2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.12.2022, 23:57 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1573131 писал(а):
формула Бине-Коши

Я ее уже доказал в предыдущей задаче). Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.12.2022, 00:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Задача 16.6 — это небольшое усложнение предыдущей. Минор $C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}$ определяется элементами соответствующей подматрицы, а она равна произведению $A'B'$, где $A'$ получается вычёркиванием из $A$ всех строк, кроме $i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}$, а $B'$ — вычёркиванием из $B$ всех столбцов, кроме $j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}$. Остаётся перенумеровать оставшиеся строки и столбцы с $1$ до $m$, и получим задачу 16.5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.12.2022, 15:23 


03/06/12
2742
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.01.2023, 12:47 


03/06/12
2742
Скажите, пожалуйста, почему в задаче 16.14 матрицы названы квадратичными формами:
Изображение
? Я знаю, что да, для каждой квадратичной формы есть вполне осмысленное понятие соответствующей матрицы, но такие матрицы симметрические. Доказательство же утверждения, приведенного в задаче, прекрасно проходит без предположения о симметричности какой-либо матрицы, фигурирующей в условии задачи. Это ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.01.2023, 16:33 


03/06/12
2742
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.01.2023, 17:33 


03/06/12
2742
Взгляните, пжл, на задачу 16.19:
Изображение
Правильно ли я считаю, что, если через $P_n$ обозначить матрицу задания а), а через $Q_n$ - матрицу задания б), то, например, при $n=2$ будет $P_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, а $Q_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$ ??? У меня, очевидно, что-то не сходится с замыслом задачи, хоть я и решил, как будто, задание а) в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.01.2023, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Sinoid в сообщении #1577611 писал(а):
хоть я и решил, как будто, задание а) в уме.

Это задание тривиальное. Там получается треугольная матрица с единицами на диагонали. К заданию б) подсказка неправильная. По крайней мере, у меня с произведением матриц не получилось. Но матрица из задания б) получается из матрицы задания а) сложением некоторых строк матрицы из а). Каких - попробуйте сами догадаться. Небольшая подсказка. Например, четвёртая строка матрицы из б) равна сумме первой, второй и четвёртой строки матрицы из а).

Ответы в задачнике правильные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.01.2023, 23:01 


03/06/12
2742
мат-ламер в сообщении #1577649 писал(а):
Это задание тривиальное. Там получается треугольная матрица с единицами на диагонали.

Да, значит, решил правильно.
мат-ламер, пока я буду копаться, не подскажите ли вы мне про вот это? Это тоже нужно, но в другой задаче. Я перепробовал несколько, на мой взгляд, разумных вариантов значений для той задачи, но во всех этих вариантах получается какая-то ерунда. Хотелось бы иметь точное представление, о чем говорится в задаче, прежде чем предпринимать какие-то усилия для ее решения.

Спасибо за отклик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 00:05 


03/06/12
2742
мат-ламер в сообщении #1577649 писал(а):
Например, четвёртая строка матрицы из б) равна сумме первой, второй и четвёртой строки матрицы из а).

4 кратно 1, 4 кратно 2 и 4 кратно 4?

-- 18.01.2023, 01:58 --

Так... Напишем вид $i$-й строки матрицы $P_n$. Пока для простоты будем считать, что $i>1$. Это строка длины $n$, имеющая вид $(\underbrace{\begin{matrix}\begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}0 & 0 & \ldots & 0\end{matrix}}_{i-1} & 1\end{matrix} & \begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}0 & 0 & \ldots & 0\end{matrix}}_{i-1} & 1 & \ldots\end{matrix}\end{matrix}}_{n})$. Без ограничения общности можно утверждать, что такой же вид имеет и первая строка, просто в этом случае перед каждой единицей стоит $i-1=1-1=0$ нулей, т. е. нулей вообще не стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1576588 писал(а):
Доказательство же утверждения, приведенного в задаче, прекрасно проходит без предположения о симметричности какой-либо матрицы, фигурирующей в условии задачи. Это ошибка?
Более того, утверждение справедливо даже без условия, что либо $C$, либо $D$ невырождена.

Скорее всего, ошибка, следует читать «квадратные матрицы порядка $n$». О квадратичных формах речь только во второй части книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:39 


03/06/12
2742
Получается, если рассматривать последний столбец матрицы $P_n$, то в нем единицы будут стоять в тех и только тех строках, номера которых делят $n$. Тогда получается, что, если я к последней строке матрицы $P_n$ прибавлю все остальные строки, номера которых делят $n$, то последним элементом этой строки окажется число, являющееся количеством делителей числа $n$, т. е. количество общих делителей чисел $n$ и $n$. Т. е. число, стоящее в последней строке и последнем столбце матрицы $Q_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?
Вот тут написано, что это равно нулю. Вы, конечно, знаете, что $\binom n k=C^k_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:43 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1577698 писал(а):
Скорее всего, ошибка, следует читать «квадратные матрицы порядка $n$». О квадратичных формах речь только во второй части книги.

Вот-вот. И я про то же. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid
Елки-палки, куда я смотрел. Нулю оно равно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 02:01 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1577701 писал(а):
Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?
Да, это вот тут написано.

Стоп. Единственное место, которое я там вижу подходящим под предмет обсуждения - это вот это:
Изображение
Но там же написано, что $C_{n}^{k}=\underline{0}$ при $k>n\geqslant 0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group