Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604011 писал(а):

Так а почему оно мнимую единицу-то обязано содержать? Мнимую единицу содержит $\mathbb C$, а не $\mathbb R$.

Я и сказал, что подмножество не обязано содержать мнимую единицу. Откуда тогда Ваши заморочки с тем, что действительные числа якобы не могут составлять подмножество комплексных, а значит с ними не могут выполняться те же операции, что с любыми комплексными?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604013 писал(а):

Откуда тогда Ваши заморочки с тем, что действительные числа якобы не могут составлять подмножество комплексных, а значит с ними не могут выполняться те же операции, что с любыми комплексными?

Так не из-за мнимой единицы же, а просто из теории множеств и определения того, что такое подмножество. Фиксируем по модели для $\mathbb R$ и $\mathbb C$ (например, сечения Дедекинда и упорядоченные пары вещественных чисел). Смотрим на вещественное число $0$. Что это такое? Это сечение Дедекинда. Явлется ли оно комплексным числом? Нет, не является (потому что в множестве комплексных чисел сечений Дедекинда нету; комплексный ноль - это упорядоченная пара из двух нулевых сечений Дедекинда).

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604015 писал(а):

Нет, не является (потому что в множестве комплексных чисел сечений Дедекинда нету

Это ерунда какая-то. Ибо согласно теории моделей

EminentVictorians в сообщении #1604015 писал(а):

модели для $\mathbb R$ и $\mathbb C$

- это ни что иное, как множества. И если подумать, то выяснится, что одно из них является подмножеством другого.

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1604015 писал(а):

Фиксируем по модели для $\mathbb R$ и $\mathbb C$

"Про одного философа". С. Маршак писал(а):

"Мир, - учил он, - мое представление!"
А когда ему в стул под сидение
Сын булавку воткнул,
Он вскричал: "Караул!
Как ужасно мое представление!"

[Утундрий]

Какие титанические усилия приходится прилагать, чтобы распознать действительное число в комплексном с нулевой мнимой частью. Это даже не пуризм, это я уже даже не знаю что.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Кстати, вопрос к ТС: как удалось объяснить студентам, что действительное число можно умножать на целое? Ситуация ведь аналогичная.

Аналогия не полная. Про действительные и целые должны были объяснять коллеги. Они вполне здоровы и проблемы не видят. Мне же предлагается считать, что действительные числа прошиты в спинном мозгу. Так что задача упрощается. Всего-то и дел - объяснить, что подразумевается под словом "отождествляем". Примерно так, как здесь предлагалось я это и сделал. Пришлось, правда, поговорить о том, почему в книжках этого не пишут. Помогла художественная литература. Рассказ "Максимка". Помните, там матрос Лучкин учит арапченка русскому языку и говорит "рубах" вместо "рубаха". Так арапчонку легче.

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov в сообщении #1604029 писал(а):

Аналогия не полная.

Полная здесь аналогия. Точно так же, как действительные числа не являются подмножеством комплексных, целые числа не являются подмножеством действительных.

[mihaild]

А ещё элементы группы нельзя перемножать, потому что группа это кортеж из носителя и операции. В чем смысл?

[KhAl]

Alexey Rodionov
ну смените обозначения и называйте вещественным числом комплексное с нулевой мнимой частью.

[Alexey Rodionov]

KhAl в сообщении #1604033 писал(а):

Alexey Rodionov
ну смените обозначения и называйте вещественным числом комплексное с нулевой мнимой частью.

Я бы с удовольствием, но где у комплексного числа мнимая часть и из чего сделана?

[KhAl]

а, у вас другое определение C... тогда смените обозначения и называйте вещественными числами то "подполе, изоморфное R"

-- 05.08.2023, 14:29 --

он издевается!

[Alexey Rodionov]

EminentVictorians в сообщении #1604030 писал(а):

Alexey Rodionov в сообщении #1604029 писал(а):

Аналогия не полная.

Полная здесь аналогия. Точно так же, как действительные числа не являются подмножеством комплексных, целые числа не являются подмножеством действительных.

Не полная. Действительные и целые - не моя проблема. На коллег свалено.

[Евгений Машеров]

Лично мне кажется, что проблема "как умножить действительное число на комплексное" чисто мнимая, поскольку никто действительные числа на комплексные и наоборот не умножает. Все перемножают комплексные числа. А запись вида $r \cdot c$ есть всего лишь упрощение записи $complex(r,0)\cdot c$, где complex(.,.) есть функция, выдающая комплексное число, соответствующее паре действительных. Но поскольку такое преобразование тривиально, его запись опускают.

[EminentVictorians]

mihaild, я довольно сильно уверен, что конкретно Вам гораздо комфортнее мыслить в терминах множеств, вложений и изоморфизмов, чем в терминах "отождествим", "будем считать несущественным тот факт, что..." и тому подобных. Просто потому что мыслительное усилие для этого минимальное, а ясность получается вполне себе неиллюзорной. Я бы даже поставил на то, что Вы любое "отождествим" сразу переводите на язык вложений (или фактормножеств, для них тоже "отождествим" часто используется). И то, что любая группа состоит из двух элементов - тоже кстати полезное знание (Вы же сами за время пребывания на форуме неоднократно видели проблемы с формулированием мыслей в духе "кто на ком стоял" - вот это все берет корни из отсутствия привычки к строгим определениям). И то, что $1 \in 2$ (при понятно каком определении натуральных чисел) - тоже не самая бесполезная информация.

-- 05.08.2023, 15:02 --

Alexey Rodionov в сообщении #1604034 писал(а):

Я бы с удовольствием, но где у комплексного числа мнимая часть и из чего сделана?

Перед тем, как задавать такой вопрос, необходимо зафиксировать хоть какую-нибудь модель $\mathbb C$. До этого шага вопрос не имеет смысла.

[tolstopuz]

Alexey Rodionov в сообщении #1604036 писал(а):

Не полная. Действительные и целые - не моя проблема. На коллег свалено.

"Забудьте все, чему вас учили мои коллеги..." :)