оператор импульса в КМ

[kzv]

amon в сообщении #1586414 писал(а):

Беда в том, что оператор времени никому еще не удалось придумать,

Ну не знаю. Мне показалось, что Фейнману удалось... Довольно логично у него в главе про оператор эволюции все расписано и выходит, что да, это конечно не операторное равенство, а определение оператора Гамильтона в самом общем случае:

$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586417 писал(а):

что да, это конечно не операторное равенство, а определение оператора Гамильтона в самом общем случае:

Тогда у вас два взаимнопротиворечивых определения (нормальное, через координаты и импульсы, и это) и невозможное возможно.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586419 писал(а):

kzv в сообщении #1586417 писал(а):

что да, это конечно не операторное равенство, а определение оператора Гамильтона в самом общем случае:

Тогда у вас два взаимнопротиворечивых определения (нормальное, через координаты и импульсы, и это) и невозможное возможно.

Хорошо, это мое прочтение Фейнмана. Я не вижу никаких противоречий тем более, что из этого определения легко и логично выводятся все основные квантовомеханические уравнения.

[zykov]

По мне, так

$$\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

это просто 4-ый компонент оператора 4-импульса.
Три других компонента - это

$$\hat{p}=-i\hbar\nabla$$

Что до $U$, то в теории поля вообще нет потенциалов.
Там только локальное (в 4-точке) взаимодействие.

И да, уравнение Дирака не является прямым следствием уравнения Шредингера.
Эти рассуждения про квадраты - это скорее интуиционные подсказки.
Зато в процессе создания уравнения Дирака возникает нечто новое, чего не было.
То, что волновая функция тут не скаляр, а спинор. Отсюда и частицы-античастицы возникают.
Весьма значимое открытие.

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586420 писал(а):

Хорошо, это мое прочтение Фейнмана

Поскольку ваше прочтение Фейнмана привело вас к очевидно неверному операторному равенству, то рискну предположить, что ваше прочтение неверное.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586425 писал(а):

kzv в сообщении #1586420 писал(а):

Хорошо, это мое прочтение Фейнмана

Поскольку ваше прочтение Фейнмана привело вас к очевидно неверному операторному равенству, то рискну предположить, что ваше прочтение неверное.

Мне не очевидно то, о чем вы говорите. Наоборот, для меня очевидно, что операторное равенство

$$\hat{K}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{U}$$

верно, где $\hat{K}$ - это оператор кинетической энергии, $\hat{U}$ - оператор потенциальной энергии, $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ - оператор Гамильтона

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586417 писал(а):

что да, это конечно не операторное равенство, а определение оператора Гамильтона в самом общем случае:

kzv в сообщении #1586426 писал(а):

Мне не очевидно то, о чем вы говорите. Наоборот, для меня очевидно, что операторное равенство

$$\hat{K}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{U}$$

верно, где $\hat{K}$ - это оператор кинетической энергии, $\hat{U}$ - оператор потенциальной энергии, $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ - оператор Гамильтона

Всё таки определитесь, это у вас определение или операторное равенство.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586432 писал(а):

kzv в сообщении #1586417 писал(а):

что да, это конечно не операторное равенство, а определение оператора Гамильтона в самом общем случае:

kzv в сообщении #1586426 писал(а):

Мне не очевидно то, о чем вы говорите. Наоборот, для меня очевидно, что операторное равенство

$$\hat{K}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{U}$$

верно, где $\hat{K}$ - это оператор кинетической энергии, $\hat{U}$ - оператор потенциальной энергии, $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ - оператор Гамильтона

Всё таки определитесь, это у вас определение или операторное равенство.

По определению, оператором эволюции будем называть такой дифференциальный оператор:

$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

Выясним, нет ли у этого оператора еще какого-то физического смысла?
Для этого, подействуем оператором эволюции на волновую функцию де-Бройля:

$$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=Ee^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=E\psi$$

Сравнивая левую и правую части полученного равенства выясняем, что нам очень повезло: собственным значением оператора эволюции является энергия! Какой из этого можно сделать очевидный вывод? Да, определенный нами оператор эволюции - это одновременно и оператор полной энергии, в определенных кругах иногда еще называемый оператором Гамильтона или гамильтонианом.

Теперь, по аналогии с классической механикой, для определенного нами оператора эволюции, а по совместительству, как выяснилось, оператора Гамильтона, мы можем записать равенство:

$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\hat{K}+\hat{U}$$

Операторы физических величин линейные (что важно) и эрмитовые (тут не важно), поэтому мы можем использовать для них операцию сложения и вычитания. Значит, отнимая от правой и левой части $\hat{U}$ получим верное операторное равенство:

$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U}=\hat{K}$$

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586437 писал(а):

По определению, оператором эволюции будем называть такой дифференциальный оператор... Теперь, по аналогии с классической механикой, для определенного нами оператора эволюции мы можем записать равенство::

Равенство операторов следует проверять для всех допустимых функций. А вы проверяете только для бройлевских волн, которые могут являться собственными функциями только в отсутствие потенциала. Хуже того, применение Гамильтониана (определенного через координаты и импульсы) к таким волнам дает функции, бройлевскими волнами не являющиеся (если с потенциалом). Так что никакого операторного равенства у вас нет и вся дальнейшая "конструкция" рушится.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586439 писал(а):

kzv в сообщении #1586437 писал(а):

По определению, оператором эволюции будем называть такой дифференциальный оператор... Теперь, по аналогии с классической механикой, для определенного нами оператора эволюции мы можем записать равенство::

Равенство операторов следует проверять для всех допустимых функций. А вы проверяете только для бройлевских волн, которые могут являться собственными функциями только в отсутствие потенциала. Хуже того, применение Гамильтониана (определенного через координаты и импульсы) к таким волнам дает функции, бройлевскими волнами не являющиеся (если с потенциалом). Так что никакого операторного равенства у вас нет и вся дальнейшая "конструкция" рушится.

Де-Бройля я написал для краткого и наглядного объяснения. Если хотите подробнее и с примерами, можете почитать в Фенмановских лекциях т.8(1), глава 6.
Если в кратце: считайте, что нам так повезло, случайно совпало, что природа сделала оператор Гамильтона равным оператору эволюции. Хотя может вы знаете примеры когда это равенство не выполняется?

[Dedekind]

kzv в сообщении #1586444 писал(а):

Хотя может вы знаете примеры когда это равенство не выполняется?

Возьмите Вашу же волну де-Бройля и потенциал $\hat{U}$ для ямы с бесконечными стенками. И честно посчитайте выражение для левой и правой части этого равенства.

kzv в сообщении #1586437 писал(а):

$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\hat{K}+\hat{U}$$

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586444 писал(а):

считайте, что нам так повезло, случайно совпало, что природа сделала оператор Гамильтона равным оператору эволюции.

Разумеется, оператор Гамильтона (через координаты/импульсы) и есть оператор эволюции в том смысле, что $ i\hbar \partial_t \psi =\hat{H}\psi$ определяет эволюцию волновой функции. Это и есть нестационарное уравнение Шредингера, и т.д. и т.п.

И вот на таких и только таких функциях $\psi(\boldsymbol{x},t)$ выполняется равенство $ i\hbar \partial_t =\hat{H}$. И тут нужна суперосторожность, поскольку при наличии потенциала $( i\hbar \partial_t - U(x)) \psi(\boldsymbol{x},t)$ такой функцией не является. И все ваши упражнения являются следствием непонимания этого элементарного факта. Перефразируя Грибоедова

Цитата:

В мои года не можно сметь своё прочтение уметь

Речь идёт, разумеется не о физическом возрасте, а о степени математической грамотности.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1586450 писал(а):

kzv в сообщении #1586444 писал(а):

считайте, что нам так повезло, случайно совпало, что природа сделала оператор Гамильтона равным оператору эволюции.

Разумеется, оператор Гамильтона (через координаты/импульсы) и есть оператор эволюции в том смысле, что $ i\hbar \partial_t \psi =\hat{H}\psi$ определяет эволюцию волновой функции. Это и есть нестационарное уравнение Шредингера, и т.д. и т.п.

И вот на таких и только таких функциях $\psi(\boldsymbol{x},t)$ выполняется равенство $ i\hbar \partial_t =\hat{H}$. И тут нужна суперосторожность, поскольку при наличии потенциала $( i\hbar \partial_t - U(x)) \psi(\boldsymbol{x},t)$ такой функцией не является.

Я не понял, что вы этим хотели сказать? По вашему это равенство не выполняется?

$$( i\hbar \partial_t - U(x)) \psi(\boldsymbol{x},t)=\hat{K}\psi(\boldsymbol{x},t)$$

Можно подтверждающий пример хотя бы какой-то увидеть?

-- 23.03.2023, 20:25 --

Dedekind в сообщении #1586447 писал(а):

kzv в сообщении #1586444 писал(а):

Хотя может вы знаете примеры когда это равенство не выполняется?

Возьмите Вашу же волну де-Бройля и потенциал $\hat{U}$ для ямы с бесконечными стенками. И честно посчитайте выражение для левой и правой части этого равенства.

kzv в сообщении #1586437 писал(а):

$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\hat{K}+\hat{U}$$

Для частицы в одномерной яме с бесконечно высокими стенками $\hat{U}=0$ и в нерелятивистском случае уравнение приобретает вид:

$$\hat{H}\psi\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\frac{\hat{p}^2}{2m}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi$$

Левая часть:

$$\hat{H}\psi\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=E\psi$$

Подставляем:

$$E\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi$$

Решение этого дифура надо расписывать дальше?

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1586467 писал(а):

Можно подтверждающий пример хотя бы какой-то увидеть?

А самому придумать? Возьмите практически любую функцию, пришедшую в голову и проверьте.

[Dedekind]

kzv в сообщении #1586467 писал(а):

Для частицы в одномерной яме с бесконечно высокими стенками $\hat{U}=0$ и в нерелятивистском случае уравнение приобретает вид:

Прошу прощения, не о том подумал и неправильно написал. Я имел в виду любой ненулевой потенциал (например, потенциал гармонического осциллятора). Для простоты возьмите одномерный. Да, и Вы должны не составить уравнение для какой-то функции, а потом решить его, а взять конкретную функцию де-Бройля и подставить ее в левую и правую часть Вашего операторного равенства. Если равенство верное, то оно должно быть верным для любой функции, в том числе, и для де-Бройлевской.