Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[EminentVictorians]

EUgeneUS, давайте я более развернуто отвечу на Ваш вопрос.

Всюду в этой теме речь шла о моделях аксиоматических систем. Более того, рассматриваемые аксиоматические системы сводились всего лишь к двум: действительным и комплексным числам. Слово "модель" употребляется, если подходить к делу строго, не само по себе в вакууме, а в форме "модель той или иной аксиоматической системы". Разумеется, операции и отношения на модели должны удовлетворять требованиям, сформулированным в аксиоматической системе. Например, мы можем сформулировать известные аксиомы группы. Теперь берем любую конкретную группу (ну я не знаю, пусть это будет группа переставнок $S_{10}$). И вот эта конкретная группа будет моделью той аксиоматической системы, о которой шла речь выше.

В большинстве случаев аксиоматические системы формулируются неформально, на языке наивной теории множеств. В частности, аксиомы группы такие и есть. Если хочется совсем строго, то тогда надо погружаться в матлогику. Это довольно длинная история, начинающаяся с повествования о логико-математических языках. Сначала рассказывают про самые простые из таких языков - языки первого порядка. Уже, кстати, на этом этапе у разных авторов начинаются расхождения - определения языков первого порядка часто неэквивалентны. Мне нравится вариант с четверкой: $\Omega = (Srt, Cnst, Fn, Pr)$ (язык Омега задается четырьмя множествами: множеством сортов, множеством констант, множеством функциональных символов и множеством предикатных символов). Далее мы можем определить "правильно построенные выражения" в этом языке - термы и формулы, и только после этого можно говорить об интерпертации языка $\Omega$. Интерпетацию языка мы начинаем с задания носителя. Носитель, кстати, - это не просто подлежащее множество, а целое семейство таких множеств вида $D_\pi$, индексированных сортами $\pi$. Ну и дальше пошла классика. Каждой константе $c$ сорта $\pi$ ставим в соответствие элемент $\overline{c} \in D_\pi$. Каждому функциональному символу $f$ сигнатуры $(\pi_i, ..., \pi_k \to \pi)$ ставим в соответствие функцию $\overline{f}:D_{\pi_1} \times ... \times D_{\pi_k} \to D_\pi$. Каждому предикатному символу $P$ сигнатуры $(\pi_1, ..., \pi_k)$ ставим в соответствие отношение $\overline{P} \subset D_{\pi_1} \times ... \times D_{\pi_k}$. И тем самым мы определим модель $M$ для языка $\Omega$.

Отдельно отмечу, что выше речь шла про интерпретацию языка, а не теории. Интерпретация теории - это уже другая история. Сначала мы определяем исчисление предикатов для наших языков. Т.к. у нас логико-математические языки первого порядка, то и исчисление предикатов у нас первого порядка. Исчисление предикатов задается аксиомами и правилами вывода (перечислять не буду, это известные вещи). Далее мы определяем формальную теорию в нашем языке $\Omega$. Это просто множество предложений языка $\Omega$ (их еще называют нелогическими аксиомами). И если теперь в нашей интерпретации $M$ языка $\Omega$ истинны все нелогические аксиомы нашей формальной теории $T$, то мы называем $M$ интерпретацией формальной теории $T$.

Более-менее строгий ответ про модели - примерно такой. Для вещественных и комплексных чисел такой уровень формализации излишний. Поэтому для них модель - это просто множество с отношениями и операциями, которые удовлетворяют требованиям, сформулированным в аксиомах (навреное мне надо было дописать эту часть предложения явно). Как бы Вы их не определяли, говорить о моделях придется в любом случае.

[Alexey Rodionov]

EUgeneUS в сообщении #1604093 писал(а):

Количество страниц кореллирует с тривиальностью? Есть исследования на эту тему?

На каждой из трех первых страниц нахожу мнение, иногда явно выраженное, что комплексное число с нулевой мнимой частью $(a,0) $, это число действительное, а именно, число $a$. То есть, $a = (a,0)$. Так что ваше утверждение для выразителей мнений не только не тривиально, но и сомнительно. Количество страниц, конечно, не так важно, как количество мнений.

[Geen]

Alexey Rodionov в сообщении #1604124 писал(а):

Количество страниц, конечно, не так важно, как количество мнений.

Как сторонний зритель констатирую, что мнений три:
1) Ваше, до конца не понятное, поэтому отдельно
2) мнение EminentVictorians, который известен тем, что любит "странное"
3) мнение всех остальных, что это полная фигня
...
Хотя, недавно тут появилось мнение, что формулировка из Вашего стартового поста тоже фигня...

[Alexey Rodionov]

epros в сообщении #1604051 писал(а):

Вероятно, она сделана из той мнимой единицы, которая зашита в аксиоматику.

В самом деле? Вы знаете как и мне скажете? Что-то стало интересно, а сам никак не въеду.

-- 06.08.2023, 02:04 --

KhAl в сообщении #1604033 писал(а):

ну смените обозначения и называйте вещественным числом комплексное с нулевой мнимой частью.

Низяяяя... В комплексных порядка нет.

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1604126 писал(а):

3) Хотя, недавно тут появилось мнение, что формулировка из Вашего стартового поста тоже фигня...

По крайней мере некоторые считают, что
4) не фигня, но извращение.
Я считаю, что
4а) это извращение на уровне садомазохизма.

И мы можем обсудить, что хуже: фигня или извращение.

[KhAl]

Alexey Rodionov
у меня тут вопрос возник. а что значит слово "минимальное" в вашем определении C? это важно.

[Andrey A]

(Оффтоп)

Всё фигня кроме пчел. А... и пчелы фигня.
— А вот товарищ говорит извращение...

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604090 писал(а):

Нету в $\mathbb C$ (какую бы модель Вы бы ни выбрали) дедекиндовых сечений.

Это Ваш символ веры? В качестве модели любой аксиоматики можно выбрать множества, содержащие совершенно любые элементы: хоть счётные палочки, хоть птичек разных видов, хоть Дедекиндовы сечения.

Alexey Rodionov в сообщении #1604127 писал(а):

epros в сообщении #1604051 писал(а):

Вероятно, она сделана из той мнимой единицы, которая зашита в аксиоматику.

В самом деле? Вы знаете как и мне скажете? Что-то стало интересно, а сам никак не въеду.

А во что тут въезжать? Берёте то самое подполе, которое согласно аксиоматике (пункт 3) изоморфно $\mathbb{R}$, обозначаете его элементы как $a$, $b$ и т.п. Берёте ту самую мнимую единицу, которая согласно аксиоматике (пункт 2) содержится в поле $\mathbb{C}$, обозначаете её как $i$. Убеждаетесь в соответствии с аксиоматикой, что поле $\mathbb{C}$ состоит из всех тех и только тех элементов, которые можно представить как $a+ib$.

[EminentVictorians]

epros, я не понимаю, с чем Вы спорите. Моя мысль про модели, вложения и образы довольно простая. И мне кажется, что Вы все поняли и спорите просто по инерции. Вот выше я говорил про модели $\mathbb R$.

EminentVictorians в сообщении #1604008 писал(а):

Для вещественных чисел я знаю 5 моделей: сечения Дедекинда, десятичные дроби, фундаментальные последовательности, почти гомоморфизмы(сразу из целых), вариант Колмогорова(сразу из натуральных).

Ну да, наверное можно взять абсолютно рандомное континуальное множество, установить биекцию дедекиндовых сечений с ним, перенести операции и отношения с дедекиндовых сечений на это невнятное множество и потом любоваться тем, что получилась "модель". Но, очевидно, что это бессмысленные телодвижения. От модели хочется, чтобы она была как-то удобно и единообразно определена, чтобы с ней было удобно работать. А тут мы берем нормальную модель, затем устанавливаем биекцию с не пойми чем и что дальше?... Нам нужна была модель для доказательства непротиворечивости системы аксиом, а в этом построении у нас и так есть нормальная модель, которую можно взять саму по себе и ничего не строить с ее помощью. А, ну да. Можно построить такую модель, чтобы потом убеждать меня, что модель может состоять из любых элементов. Но как Вы думаете, это было оправдано потратить примерно 1 страницу из темы на обсуждение вот этого всего? Вы могли за 1 предложение сказать: "берем нормальную модель, биекцию с рандомным множеством, переносим отношения и операции и это то, что я имею в виду". Я бы, разумеется, согласился, а не распинался бы несколько постов объяснять, чем вещественный ноль отличается от комплексного в принятых моделях.

И это никакой не символ веры. Если прочитать мои первые сообщения, я там этот момент явно подразумеваю и пишу вполне аккуратно:

EminentVictorians в сообщении #1603953 писал(а):

При выбранных моделях (мне известных) $\mathbb C$ расширяет не $\mathbb R$, а образ $\mathbb R$ при вложении в $\mathbb C$.

Я допускаю, что теоретически может существовать нормальная модель $\mathbb C$, в которую вещественные числа (например, в виде тех же дедекиндовых сечений) входят как подмножество. Но мне такая модель не известна. Если Вам известна - не проще ли явно построить ее здесь, в этой теме, вместо того, чтобы убеждать меня в ее существовании? (но я очень сильно сомневаюсь, что она у Вас есть).

[KhAl]

Я не понимаю, о чём спор. Строите сначала обычные вещественные числа, но называете их, скажем, псевдовещественные числа и обозначаете $\widetilde{\mathbb{R}}$. Затем как угодно (но не так, как ТС, когда он мне ответит -- прокомментирую) строите по ним $\mathbb{C}$ вместе с вложением $\widetilde{\mathbb{R}} \hookrightarrow \mathbb{C}$, и образ $\widetilde{\mathbb{R}}$ при этом вложении называете $\mathbb{R}$. Всё.

-- 06.08.2023, 11:32 --

Alexey Rodionov в сообщении #1604124 писал(а):

То есть, $a = (a,0)$.

Такой чуши, кстати, никто кроме вас не писал.

-- 06.08.2023, 11:37 --

EminentVictorians, что за Колмогоровский вариант?

[EminentVictorians]

KhAl в сообщении #1604151 писал(а):

что за Колмогоровский вариант?

Вот ссылка.

С Вашим способом, если что, согласен.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604149 писал(а):

epros, я не понимаю, с чем Вы спорите. Моя мысль про модели, вложения и образы довольно простая.

Я не понимаю с чем ВЫ спорите, поскольку моя мысль про то, что модели могут быть построены из любых элементов, включая Дедекиндовы сечения, совершенно тривиальная.

EminentVictorians в сообщении #1604149 писал(а):

Я допускаю, что теоретически может существовать нормальная модель $\mathbb C$, в которую вещественные числа (например, в виде тех же дедекиндовых сечений) входят как подмножество. Но мне такая модель не известна. Если Вам известна - не проще ли явно построить ее здесь, в этой теме, вместо того, чтобы убеждать меня в ее существовании? (но я очень сильно сомневаюсь, что она у Вас есть).

Мне дюже удивительно, что Вы давно уже не построили её в своей голове. Попробую Вам помочь в этом тривиальном мероприятии. Для начала берём множество всех Дедекиндовых сечений и считаем, что они составляют то самое подмножество $\mathbb{C}$, которое существует в силу аксиомы 3, приведённой в первом сообщении топикстартера. Составляем из двух произвольных элементов этого множества $a$ и $b$ конструкцию вида $a+ib$, где $i$ интерпретируется как элемент $\mathbb{C}$, существующий в силу аксиомы 1, а операции умножения и сложения интерпретируются любым способом, соответствующим аксиоме 1 (утверждающей, что $\mathbb{C}$ - поле). Из всех конструкций такого вида составляем множество $\mathbb{C}$.

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО. Строгость нужна, как парадный мундир. Но воюют в полевой форме. При этом парадка не бесполезна - она доказывает, что это армия, а не вооружённая банда, но в бой идут в чём попроще, без прибамбасов, всяких там аксельбантов и выпушек с петличками.
Приведено строгое определение комплексных чисел. В котором никаких операций с действительными действительно не предусмотрено. Единственная отсылка к действительным числам - что есть подполе, изоморфное действительным числам. Умножать мы вправе лишь комплексное на комплексное.Но подполе, изоморфное действительным числам, это вполне себе комплексные числа, на них умножать незападлозаконно. Поэтому строгая формулировка должна быть "воспользовавшись изоморфизмом, находим элемент изоморфного действительным числам подполя поля комплексных чисел, изоморфный заданному действительному числу, и умножаем на него". А краткая, ради практической работы - "умножаем на действительное число", держа в памяти, как парадный мундир в гардеробе, что, строго говоря, умножаем комплексные.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604159 писал(а):

мысль про то, что модели могут быть построены из любых элементов, включая Дедекиндовы сечения, совершенно тривиальная.

Я знаю только одну* модель, построенную из дедекиндовых сечений - модель действительных чисел. Моделей комплексных чисел, в которых фигурировали бы дедекиндовы сечения, я не знаю.
*(Ну, тут конечно есть небольшая тонкость - дедекиндовы сечения могут по-разному определяться. Поэтому есть примерно 3-4 формально различных моделей действительных чисел, основанных на дедекиндовых сечениях. Но это все модели именно действительных чисел, а не чего-то еще)

epros в сообщении #1604159 писал(а):

Для начала берём множество всех Дедекиндовых сечений и считаем, что они составляют то самое подмножество $\mathbb{C}$, которое существует в силу аксиомы 3, приведённой в первом сообщении топикстартера. Составляем из двух произвольных элементов этого множества $a$ и $b$ конструкцию вида $a+ib$, где $i$ интерпретируется как элемент $\mathbb{C}$, существующий в силу аксиомы 1, а операции умножения и сложения интерпретируются любым способом, соответствующим аксиоме 1 (утверждающей, что $\mathbb{C}$ - поле). Из всех конструкций такого вида составляем множество $\mathbb{C}$.

Теперь понял, что Вы имели в виду все это время. Мое мнение, что так не получится (в том смысле, что так делать - формально некорректно). По нескольким причинам.

Вот Вы ссылаетесь на "определение" , которое дал Alexey Rodionov:

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.

В обычной ситуации я, конечно, приму это как определение (и оно мне даже нравится), но не в такой теме, как эта. Строго говоря, это не определение. Это, можно сказать, неформальная характеризация. Объясню, почему это не определение. Здесь дела обстоят совершенно аналогично, как и при любом аксиоматическом определении. Список аксиом не является аксиоматическим определением. Аксиоматическое определение состоит из 3-х частей:
1)Список аксиом
2)Доказательство непротиворечивости (во всех известных мне случаях доказывается предъявлением модели)
3)Доказательство категоричности (доказательство того, что все модели данной системы аксиом изоморфны)

Поэтому, если Вы хотите использовать характеризацию Alexey Rodionov-а как определение, Вы уже должны построить хоть какую-то модель комплексных чисел. Пока Вы не построили модель, Вы еще элементарно не завершили определение комплексных чисел. Сам значок $\mathbb C$ на этом этапе просто ничего не значит. А Вы его уже в своем первом предложении во всю используете. Чтобы значок что-то значил, он должен быть присвоен какому-то объекту (в частности, например, какой-то модели комплексных чисел). Но у Вас-то ее (модели) пока нету.

epros в сообщении #1604159 писал(а):

Составляем из двух произвольных элементов этого множества $a$ и $b$ конструкцию вида $a+ib$, где $i$ интерпретируется как элемент $\mathbb{C}$, существующий в силу аксиомы 1, а операции умножения и сложения интерпретируются любым способом, соответствующим аксиоме 1 (утверждающей, что $\mathbb{C}$ - поле).

К этому фрагменту тоже много вопросов.
1. "Этого множества" пока еще нету. Вы "это множество" определяете как подмножество $\mathbb C$, но никакого множества $\mathbb C$ и даже никакого имеющего смысл значка $\mathbb C$ пока еще нету.
2. Мнимая единица не существует в силу аксиомы 2. Мнимая единица может существовать как объект модели, существующей в силу корректного и категоричного аксиоматического определения. У Вас аксиоматического определения пока нету (модель-то не построена).
3. Про "сложение" и как оно "интерпретируется" тоже не очень понятно, но это уже забегание вперед. Этот момент можно будет рассмотреть, когда придем к какому-то консенсусу по поводу вещей, гораздо более базовых, о которых речь идет выше.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1604167 писал(а):

Аксиоматическое определение состоит из 3-х частей

Почему это?
Мы можем ввести произвольный список аксиом, и дальше из него что-то выводить. Категоричность тут точно не нужна совсем (и её часто нет). Без непротиворечивости эта вся деятельность будет не очень осмысленной, но ничему не противоречащей.

А если хочется построить комплексные числа чтобы вещественные были комплексными - то это очень просто, объявим $\mathbb C = \mathbb R \cup \{\mathbb R\} \times (\mathbb R \setminus \{0\}) \times \mathbb R$, операции понятно как вводить.