённая аксиоматика непротиворечива и категорична ровно в той же степени, в которой непротиворечива и категорична аксиоматика действительных чисел.

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

Поэтому, если Вы хотите использовать характеризацию Alexey Rodionov-а как определение, Вы уже должны построить хоть какую-то модель комплексных чисел.

Во-первых, нет. Потому что если выяснится, что модели не существует, то это будет означать всего лишь, что определение противоречиво, т.е. ничего не определяет. Однако это не будет означать, что это - не определение.

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

Пока Вы не построили модель,

Во-вторых, Вы наверное не заметили, что модель построена.

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

1. "Этого множества" пока еще нету. Вы "это множество" определяете как подмножество $\mathbb C$, но никакого множества $\mathbb C$ и даже никакого имеющего смысл значка $\mathbb C$ пока еще нету.

Я не "определяю это множество как подмножество $\mathbb{C}$", а беру в качестве модели аксиомы 3 множество Дедекиндовых сечений, которое существует независимо от существования или несуществования $\mathbb{C}$.

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

2. Мнимая единица не существует в силу аксиомы 2

Это вообще за гранью разумности. Именно в силу аксиомы 2 и существует мнимая единица. Даже если все остальные аксиомы окажутся противоречивыми, т.е. нам не удастся построить модель всей аксиоматики, взять мнимую единицу как модель одной аксиомы, не глядя на остальные, мы имеем право.

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

3. Про "сложение" и как оно "интерпретируется" тоже не очень понятно, но это уже забегание вперед. Этот момент можно будет рассмотреть, когда придем к какому-то консенсусу по поводу вещей, гораздо более базовых, о которых речь идет выше.

Да, давайте сначала придём к консенсусу о том, что такое формальные системы (аксиоматические теории) и что такое модели. Хотя, послушав Вас, я перестал на это надеяться.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Угу, я не буду с вами говорить о том, что такое что-либо, пока вы не определите что такое "что такое"...

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604188 писал(а):

И, наконец, все эти придирки - мимо кассы, ибо приведённая аксиоматика непротиворечива и категорична ровно в той же степени, в которой непротиворечива и категорична аксиоматика действительных чисел.

Нет, при таком определении все равно совершенно неочевидно, можно ли совместить в одном поле действительные числа и мнимую единицу.

Попробуйте, например, придумать поле, которое содержит а) действительные числа и б) элемент $\alpha$, для которого $\alpha+\alpha+\alpha=0$. По отдельности это возможно.

[epros]

tolstopuz в сообщении #1604201 писал(а):

можно ли совместить в одном поле действительные числа и мнимую единицу

А что может помешать, если у нас есть модель, согласно которой "комплексное число" - это $a+ib$, где $a$ и $b$ - действительные числа?

tolstopuz в сообщении #1604201 писал(а):

Попробуйте, например, придумать поле, которое содержит а) действительные числа и б) элемент $\alpha$, для которого $\alpha+\alpha+\alpha=0$. По отдельности это возможно.

$\mathbb{R}$?

[Geen]

Если

EminentVictorians в сообщении #1604149 писал(а):

Нам нужна была модель для доказательства непротиворечивости системы аксиом

то странно требовать от неё чтобы ноль был правильный....

[EminentVictorians]

epros, Вы разделяете понятия "определить комплексные числа" и "определить формальную теорию комплексных чисел"?

[Geen]

Alexey Rodionov в сообщении #1604127 писал(а):

Низяяяя... В комплексных порядка нет.

А знаете, Ваше поведение похоже на троллинг: на вопросы не отвечаете, аргументы не комментируете (ни за, ни против), но регулярно "набрасываете на вентилятор"....

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604204 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604201 писал(а):

Попробуйте, например, придумать поле, которое содержит а) действительные числа и б) элемент $\alpha$, для которого $\alpha+\alpha+\alpha=0$. По отдельности это возможно.

$\mathbb{R}$?

Ой, совсем забыл уточнить, что $\alpha\ne0$.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604221 писал(а):

epros, Вы разделяете понятия "определить комплексные числа" и "определить формальную теорию комплексных чисел"?

А зачем их разделять? Вот "определить теорию" и "определить модель теории" разделяю (если Вы об этом). Но модель теории по моим понятиям вторична, ибо строится для анализа теории и при этом сама использует аксиоматику другой теории, именуемой метатеорией.

-- Пн авг 07, 2023 08:31:41 --

tolstopuz в сообщении #1604228 писал(а):

Ой, совсем забыл уточнить, что $\alpha\ne0$.

Тогда, пожалуй, такой модели не существует.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604240 писал(а):

А зачем их разделять?

Частью определения формальной теории является определение формального языка. При Вашем подходе, Вам придется как минимум явно вводить формальный язык, вот буквально прямым текстом вводить множества констант, функциональных символов, предикатных символов. Если что, "ввести функциональный символ" - это не просто написать его, а это еще и указать как минимум его арность (как я уже сказал где-то на той странице, я предпочитаю вводить явно сорта, а это значит, что придется указывать еще и сигнатуру; но я готов брать самые минимальные требования).

По-хорошему, для каждого языка определяется еще и исчисление предикатов в этом языке. И это, строго говоря, тоже будет частью определения формальной теории. Но я допускаю, что здесь можно выкрутиться, поэтому я не настаиваю на этом пункте, потому что уже без него Ваше определение комплексных чисел займет не меньше страницы.

А я еще даже не начинал говорить про интерпретацию (т.е. на этом этапе никакого представления комплексных чисел еще нету).

Все то же самое относится к определению действительных чисел - тоже минимум страница текста (в которой не встречаются ни дедекиндовы сечения, ни десятичные дроби, вообще никакое представление не встречается - голая формальная теория).

Вы видели хоть один учебник (не логики), в котором были бы такие определения $\mathbb R$ и $\mathbb C$?

[epros]

EminentVictorians, мы сейчас с Вами практически возвращаемся к теме "Основания математики с точки зрения EminentVictorians". Я отвечу, но дальнейшее развитие темы в этом направлении может далеко выйти за пределы обсуждения конкретного вопроса из раздела помощи.

EminentVictorians в сообщении #1604255 писал(а):

Частью определения формальной теории является определение формального языка. При Вашем подходе, Вам придется как минимум явно вводить формальный язык, вот буквально прямым текстом вводить множества констант, функциональных символов, предикатных символов.

Это всё не потребуется, ибо всем читателям по умолчанию известно. Все понимают, что в аксиоматику поля входят операции сложения и умножения и такие константы как нуль или единица, которые должны быть в сигнатуре теории. Также все в целом понимают, что такое синтаксис языка исчисления предикатов (по крайней мере, первого порядка), так что объяснять что такое кванторы в этой теме тоже никому не нужно.

EminentVictorians в сообщении #1604255 писал(а):

Если что, "ввести функциональный символ" - это не просто написать его, а это еще и указать как минимум его арность (как я уже сказал где-то на той странице, я предпочитаю вводить явно сорта, а это значит, что придется указывать еще и сигнатуру; но я готов брать самые минимальные требования).

Насмешили от души. Если вдруг в теме объявятся писатели, которые начнут рассказывать про арности сложения и умножения, отличные от двух, то по-моему их можно смело банить за невменяемость.

EminentVictorians в сообщении #1604255 писал(а):

По-хорошему, для каждого языка определяется еще и исчисление предикатов в этом языке. И это, строго говоря, тоже будет частью определения формальной теории. Но я допускаю, что здесь можно выкрутиться, поэтому я не настаиваю на этом пункте, потому что уже без него Ваше определение комплексных чисел займет не меньше страницы.

О, да, конечно же исчисление предикатов. Я Вам сейчас расскажу, как мы "выкручиваемся". Просто по умолчанию обычно считается, что мы постараемся всё формализовать в классическом исчислении предикатов первого порядка, синтаксис и аксиоматика которого всем более или менее известны. Тут, конечно, могут быть тонкости, которых не избежала и эта тема. В частности, четвёртая аксиома внезапно оказывается невыразимой в исчислении предикатов первого порядка (ровно в том же смысле, что и аксиома индукции в арифметике Пеано). Но на этот случай, опять же, есть стандартные приёмы "выкручивания":
1) Можно использовать схему аксиом для "любой формулы, выразимой в языке". При этом придётся смириться с некатегоричностью теории.
2) Можно сформулировать метааксиому на метаязыке, каковым обычно выступает язык теории множеств. Разумеется, при этом заметается под ковёр вопрос, в каком исчислении будет формализована метатеория (читай: теория множеств), а значит и вопрос категоричности теории.
3) Можно формализовать теорию в исчислении предикатов второго порядка (например, монадическом), а значит принять в гости всех тараканов, связанных с различиями семантик и т.п. Этот вариант - совсем не для тех, кого устраивают поверхностные решения. Зато можно будет глубокомысленно (ссылаясь на полную семантику) утверждать категоричность теории, ни в малой степени не погрешив против логики.

Вот только, по-моему, это уже довольно далеко выходит за пределы вопросов темы.

EminentVictorians в сообщении #1604255 писал(а):

А я еще даже не начинал говорить про интерпретацию (т.е. на этом этапе никакого представления комплексных чисел еще нету).

Вопрос в том, что Вы называете "представлением комплексных чисел". По моим понятиям любые "представления" о чём бы то ни было - это теории, каковые на бумаге могут существовать только в форме аксиоматик (хотя в фантазиях некоторых могут существовать также т.н. "содержательные теории", невыразимые никакими аксиоматиками).

При этом я догадываюсь, что Вы можете считать, что получите "представление о комплексных числах" только после того, как построите их модель. Так вот:
1) Модель комплексных чисел - это модель аксиоматики комплексных чисел.
2) Модель аксиоматики (она же - интерпретация языка теории, в которой выполнены все аксиомы) строится в рамках метатеории, имеющей собственную аксиоматику. И нужна она обычно только для какого-то дополнительного анализа аксиоматики. Ибо на некоторые вопросы может ответить только метатеория. Например, доказать неразрешимось некоего вопроса в рамках заданной аксиоматики без метатеории невозможно.

Но в целом построение модели вовсе не является обязательным.

EminentVictorians в сообщении #1604255 писал(а):

Вы видели хоть один учебник (не логики), в котором были бы такие определения $\mathbb R$ и $\mathbb C$?

Ха, все такие. Просто Вы почему-то считаете, что аксиомы должны быть изложены на строго формальном языке, да ещё и с подробным изложением в преамбуле синтаксиса этого языка. А на самом деле большинство аксиом прекрасно формулируются человеческими словами, ибо перевод их на формальный язык - тривиальная задача (для знающего человека).

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604240 писал(а):

Тогда, пожалуй, такой модели не существует.

А как убедиться, что существует модель, удовлетворяющая четырем аксиомам ТС?

Это я к тому, что описание поля путем перечисления элементов, которые хотелось бы в нем иметь, является крайне неестественной конструкцией.