При желании можно вывести существование такого поля из каких-нибудь других аксиом
План построения (взять кольцо фундаментальные последовательности и профакторизовать по максимальному идеалу последовательностей, сходящихся к 0)
Это и есть канторов подход. С тем же успехом можно доказывать реализуемость аксиоматики и по Дедекинду, и по Вейерштрассу. Но хотя бы одним способом делать это придётся. А уж что считать курицей, что яйцом -- аксиоматику или конструктивное определение -- вопрос достаточно праздный. Впрочем, не совсем: и аксиоматику можно выбирать разную. Можно формулировать аксиому полноты по-канторовски, а можно по-дедекиндовски. Это уже показывает, что первично.
Я не знаю, что значит «диктуемое практикой». Вот как раз на практике используется почти исключительно аксиоматическое определение.
Ничего подобного. На практике собственно аксиомы никому не интересны. Нужен лишь набор ключевых теорем, в первую очередь теорема о полноте и теорема о существовании супремума (заметьте, что как минимум одно из этих утверждений будет теоремой, каким бы способом вещественные числа ни определялись).
Насчёт практики. С вычислительной точки зрения наиболее практичен вейерштрассов подход, т.к. ровно так реальные вычисления и производятся. С теоретической -- канторов, поскольку является простейшим случаем применения очень универсальной идеи пополнения.
План и так понятен.
