Лучший учебник по математическому анализу [литература]

[Padawan]

В Зориче ещё тупо очень много фактических ошибок (порожденных поверхностностью изложения).

[Cadet]

Padawan в сообщении #1459279 писал(а):

В Зориче ещё тупо очень много фактических ошибок (порожденных поверхностностью изложения).

Ну, все-таки мой вопрос состоял не в том, что еще Вам не нравится в учебнике Зорича (замечательном, на мой взгляд, но мне не подходящем), а в том, насколько полон учебник Э. Ландау "Введение в дифференциальное и интегральное исчисление". В нем тоже одна проблема есть - если я правильно заметил, он не дает теоремам имена их авторов. Он их просто нумерует. Это тоже неудобно для дальнейшего использования.

[Pphantom]

Оффтопик отделен в «Холивар Word - LaTeX»

[Cadet]

Прошу прощения, ну так что, можно университетский курс мат. анализа по Э. Ландау учить, нельзя, или можно, но не советуете? :)

[ancom1337]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, какой учебник по матанализу поможет лучше понять этот предмет на первом курсе прикладной математики?

[DieselMachine]

Я прочитал сначала Кудрявцева, а потом Зорича, поэтому могу их сравнить.
Следующим трём пунктам на мой взгляд должен удовлетворять любой хороший учебник, и Кудрявцев им удовлетворяет в отличие от Зорича

1. Доказывать теоремы максимально простым и прямым способом, не привлекая тяжёлую артиллерию
Сравните, например, доказательство о том, что любая непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна. Кудрявцев доказывает от противного - строит последовательность, всё просто и понятно, Зорич использует открытые покрытия - для новичка вообще не понятно. В Кудрявцеве доказательство в 10 раз проще и понятнее.
Ещё пример, теорема о замене переменных в кратном интеграле. Кудрявцев доказывает в лоб - разбивает на кубики, оценивает интегральные суммы. У Зорича же разрывы на множестве меры нуль и использование критерия Лебега - подошёл к проблеме с другого бока вообще, необоснованно усложнил.

2. Все утверждения в учебнике должны быть тут же доказаны, выносить их доказательство в упражнения недопустимо. У Кудрявцева это так, у Зорича нет.

3. Все промежуточные преобразования должны быть проведены максимально подробно, чтобы не гадать как из формулы (1) получилась тут же формула (2). У Кудрявцева это так, у Зорича нет.

К плюсам же Зорича я отнесу что во-первых, он больше уделяет внимания всяким обобщениям, как например доказательство теоремы о неявной функции в общем виде, всякие многомерные несобственные кратные интегралы. Во-вторых, приводит больше физических и геометрических примеров, и в-третьих, главный плюс (!) использует теорию дифференциальных форм для изложения векторного анализа - а это очень хороший и правильный подход, в Кудрявцеве векторный анализ менее понятен из-за этого.
Ещё выделю такую особенность Кудрявцева как очень строгое к деталям изложение, как например определение кривой как класса эквивалентных между собой путей, а не просто отображение отрезка в пространство, или особое внимание к поведению непрерывно дифференцируемой функции на границе области - ну прям не придерёшься. Для кого-то это может быть излишним копанием в во всяких мелких деталях, но мне нравится такой подход.

Итого, начинать надо с Кудрявцева, потому что пишет он подробнее, проще и понятнее. А потом прочитать Зорича. После Кудрявцева Зорич идёт как нож по маслу и потребует для прочтения в разы меньше времени, чем если с него начинать.

[Vicktorovna]

ancom1337
Не мудрствуя лукаво, читайте Леонарда Эйлера.

[мат-ламер]

Что касается сравнения учебников Кудрявцева и Зорича. Учебник Кудрявцева я подробно не читал. Учебник основан на лекциях, читанных в ФизТехе. Это уже говорит о том, что учебник качественный. Но некоторые вещи мне показались странными. В нём не употребляются такие термины (по крайней мере в первом томе), как метрическое и нормированное пространство. Все рассуждения ведутся в пространстве $R^n$ . А вот как-то смотрел лекции по анализу на канале teach-in. Лектор (Шапошников) высказал такую мысль. Он рассматривает всё в нормированных и метрических пространствах, поскольку хочет донести до студентов, что идея линейной аппроксимации и дифференцируемости верна не только в $R^n$, но и во многих других пространствах. Например, в пространствах функций. И это находит приложение в вариационном исчислении. А на вариационном исчислении основывается вся физика. Поэтому для физиков нормально было бы вести изложение сразу в терминах метрических и нормированных пространств. А когда это требуют обстоятельства, вводить координаты. Тем более, что в конце учебника идёт явный крен в сторону функционального анализа и рассматриваются обобщённые функции. Хотя для них и нормированных пространств будет не хватать. а надо вводить счётно-нормированные. Но это всё моё сугубо личное мнение. И возможно, что я не прав. Ведь в учебнике надо излагать прежде всего так, чтобы студент понял.