Это не операторное равенство. Если бы это было так, то такое соотношение должно выполняться для любой функции из Гильбертова пространства, а мы с фонарем ищем те, для которых оно выполнено, решая уравнение Шредингера, и страшно радуемся, когда находим.
Однако, нечто разумное в Ваших рассуждениях есть. Из того рассуждения, которого Вы не поняли, следует, что (при некоторых ограничениях, на которых пока не останавливается) если у нас есть две канонически сопряженные величины
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q,$ $Q,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/2/fd23a23cc2896fb2b1ce3cc21788a47b82.png)
для которых коммутатор
![$[Q,P]=i\hbar,$ $[Q,P]=i\hbar,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/3/c73b4357f80634e48b4656cc1429956f82.png)
то оператор
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
в
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
- представлении будет
![$\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial Q}.$ $\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial Q}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/5/e457d25b1d8b9eac56425399fcaa4ff882.png)
Как учит классическая механика, минус энергия и время - канонически сопряженные величины, поэтому оператор энергии в
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
-представлении должен иметь вид
![$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.$$ $$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/9/af9c5cd50d7fe372f28f8408a21af0e982.png)
Беда в том, что оператор времени никому еще не удалось придумать, и вместо операторного равенства пишут "слабое"
![$$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi,$$ $$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/0/e50c3e3865d318d8b91cfafbc5b3a8d582.png)
которое зовут уравнением Шредингера. Все, что использует Ваш "вывод" релятивистского уравнения, - это ту же схему приравнивания операторного выражения для квадрата энергии к второй производной по времени. Прямого отношения к уравнению Шредингера это действо не имеет.