оператор импульса в КМ

[kzv]

Насколько я понял из учебников, уравнения Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака выводятся из одного и того же общего уравнения движения для волновой функции

$$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}$$

Если подставить гамильтониан по аналогии с классической формулой энергии (для простоты без потенциальной) $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$, то получим уравнение Шредингера
Если подставить гамильтониан по аналогии с релятивистской формулой энергии $\hat{H}^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$, то придем или к уравнению Клейна-Гордона или к уравнению Дирака

У меня такой наивный вопрос: почему и в классическую и в релятивистскую формулу подставляют одинаковый оператор импульса?

$$\hat{p}=-i\hbar\nabla$$

Я понимаю, что этот оператор придумал, по всей видимости Шредингер, как приводящий к правильному решению уравнения $\hat{p}\psi=p\psi$ для функции де-Бройля $\psi=e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}$, но все равно как-то странно выглядит: для энергии мы используем разные операторы, а для импульса - один и тот же.

[amon]

kzv в сообщении #1586278 писал(а):

Насколько я понял из учебников, уравнения Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака выводятся из одного и того же общего уравнения движения для волновой функции

Неправильно поняли. Написанное уравнение первого порядка по времени, а Дирак и Клейн-Гордон, которого написал Фок, - второго. Два последних, действительно, почти одно и то же.

kzv в сообщении #1586278 писал(а):

У меня такой наивный вопрос: почему и в классическую и в релятивистскую формулу подставляют одинаковый оператор импульса?

Поэтому.

[kzv]

amon в сообщении #1586293 писал(а):

Неправильно поняли. Написанное уравнение первого порядка по времени, а Дирак и Клейн-Гордон, которого написал Фок, - второго. Два последних, действительно, почти одно и то же.

Если возвести в квадрат обе части уравнения первого порядка, то оно станет уравнением второго порядка, при этом оставшись тем же самым уравнением:

$$\hat{H}^2=(i\hbar\frac{\partial}{\partial t})^2$$

Не думал, что нужно это отдельно расписывать тут.

amon в сообщении #1586293 писал(а):

Поэтому.

Спасибо конечно, но ничего не понял

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586296 писал(а):

Если возвести в квадрат обе части уравнения первого порядка, то оно станет уравнением второго порядка, при этом оставшись тем же самым уравнением:

Не тем же самым, по той же причине что уравнение $x=1$ не то же самое что $x^2=1$. Хуже другое: если в энергию включить потенциал, то такое лихое возведение в квасрат не проканает.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586334 писал(а):

Хуже другое: если в энергию включить потенциал, то такое лихое возведение в квасрат не проканает.

Почему это?

$$\hat{H}=\hat{K}+\hat{U}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

$$(\hat{K})^2=(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U})^2$$

Дальше ловкость рук:

$$(\hat{K})^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$$

$$(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U})^2-(c\hat{p})^2-(mc^2)^2=0$$

осталось небольшое мошенство $\hat{p}=-i\hbar\nabla$ про которое собственно и был главный вопрос: на каком основании?

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586337 писал(а):

Дальше ловкость рук:

и фокус не удался. Операторное "уравнение

$$\hat{K}+\hat{U}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

верно только в применении к волновой функции $\psi$.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586343 писал(а):

kzv в сообщении #1586337 писал(а):

Дальше ловкость рук:

и фокус не удался. Операторное "уравнение

$$\hat{K}+\hat{U}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

верно только в применении к волновой функции $\psi$.

Не понял, что вам не удалось, у меня получилось уравнение Клейна Гордона. Простым возведением в квадрат правой и левой части. Операция сложения и вычитания в алгебре линейных операторов допустима, так что перенос из одной части уравнения в другую тот законен.

[amon]

kzv в сообщении #1586337 писал(а):

Дальше ловкость рук

и сплошное мошенничество. Кинетический член в Шредингере $\frac{p^2}{2m}.$ При возведении его (как и любой другой квадратичной по $p$ кинетической энергии) в квадрат возникнет четвертая степень импульса. Поэтому уравнение второго порядка таким трюком ни как не получится. Про член $\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}$ я вообще молчу.

[kzv]

amon в сообщении #1586399 писал(а):

kzv в сообщении #1586337 писал(а):

Дальше ловкость рук

и сплошное мошенничество. Кинетический член в Шредингере $\frac{p^2}{2m}.$ При возведении его (как и любой другой квадратичной по $p$ кинетической энергии) в квадрат возникнет четвертая степень импульса. Поэтому уравнение второго порядка таким трюком ни как не получится. Про член $\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}$ я вообще молчу.

Никто Шредингера в квадрат не возводит.
В квадрат возводится оператор Гамильтона, он же, с точностью до единичной матрицы, "оператор эволюции" (Фенмановские лекции т.8(1), формула 6.39)

[amon]

kzv в сообщении #1586401 писал(а):

В квадрат возводится оператор Гамильтона

А в операторе Гамильтона импульс в какой степени?

[kzv]

kzv в сообщении #1586278 писал(а):

Если подставить гамильтониан по аналогии с классической формулой энергии (для простоты без потенциальной) $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$, то получим уравнение Шредингера
Если подставить гамильтониан по аналогии с релятивистской формулой энергии $\hat{H}^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$, то придем или к уравнению Клейна-Гордона или к уравнению Дирака

Следите за руками:
1. у нас есть самый общий закон природы, который связывает оператор Гамильтона с оператором эволюции.

$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

2. мы знаем, что оператор гамильтона - это еще и оператор полной энергии.
3. Если мы хотим получить нерелятивистское уравнение эволюции волновой функции, то получаем оператор гамильтона из нерелятивистской формулы $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$, подставляем этот оператор в п.1 и сразу получаем Шредингера
4. Если мы хотим получить релятивистское уравнение, то Гамильтониан надо бы получить из релятивистской формулы $\hat{H}^2=(c\hat{p})^2+(mc^2)^2$, взять бы корень квадратный и подставить в п.1...
Но вот беда, квадратный корень из оператора мы извлекать не умеем. Поэтому есть два пути: либо возводить в квадрат п.1, либо учиться извлекать корень.
Клейн с Гордоном пошли первым путем, Дирак вторым.

[zykov]

На википедии внятно описано, как выводится уравнение Дирака: Вывод уравнения Дирака.
Вот поучительный момент:

Цитата:

Именно здесь впервые становится совершенно ясно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (то есть не скалярной), а векторной, имея в виду векторы какого-то абстрактного «внутреннего» пространства, не связанного прямо с обычным физическим пространством или пространством-временем.

[kzv]

zykov в сообщении #1586409 писал(а):

На википедии внятно описано, как выводится уравнение Дирака: Вывод уравнения Дирака.
Вот поучительный момент:

Цитата:

Именно здесь впервые становится совершенно ясно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (то есть не скалярной), а векторной, имея в виду векторы какого-то абстрактного «внутреннего» пространства, не связанного прямо с обычным физическим пространством или пространством-временем.

В интернете я видел то-ли мемуары, то-ли какое-то письмо самого Дирака. Там он пишет что-то в духе "всех на тот момент вполне устраивало уравнение Клейна-Гордона, но мне оно не нравилось своей квадратичностью..."
Не думаю, что Дираку изначально было что-либо "совершенно ясно" про волновую функцию.

Однако мы все дальше уходим от начального вопроса. Давайте переформулирую тогда.
Вот мы знаем, что частица - это плоская волна де-Бройля. Значит можем для этой волны угадать оператор импульса, записав уравнение собственных значений:

$$\hat{p}e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=pe^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}$$

Методом научного перебора понимаем, что это уравнение будет справедливо при $\hat{p}=-i\hbar\nabla$

Все это замечательно, но что если, в порядке бреда, допустить, что время зависит от и координаты и от скорости? Например по такой формуле:

$$t=\frac{t\prime-\frac{v}{c^2}x\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Сможем ли мы теперь угадать оператор импульса? Точно ли он получится таким же, как и раньше?

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586395 писал(а):

Не понял, что вам не удалось

Это вам не удалось понять. Такого уравнения

$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

нет. Если бы оно было, то

$$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$$

было бы верно для любой функции $\psi(\boldsymbol{x},t)$, что, очевидно, не так. Последнее уравнение это уравнение Шредингера, которому должна удовлетворять $\psi(\boldsymbol{x},t)$.

Честное "возведение в квадрат" производится так:

$$\hat{H}\psi =i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi \implies -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi =i \hbar\frac{\partial}{\partial t} \hat{H}\psi = i \hat{H}\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi =\hat{H}^2 \psi$$

где мы воспользовались тем что $\hat{H}$ и $\frac{\partial}{\partial t}$ коммутируют. Но операторы $\hat{H}$ и $\frac{\partial}{\partial t}-U(x)$ не коммутируют и фокус не удался.

[amon]

kzv в сообщении #1586404 писал(а):

$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

Это не операторное равенство. Если бы это было так, то такое соотношение должно выполняться для любой функции из Гильбертова пространства, а мы с фонарем ищем те, для которых оно выполнено, решая уравнение Шредингера, и страшно радуемся, когда находим.

Однако, нечто разумное в Ваших рассуждениях есть. Из того рассуждения, которого Вы не поняли, следует, что (при некоторых ограничениях, на которых пока не останавливается) если у нас есть две канонически сопряженные величины $P$ и $Q,$ для которых коммутатор $[Q,P]=i\hbar,$ то оператор $P$ в $Q$ - представлении будет $\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial Q}.$ Как учит классическая механика, минус энергия и время - канонически сопряженные величины, поэтому оператор энергии в $t$-представлении должен иметь вид

$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.$$

Беда в том, что оператор времени никому еще не удалось придумать, и вместо операторного равенства пишут "слабое"

$$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi,$$

которое зовут уравнением Шредингера. Все, что использует Ваш "вывод" релятивистского уравнения, - это ту же схему приравнивания операторного выражения для квадрата энергии к второй производной по времени. Прямого отношения к уравнению Шредингера это действо не имеет.