Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[Alexey Rodionov]

Евгений Машеров в сообщении #1604038 писал(а):

Лично мне кажется, что проблема "как умножить действительное число на комплексное" чисто мнимая, поскольку никто действительные числа на комплексные и наоборот не умножает. Все перемножают комплексные числа. А запись вида $r \cdot c$ есть всего лишь упрощение записи $complex(r,0)\cdot c$, где complex(.,.) есть функция, выдающая комплексное число, соответствующее паре действительных. Но поскольку такое преобразование тривиально, его запись опускают.

Отнюдь не тривиально. И это хорошо видно прямо здесь уже на трех страницах.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1604039 писал(а):

любая группа состоит из двух элементов

Не любая. Пустая группа (пустой носитель и пустая операция) состоит из одного элемента (Но это если определять функцию как график. Если определять как тройку, будет 2 элемента) Фигню написал. Группа - это упорядоченная пара из носителя и другой упорядоченной пары из двух операций ("умножение" и "единица"). Для пустой группы носитель - $\varnothing$. Умножение - $\varnothing$. Единица - $\varnothing$. Получается, что пустая группа имеет вид $(\varnothing, (\varnothing, \varnothing)) = (\varnothing, \{\{\varnothing\}\}) = \{\{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\}$. Функция здесь определяется как график, можно и по-другому.

[Alexey Rodionov]

EminentVictorians в сообщении #1604039 писал(а):

Перед тем, как задавать такой вопрос, необходимо зафиксировать хоть какую-нибудь модель $\mathbb C$. До этого шага вопрос не имеет смысла.

Наличие мнимой единицы постулируется. И не мнимой тоже. Вполне возможно, и без модели обнаружатся действительная и мнимая части. Или уже все известно?

[epros]

Alexey Rodionov в сообщении #1604034 писал(а):

где у комплексного числа мнимая часть и из чего сделана?

Вероятно, она сделана из той мнимой единицы, которая зашита в аксиоматику.

[tolstopuz]

Alexey Rodionov в сообщении #1604047 писал(а):

Отнюдь не тривиально. И это хорошо видно прямо здесь уже на трех страницах.

А программирование эти студенты проходили? Им известно, например, что числа 1 и 1. имеют не только разное битовое представление, но даже разный размер, и неявное преобразование первого ко второму - на самом деле явная операция на уровне машинного кода? Ну и с действительными и комплексными числами аналогично.

[Alexey Rodionov]

tolstopuz в сообщении #1604043 писал(а):

Alexey Rodionov в сообщении #1604036 писал(а):

Не полная. Действительные и целые - не моя проблема. На коллег свалено.

"Забудьте все, чему вас учили мои коллеги..." :)

Я студентов материально (баллами) и площадно (при всем народе, на главной площади) поощряю за указание математических ошибок в опубликованных текстах и в моих безграмотных грамотах. Но исследования произведений коллег на конкурс не принимаю. Сожрут.

[Евгений Машеров]

Это не более чем софизм, полученный из того, что сокращённый оборот речи "умножаем комплексное на действительное", полученный из верного, но слишком длинного "перемножаем два комплексных числа, причём один из сомножителей имеет нулевую мнимую часть" принимают за строгую формулировку и критикуют на том уровне строгости, которого заслуживает полная формулировка.
Всё равно, что видеть противоречие с гелиоцентрической системой во фразе "Солнце взошло".

[Утундрий]

А если так? Определим $\mathbb R$ любым удобным способом. Обозначим посредством $\mathbb C$ совокупность формальных выражений вида $a+b \cdot \mathbf i$, где $a$ и $b$ живут в $\mathbb R$, а $\mathbf i$ - некая неведомая фигня, подчиняющаяся, однако, тем же правилам сложения и умножения, что и "нормальные" числа и ещё двум дополнительным условиям: 1) $\mathbf i ^2=-1$, 2) $\mathbf i \cdot 0 =0$. Тогда никаких двойных нулей не возникает и $\mathbb R$ таки лежит (не нашёл символа "таки лежит", поэтому пишу словами) в $\mathbb C$.

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1604080 писал(а):

формальных выражений

Нужно определение. Лично я не знаю, что такое "формальное выражение".

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1604082 писал(а):

Нужно определение. Лично я не знаю, что такое "формальное выражение".

А какое определение вам нужно--формальное или неформальное?

[epros]

EminentVictorians, все определения даны. Для $\mathbb{C}$ - топикстартером, а для действительных чисел, если Вам нравится, можете брать Дедекиндовы сечения. Что мешает Вам считать, что элементами $\mathbb{C}$ в том числе являются Дедекиндовы сечения?

[EminentVictorians]

Red_Herring в сообщении #1604087 писал(а):

А какое определение вам нужно--формальное или неформальное?

Любое, базирующееся на теоретико-множественной основе. Если я что-то не пойму, я просто задам уточняющие вопросы.

epros в сообщении #1604088 писал(а):

Что мешает Вам считать, что элементами $\mathbb{C}$ в том числе являются Дедекиндовы сечения?

Нету в $\mathbb C$ (какую бы модель Вы бы ни выбрали) дедекиндовых сечений. Это медицинский факт. Давайте возьмем в качестве модели - упорядоченные пары вещественных (если хотите другую, можете предложить свой вариант). Что собой (как множество) представляет комплексный ноль $0_\mathbb C$? Это упорядоченная пара $(0_\mathbb R, 0_\mathbb R)$ двух действительных нулей. Теперь посмотрим, что из себя представляет $0_\mathbb R$ как множество. Дедекиндовы сечения можно по-разному определять. Можно определить как только нижний класс. При таком определении $0_\mathbb R$ будет бесконечным множеством рациональных чисел. Можно определить как упорядоченную пару двух подмножеств $\mathbb Q$, удовлетворяющих известным условиям. Тогда действительный ноль будет упорядоченной парой из двух подмножеств $\mathbb Q$. Но в любом случае $0_\mathbb C$ и $0_\mathbb R$ - это разные множества.

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1604090 писал(а):

Любое, базирующееся на теоретико-множественной основе. Если я что-то не пойму, я просто задам уточняющие вопросы.

Начнём с того, что вы даёте своё определение $\mathbb{C}$.

(Оффтоп)

Если преподаватель, читающий ТФКП, тратит время на подобные вещи, то он(а) не даёт чего-то гораздо более важного. И пусть читает что-то другое (но не Анализ--в широком смысле слова). И лучше не для математиков, а философов.

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Поле комплексных чисел $\mathbb{C} $это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное $\mathbb{R}$ . 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле $\mathbb{C} $минимально

А что, тогда это подполе $\mathbb{R}$ неединственно?

Но определение, конечно, заточено на то, чтобы доставить трудности, ненужные никому, кроме алгебраистов

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1604008 писал(а):

Модель - это множество с введенными на нем операциями и отношениями. Для вещественных чисел я знаю 5 моделей: сечения Дедекинда, десятичные дроби, фундаментальные последовательности, почти гомоморфизмы
(сразу из целых), вариант Колмогорова
(сразу из натуральных).

ОМГ! То есть модель - это множество, с любыми (хоть какими), введенными на нем, операциями и отношениями. Нуок
Вы можете как-то аргументировать необходимость этого понятия?

-- 05.08.2023, 20:04 --

EminentVictorians в сообщении #1604082 писал(а):

Нужно определение.

Предлагаю, разобраться сначала с определением модели

-- 05.08.2023, 20:06 --

Alexey Rodionov в сообщении #1604047 писал(а):

И это хорошо видно прямо здесь уже на трех страницах.

Количество страниц кореллирует с тривиальностью? Есть исследования на эту тему?

[tolstopuz]

Red_Herring в сообщении #1604091 писал(а):

Но определение, конечно, заточено на то, чтобы доставить трудности, ненужные никому, кроме алгебраистов

Оно и с точки зрения алгебраиста максимально неестественно. Алгебраист начнет с $\mathbb{R}$ и присоединит к нему корень многочлена $x^2+1=0$, а здесь:

1) Поле. Ага, может, $\mathbb{F}_5$, как в песне? Нет, все-таки совершим мыслительное усилие и догадаемся, что характеристики $0$, то есть содержащее $\mathbb{Q}$.
2) Содержащее мнимую единицу. Отлично, у нас есть $\mathbb{Q}(i)$.
3) Содержащее подполе, изоморфное $\mathbb{R}$. Где конструкция, дающая минимальное по включению поле, содержащее $\mathbb{Q}(i)$ и $\mathbb{R}$? Я что-то такой не припомню.

-- Сб авг 05, 2023 20:20:45 --

EminentVictorians в сообщении #1604082 писал(а):

Нужно определение. Лично я не знаю, что такое "формальное выражение".

$\mathbb{R}[i]/(i^2+1)$. Кольцо многочленов как раз и является местом обитания тех самых "формальных выражений" с "неведомой фигней".