Лучший учебник по математическому анализу [литература]

[Pphantom]

Оффтопик отделен в «Холивар Word - LaTeX»

[Cadet]

Прошу прощения, ну так что, можно университетский курс мат. анализа по Э. Ландау учить, нельзя, или можно, но не советуете? :)

[ancom1337]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, какой учебник по матанализу поможет лучше понять этот предмет на первом курсе прикладной математики?

[DieselMachine]

Я прочитал сначала Кудрявцева, а потом Зорича, поэтому могу их сравнить.
Следующим трём пунктам на мой взгляд должен удовлетворять любой хороший учебник, и Кудрявцев им удовлетворяет в отличие от Зорича

1. Доказывать теоремы максимально простым и прямым способом, не привлекая тяжёлую артиллерию
Сравните, например, доказательство о том, что любая непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна. Кудрявцев доказывает от противного - строит последовательность, всё просто и понятно, Зорич использует открытые покрытия - для новичка вообще не понятно. В Кудрявцеве доказательство в 10 раз проще и понятнее.
Ещё пример, теорема о замене переменных в кратном интеграле. Кудрявцев доказывает в лоб - разбивает на кубики, оценивает интегральные суммы. У Зорича же разрывы на множестве меры нуль и использование критерия Лебега - подошёл к проблеме с другого бока вообще, необоснованно усложнил.

2. Все утверждения в учебнике должны быть тут же доказаны, выносить их доказательство в упражнения недопустимо. У Кудрявцева это так, у Зорича нет.

3. Все промежуточные преобразования должны быть проведены максимально подробно, чтобы не гадать как из формулы (1) получилась тут же формула (2). У Кудрявцева это так, у Зорича нет.

К плюсам же Зорича я отнесу что во-первых, он больше уделяет внимания всяким обобщениям, как например доказательство теоремы о неявной функции в общем виде, всякие многомерные несобственные кратные интегралы. Во-вторых, приводит больше физических и геометрических примеров, и в-третьих, главный плюс (!) использует теорию дифференциальных форм для изложения векторного анализа - а это очень хороший и правильный подход, в Кудрявцеве векторный анализ менее понятен из-за этого.
Ещё выделю такую особенность Кудрявцева как очень строгое к деталям изложение, как например определение кривой как класса эквивалентных между собой путей, а не просто отображение отрезка в пространство, или особое внимание к поведению непрерывно дифференцируемой функции на границе области - ну прям не придерёшься. Для кого-то это может быть излишним копанием в во всяких мелких деталях, но мне нравится такой подход.

Итого, начинать надо с Кудрявцева, потому что пишет он подробнее, проще и понятнее. А потом прочитать Зорича. После Кудрявцева Зорич идёт как нож по маслу и потребует для прочтения в разы меньше времени, чем если с него начинать.

[Vicktorovna]

ancom1337
Не мудрствуя лукаво, читайте Леонарда Эйлера.

[мат-ламер]

Что касается сравнения учебников Кудрявцева и Зорича. Учебник Кудрявцева я подробно не читал. Учебник основан на лекциях, читанных в ФизТехе. Это уже говорит о том, что учебник качественный. Но некоторые вещи мне показались странными. В нём не употребляются такие термины (по крайней мере в первом томе), как метрическое и нормированное пространство. Все рассуждения ведутся в пространстве $R^n$ . А вот как-то смотрел лекции по анализу на канале teach-in. Лектор (Шапошников) высказал такую мысль. Он рассматривает всё в нормированных и метрических пространствах, поскольку хочет донести до студентов, что идея линейной аппроксимации и дифференцируемости верна не только в $R^n$, но и во многих других пространствах. Например, в пространствах функций. И это находит приложение в вариационном исчислении. А на вариационном исчислении основывается вся физика. Поэтому для физиков нормально было бы вести изложение сразу в терминах метрических и нормированных пространств. А когда это требуют обстоятельства, вводить координаты. Тем более, что в конце учебника идёт явный крен в сторону функционального анализа и рассматриваются обобщённые функции. Хотя для них и нормированных пространств будет не хватать. а надо вводить счётно-нормированные. Но это всё моё сугубо личное мнение. И возможно, что я не прав. Ведь в учебнике надо излагать прежде всего так, чтобы студент понял.

[seraphimt]

А что скажите про учебник "Курс современного анализа" Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н? Мне посоветовали, я мельком проглядел - вроде хороший, заказал бумажную версию, а сейчас стал подробно разбираться и понял, что приставка "современный" означает "современный на момент написания книги", чуть ли век назад Насколько он актуален сейчас?

[Mikhail_K]

Недавно (в 2022 г.) вышел учебник Прасолова "Математический анализ. Теоремы и задачи".
Вот он точно самый современный - там и счётные и несчётные множества, и интеграл Лебега, и анализ на многообразиях, и $p$-адические числа. Вместе с тем, автор не стремится к максимальной общности с первых же страниц - сначала там обычный анализ на $\mathbb{R}$. На мой взгляд, это один из лучших учебников.
Единственный минус - сжатость изложения. Так что, скорее всего, для первого чтения всё-таки больше подойдёт Фихтенгольц или Кудрявцев.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1613576 писал(а):

А что скажите про учебник "Курс современного анализа" Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н?

seraphimt в сообщении #1613576 писал(а):

Насколько он актуален сейчас?

Учебник не читал. Вопрос не понял (не понятно слово "актуален"). Однако, хочу вставить свои пять копеек. Если вы интересуетесь задачами математической физики, то зачастую решения этих задач через элементарные функции не выражаются. Однако через некоторые специальные функции (возможно через ряды от них) решение этих задач выписать можно. Так в этом учебнике (особенно во втором томе) много очень интересных специальных функций. Когда вы выберите предмет своей специализации, просто пролистайте содержание этого учебника. Может кое-что вам покажется полезным. Как учебник для первоначального серьёзного изучения анализа, т.е. как книга для тщательного изучения от корки до корки, я думаю, она не годится (особенно, если ваши интересы ещё не определились). То есть эта книга содержит много интересных конкретных вещей для тех, кому это действительно нужно. Но отнюдь не для каждого.

-- Пн окт 16, 2023 18:12:29 --

Mikhail_K в сообщении #1613581 писал(а):

Недавно (в 2022 г.) вышел учебник Прасолова "Математический анализ. Теоремы и задачи".

Спасибо за информацию! Качнул. Понравилось.

[seraphimt]

мат-ламер в сообщении #1613589 писал(а):

Вопрос не понял (не понятно слово "актуален")

Актуален в том плане, что этот учебник ещё самого начала 20го века, с тех пор нормы строгости, порядка изложения, расставления акцентов и тд изменились наверняка, я полагаю.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1613628 писал(а):

Актуален в том плане, что этот учебник ещё самого начала 20го века, с тех пор нормы строгости, порядка изложения, расставления акцентов и тд изменились наверняка, я полагаю.

В этом плане, да. Учебник написан век назад. Да, с тех пор нормы строгости, порядка изложения и расставления акцентов изменились. Это, если вы именно это хотели спросить и это имеет для вас хоть какое-то значение. Я всё равно не понимаю, какое это имеет отношение к актуальности обсуждаемой книги. Но не суть.

Могу порассуждать об актуальности этой книги конкретно для вас конкретно в настоящий момент. Я так понимаю, что конкретно сейчас вы проходите обучение в НМУ. Так я полагаю, что конкретно для сдачи экзаменов и зачётов в НМУ и для решения ихних задач на листочках сия книга не годится. Из учебников тут более будут подходить выше предлагаемый Прасолов, лекции Львовского, учебники Зорича, Решетняка, Дороговцева. В этих учебниках и достаточно задач для тренировки. Правда, они в основном без намёков на решение. Правда, у Прасолова решения задач есть. Есть и задачники со сложными задачами и решениями. Например, задачник Макарова и др.

Да, и в другое время и при других обстоятельствах книга Уитеккера и Ватсона может быть для вас вполне актуальна. Но до этого надо ещё дожить и доучиться.