2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 оператор импульса в КМ
Сообщение22.03.2023, 11:53 


15/09/20
198
Насколько я понял из учебников, уравнения Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака выводятся из одного и того же общего уравнения движения для волновой функции
$$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}$$
Если подставить гамильтониан по аналогии с классической формулой энергии (для простоты без потенциальной) $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$, то получим уравнение Шредингера
Если подставить гамильтониан по аналогии с релятивистской формулой энергии $\hat{H}^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$, то придем или к уравнению Клейна-Гордона или к уравнению Дирака

У меня такой наивный вопрос: почему и в классическую и в релятивистскую формулу подставляют одинаковый оператор импульса?
$$\hat{p}=-i\hbar\nabla$$

Я понимаю, что этот оператор придумал, по всей видимости Шредингер, как приводящий к правильному решению уравнения $\hat{p}\psi=p\psi$ для функции де-Бройля $\psi=e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}$, но все равно как-то странно выглядит: для энергии мы используем разные операторы, а для импульса - один и тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение22.03.2023, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5483
ФТИ им. Иоффе СПб
kzv в сообщении #1586278 писал(а):
Насколько я понял из учебников, уравнения Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака выводятся из одного и того же общего уравнения движения для волновой функции
Неправильно поняли. Написанное уравнение первого порядка по времени, а Дирак и Клейн-Гордон, которого написал Фок, - второго. Два последних, действительно, почти одно и то же.
kzv в сообщении #1586278 писал(а):
У меня такой наивный вопрос: почему и в классическую и в релятивистскую формулу подставляют одинаковый оператор импульса?
Поэтому.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение22.03.2023, 13:39 


15/09/20
198
amon в сообщении #1586293 писал(а):
Неправильно поняли. Написанное уравнение первого порядка по времени, а Дирак и Клейн-Гордон, которого написал Фок, - второго. Два последних, действительно, почти одно и то же.

Если возвести в квадрат обе части уравнения первого порядка, то оно станет уравнением второго порядка, при этом оставшись тем же самым уравнением:
$$\hat{H}^2=(i\hbar\frac{\partial}{\partial t})^2$$
Не думал, что нужно это отдельно расписывать тут.
amon в сообщении #1586293 писал(а):
Поэтому.

Спасибо конечно, но ничего не понял :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение22.03.2023, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11615
Hogtown
kzv в сообщении #1586296 писал(а):
Если возвести в квадрат обе части уравнения первого порядка, то оно станет уравнением второго порядка, при этом оставшись тем же самым уравнением:
Не тем же самым, по той же причине что уравнение $x=1$ не то же самое что $x^2=1$. Хуже другое: если в энергию включить потенциал, то такое лихое возведение в квасрат не проканает.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение22.03.2023, 19:53 


15/09/20
198
Red_Herring в сообщении #1586334 писал(а):
Хуже другое: если в энергию включить потенциал, то такое лихое возведение в квасрат не проканает.

Почему это?
$$\hat{H}=\hat{K}+\hat{U}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$
$$(\hat{K})^2=(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U})^2$$

Дальше ловкость рук:
$$(\hat{K})^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$$
$$(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U})^2-(c\hat{p})^2-(mc^2)^2=0$$

осталось небольшое мошенство $\hat{p}=-i\hbar\nabla$ про которое собственно и был главный вопрос: на каком основании?

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение22.03.2023, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11615
Hogtown
kzv в сообщении #1586337 писал(а):
Дальше ловкость рук:
и фокус не удался. Операторное "уравнение $$\hat{K}+\hat{U}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ верно только в применении к волновой функции $\psi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 11:42 


15/09/20
198
Red_Herring в сообщении #1586343 писал(а):
kzv в сообщении #1586337 писал(а):
Дальше ловкость рук:
и фокус не удался. Операторное "уравнение $$\hat{K}+\hat{U}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ верно только в применении к волновой функции $\psi$.

Не понял, что вам не удалось, у меня получилось уравнение Клейна Гордона. Простым возведением в квадрат правой и левой части. Операция сложения и вычитания в алгебре линейных операторов допустима, так что перенос из одной части уравнения в другую тот законен.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5483
ФТИ им. Иоффе СПб
kzv в сообщении #1586337 писал(а):
Дальше ловкость рук
и сплошное мошенничество. Кинетический член в Шредингере $\frac{p^2}{2m}.$ При возведении его (как и любой другой квадратичной по $p$ кинетической энергии) в квадрат возникнет четвертая степень импульса. Поэтому уравнение второго порядка таким трюком ни как не получится. Про член $\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}$ я вообще молчу.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 12:33 


15/09/20
198
amon в сообщении #1586399 писал(а):
kzv в сообщении #1586337 писал(а):
Дальше ловкость рук
и сплошное мошенничество. Кинетический член в Шредингере $\frac{p^2}{2m}.$ При возведении его (как и любой другой квадратичной по $p$ кинетической энергии) в квадрат возникнет четвертая степень импульса. Поэтому уравнение второго порядка таким трюком ни как не получится. Про член $\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}$ я вообще молчу.

Никто Шредингера в квадрат не возводит.
В квадрат возводится оператор Гамильтона, он же, с точностью до единичной матрицы, "оператор эволюции" (Фенмановские лекции т.8(1), формула 6.39)

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5483
ФТИ им. Иоффе СПб
kzv в сообщении #1586401 писал(а):
В квадрат возводится оператор Гамильтона
А в операторе Гамильтона импульс в какой степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 13:13 


15/09/20
198
kzv в сообщении #1586278 писал(а):
Если подставить гамильтониан по аналогии с классической формулой энергии (для простоты без потенциальной) $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$, то получим уравнение Шредингера
Если подставить гамильтониан по аналогии с релятивистской формулой энергии $\hat{H}^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$, то придем или к уравнению Клейна-Гордона или к уравнению Дирака


Следите за руками:
1. у нас есть самый общий закон природы, который связывает оператор Гамильтона с оператором эволюции.
$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$
2. мы знаем, что оператор гамильтона - это еще и оператор полной энергии.
3. Если мы хотим получить нерелятивистское уравнение эволюции волновой функции, то получаем оператор гамильтона из нерелятивистской формулы $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$, подставляем этот оператор в п.1 и сразу получаем Шредингера
4. Если мы хотим получить релятивистское уравнение, то Гамильтониан надо бы получить из релятивистской формулы $\hat{H}^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$, взять бы корень квадратный и подставить в п.1...
Но вот беда, квадратный корень из оператора мы извлекать не умеем. Поэтому есть два пути: либо возводить в квадрат п.1, либо учиться извлекать корень.
Клейн с Гордоном пошли первым путем, Дирак вторым.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 13:55 
Заслуженный участник


18/09/21
1775
На википедии внятно описано, как выводится уравнение Дирака: Вывод уравнения Дирака.
Вот поучительный момент:
Цитата:
Именно здесь впервые становится совершенно ясно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (то есть не скалярной), а векторной, имея в виду векторы какого-то абстрактного «внутреннего» пространства, не связанного прямо с обычным физическим пространством или пространством-временем.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 14:09 


15/09/20
198
zykov в сообщении #1586409 писал(а):
На википедии внятно описано, как выводится уравнение Дирака: Вывод уравнения Дирака.
Вот поучительный момент:
Цитата:
Именно здесь впервые становится совершенно ясно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (то есть не скалярной), а векторной, имея в виду векторы какого-то абстрактного «внутреннего» пространства, не связанного прямо с обычным физическим пространством или пространством-временем.


В интернете я видел то-ли мемуары, то-ли какое-то письмо самого Дирака. Там он пишет что-то в духе "всех на тот момент вполне устраивало уравнение Клейна-Гордона, но мне оно не нравилось своей квадратичностью..."
Не думаю, что Дираку изначально было что-либо "совершенно ясно" про волновую функцию.

Однако мы все дальше уходим от начального вопроса. Давайте переформулирую тогда.
Вот мы знаем, что частица - это плоская волна де-Бройля. Значит можем для этой волны угадать оператор импульса, записав уравнение собственных значений:
$$\hat{p}e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=pe^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}$$
Методом научного перебора понимаем, что это уравнение будет справедливо при $\hat{p}=-i\hbar\nabla$

Все это замечательно, но что если, в порядке бреда, допустить, что время зависит от и координаты и от скорости? Например по такой формуле:
$$t=\frac{t\prime-\frac{v}{c^2}x\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Сможем ли мы теперь угадать оператор импульса? Точно ли он получится таким же, как и раньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11615
Hogtown
kzv в сообщении #1586395 писал(а):
Не понял, что вам не удалось
Это вам не удалось понять. Такого уравнения
$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ нет. Если бы оно было, то $$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$$ было бы верно для любой функции $\psi(\boldsymbol{x},t)$, что, очевидно, не так. Последнее уравнение это уравнение Шредингера, которому должна удовлетворять $\psi(\boldsymbol{x},t)$.

Честное "возведение в квадрат" производится так:
$$\hat{H}\psi =i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi \implies   -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi =i \hbar\frac{\partial}{\partial t} \hat{H}\psi = i \hat{H}\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi =\hat{H}^2 \psi$$
где мы воспользовались тем что $\hat{H}$ и $\frac{\partial}{\partial t}$ коммутируют. Но операторы $\hat{H}$ и $\frac{\partial}{\partial t}-U(x)$ не коммутируют и фокус не удался.

 Профиль  
                  
 
 Re: оператор импульса в КМ
Сообщение23.03.2023, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5483
ФТИ им. Иоффе СПб
kzv в сообщении #1586404 писал(а):
$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$
Это не операторное равенство. Если бы это было так, то такое соотношение должно выполняться для любой функции из Гильбертова пространства, а мы с фонарем ищем те, для которых оно выполнено, решая уравнение Шредингера, и страшно радуемся, когда находим.

Однако, нечто разумное в Ваших рассуждениях есть. Из того рассуждения, которого Вы не поняли, следует, что (при некоторых ограничениях, на которых пока не останавливается) если у нас есть две канонически сопряженные величины $P$ и $Q,$ для которых коммутатор $[Q,P]=i\hbar,$ то оператор $P$ в $Q$ - представлении будет $\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial Q}.$ Как учит классическая механика, минус энергия и время - канонически сопряженные величины, поэтому оператор энергии в $t$-представлении должен иметь вид
$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.$$
Беда в том, что оператор времени никому еще не удалось придумать, и вместо операторного равенства пишут "слабое"
$$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi,$$
которое зовут уравнением Шредингера. Все, что использует Ваш "вывод" релятивистского уравнения, - это ту же схему приравнивания операторного выражения для квадрата энергии к второй производной по времени. Прямого отношения к уравнению Шредингера это действо не имеет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Hector


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group