Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1603966 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1603965 писал(а):

А как точно определяется "содержащее мнимую единицу"?

Имеет объект, квадрат которого равен $(-1)$.

А $(-1)$ - это элемент, противоположный к $1$ - единичному элементу поля $\mathbb{C}$, который ни в коем случае нельзя путать с действительным числом $1$, которое в свою очередь нельзя путать с рациональным числом $1$ и тем более с целым числом $1$?

Кстати, вопрос к ТС: как удалось объяснить студентам, что действительное число можно умножать на целое? Ситуация ведь аналогичная.

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1603968 писал(а):

А $(-1)$ - это элемент, противоположный к $1$ - единичному элементу поля $\mathbb{C}$, который ни в коем случае нельзя путать с действительным числом $1$, которое в свою очередь нельзя путать с рациональным числом $1$ и тем более с целым числом $1$?

Да, все так. (Ну путать конечно же можно, вложения-то есть; но тема о формальностях, поэтому приходится проговаривать)

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1603969 писал(а):

Да, все так. (Ну путать конечно же можно, вложения-то есть; но тема о формальностях, поэтому приходится проговаривать)

Если удастся рассказать о вложениях без обсценной лексики, то да.

Кстати, Зорич просто разрубает этот узел - определяет действительные числа аксиоматически (существование вообще не доказывает, категоричность оставляет в упражнениях), а натуральные, целые и рациональные числа определяет как подмножества действительных. И намекает, что правильный путь - обратный, но его знать еще рано.

Вот тогда первая проблема с проговариванием вложений действительно возникает при введении комплексных чисел. А там у Зорича, как обычно, "отождествим".

[Red_Herring]

Я так понял, что с тезисом

Red_Herring в сообщении #1603960 писал(а):

И курица--не птица, и алгебраист--не математик

все согласны.

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1603970 писал(а):

существование вообще не доказывает

Если это так, то это плохо. Без этого шага аксиоматическое определение формально некорректно.

tolstopuz в сообщении #1603970 писал(а):

натуральные, целые и рациональные числа определяет как подмножества действительных.

Мне такой подход не очень нравится. Натуральные числа можно по разному определять, в зависимости от того, какая у нас базовая теория (если ZFC, то тоже больше одного варианта: конечные ординалы, конечные кардиналы, минимальное индуктивное множество, может быть еще как-то). Целые числа - это замыкание натруальных относительно вычитания (а скорее всего можно и как-нибудь более красиво, желательно как-нибудь в духе теорката: "минимально расширить моноид до кольца", но это надо думать, я так сходу не знаю, как это сделать), рациональные - это локализация целых, ну и дальше вещественные как-нибудь.

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1603974 писал(а):

Если это так, то это плохо. Без этого шага аксиоматическое определение формально некорректно.

Зорич честно пишет:

Цитата:

Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них.

И далее примерно то же, что и у вас, свободным текстом.

Это просто подпорка для первокурсников, которых уже давно не кормят на первых занятиях сечениями или, не дай бог, бесконечными десятичными дробями. Даже Рудин в третьем издании, так у нас и не вышедшем (я сделал любительский перевод), перешел на аксиоматическое определение действительных чисел, правда, построение все-таки оставил в приложении.

EminentVictorians в сообщении #1603974 писал(а):

(а скорее всего можно и как-нибудь более красиво, желательно как-нибудь в духе теорката: "минимально расширить моноид до кольца", но это надо думать, я так сходу не знаю, как это сделать)

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_group

[Утундрий]

Честно, не вижу смысла спорить с тем, кто в конечном итоге приходит к выводу, что и то и это - одно и то же. Пусть даже и совершает упомянутый переход задне-проходным способом. Замечу только, что всю затраченную энергию можно было пустить на более созидательные проекты.

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1603975 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_group

Про группу Гротендика я как раз недавно узнал. Это очень близкая идея, да. Просто в $\mathbb Z$ еще и умножение есть, его тоже хотелось бы получить как-нибудь инвариантно. Но это уже второстепенно.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1603950 писал(а):

Сначала надо зафиксировать модели $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

Как бы не возражаю, что нужно зафиксировать модели. Надо, так надо. (Хотя есть некие сомнения).
Но не могли бы Вы дать определение: что такое модель в данном контексте?

[epros]

Ну, друзья, Вы и заморочились.

Скажите, разве из

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

2)Содержащее мнимую единицу,

следует, что любое его подмножество должно содержать мнимую единицу?

[Andrey A]

Утундрий в сообщении #1603976 писал(а):

Замечу только, что всю затраченную энергию можно было пустить на более созидательные проекты.

Например, на создание новой супер-бомбы. Нет уж. Пусть люди занимаются себе демагогией, а машины решают задачи ищут ответы, ну, или как хотите называйте. Потихоньку забудем, как устроена не только атомная бомба, но и всё то, с чего ее можно сбросить. Наступит мир и благоденствие (топоры, копья, стрелы и т.п.), властителем мира будет объявлен обладатель последнего исправного кукурузника (ТА-ТА-ТА-ТА... бросаем мотыги и делаем КУ).
Если серьезно, похоже на троллинг, причем жесткий.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1603956 писал(а):

В любом случае (даже если мы используем "аксиоматическое" определение), придется выбрать модель.

Зачем?

EminentVictorians в сообщении #1603956 писал(а):

Далее мы эту модель (которую мы только что выбрали) обозначим буквой $\mathbb R$ и станем называть множеством действительных чисел.

Почему?

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1603988 писал(а):

Но не могли бы Вы дать определение: что такое модель в данном контексте?

Модель - это множество с введенными на нем операциями и отношениями. Для вещественных чисел я знаю 5 моделей: сечения Дедекинда, десятичные дроби, фундаментальные последовательности, почти гомоморфизмы (сразу из целых), вариант Колмогорова(сразу из натуральных).

epros в сообщении #1603990 писал(а):

Скажите, разве из

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

2)Содержащее мнимую единицу,

следует, что любое его подмножество должно содержать мнимую единицу?

А зачем любому подмножеству содержать мнимую единицу? По-моему, Alexey Rodionov привел правильную характеризацию $\mathbb C$.

Geen в сообщении #1603994 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1603956 писал(а):

В любом случае (даже если мы используем "аксиоматическое" определение), придется выбрать модель.

Зачем?

Частью аксиоматического определения является доказательство непротиворечивости той системы аксиом, которая в него входит. Для этого строят модель этой системы аксиом.
Может быть, непротиворечивость можно доказывать и без построения моделей, а прямо "из коробки", но я ни разу вживую такое не видел. Поэтому, если кто-нибудь об этом что-то знает, было бы интересно почитать

Geen в сообщении #1603994 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1603956 писал(а):

Далее мы эту модель (которую мы только что выбрали) обозначим буквой $\mathbb R$ и станем называть множеством действительных чисел.

Почему?

Обычно подобным образом завершается любое построение в математике - мы присваиваем объекту обозначение и название.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604008 писал(а):

А зачем любому подмножеству содержать мнимую единицу? По-моему, Alexey Rodionov привел правильную характеризацию $\mathbb C$.

Затем, что таковым подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604009 писал(а):

Затем, что таковым подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел.

Так а почему оно мнимую единицу-то обязано содержать? Мнимую единицу содержит $\mathbb C$, а не $\mathbb R$.

Вот характеризация:

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.

Требования, чтобы любое подмножество (или хотя бы любое подполе) содержало мнимую единицу - нету.