2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.12.2022, 23:57 


03/06/12
2745
svv в сообщении #1573131 писал(а):
формула Бине-Коши

Я ее уже доказал в предыдущей задаче). Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.12.2022, 00:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Задача 16.6 — это небольшое усложнение предыдущей. Минор $C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}$ определяется элементами соответствующей подматрицы, а она равна произведению $A'B'$, где $A'$ получается вычёркиванием из $A$ всех строк, кроме $i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}$, а $B'$ — вычёркиванием из $B$ всех столбцов, кроме $j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}$. Остаётся перенумеровать оставшиеся строки и столбцы с $1$ до $m$, и получим задачу 16.5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.12.2022, 15:23 


03/06/12
2745
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.01.2023, 12:47 


03/06/12
2745
Скажите, пожалуйста, почему в задаче 16.14 матрицы названы квадратичными формами:
Изображение
? Я знаю, что да, для каждой квадратичной формы есть вполне осмысленное понятие соответствующей матрицы, но такие матрицы симметрические. Доказательство же утверждения, приведенного в задаче, прекрасно проходит без предположения о симметричности какой-либо матрицы, фигурирующей в условии задачи. Это ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.01.2023, 16:33 


03/06/12
2745
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.01.2023, 17:33 


03/06/12
2745
Взгляните, пжл, на задачу 16.19:
Изображение
Правильно ли я считаю, что, если через $P_n$ обозначить матрицу задания а), а через $Q_n$ - матрицу задания б), то, например, при $n=2$ будет $P_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, а $Q_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$ ??? У меня, очевидно, что-то не сходится с замыслом задачи, хоть я и решил, как будто, задание а) в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.01.2023, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Sinoid в сообщении #1577611 писал(а):
хоть я и решил, как будто, задание а) в уме.

Это задание тривиальное. Там получается треугольная матрица с единицами на диагонали. К заданию б) подсказка неправильная. По крайней мере, у меня с произведением матриц не получилось. Но матрица из задания б) получается из матрицы задания а) сложением некоторых строк матрицы из а). Каких - попробуйте сами догадаться. Небольшая подсказка. Например, четвёртая строка матрицы из б) равна сумме первой, второй и четвёртой строки матрицы из а).

Ответы в задачнике правильные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.01.2023, 23:01 


03/06/12
2745
мат-ламер в сообщении #1577649 писал(а):
Это задание тривиальное. Там получается треугольная матрица с единицами на диагонали.

Да, значит, решил правильно.
мат-ламер, пока я буду копаться, не подскажите ли вы мне про вот это? Это тоже нужно, но в другой задаче. Я перепробовал несколько, на мой взгляд, разумных вариантов значений для той задачи, но во всех этих вариантах получается какая-то ерунда. Хотелось бы иметь точное представление, о чем говорится в задаче, прежде чем предпринимать какие-то усилия для ее решения.

Спасибо за отклик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 00:05 


03/06/12
2745
мат-ламер в сообщении #1577649 писал(а):
Например, четвёртая строка матрицы из б) равна сумме первой, второй и четвёртой строки матрицы из а).

4 кратно 1, 4 кратно 2 и 4 кратно 4?

-- 18.01.2023, 01:58 --

Так... Напишем вид $i$-й строки матрицы $P_n$. Пока для простоты будем считать, что $i>1$. Это строка длины $n$, имеющая вид $(\underbrace{\begin{matrix}\begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}0 & 0 & \ldots & 0\end{matrix}}_{i-1} & 1\end{matrix} & \begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}0 & 0 & \ldots & 0\end{matrix}}_{i-1} & 1 & \ldots\end{matrix}\end{matrix}}_{n})$. Без ограничения общности можно утверждать, что такой же вид имеет и первая строка, просто в этом случае перед каждой единицей стоит $i-1=1-1=0$ нулей, т. е. нулей вообще не стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1576588 писал(а):
Доказательство же утверждения, приведенного в задаче, прекрасно проходит без предположения о симметричности какой-либо матрицы, фигурирующей в условии задачи. Это ошибка?
Более того, утверждение справедливо даже без условия, что либо $C$, либо $D$ невырождена.

Скорее всего, ошибка, следует читать «квадратные матрицы порядка $n$». О квадратичных формах речь только во второй части книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:39 


03/06/12
2745
Получается, если рассматривать последний столбец матрицы $P_n$, то в нем единицы будут стоять в тех и только тех строках, номера которых делят $n$. Тогда получается, что, если я к последней строке матрицы $P_n$ прибавлю все остальные строки, номера которых делят $n$, то последним элементом этой строки окажется число, являющееся количеством делителей числа $n$, т. е. количество общих делителей чисел $n$ и $n$. Т. е. число, стоящее в последней строке и последнем столбце матрицы $Q_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?
Вот тут написано, что это равно нулю. Вы, конечно, знаете, что $\binom n k=C^k_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:43 


03/06/12
2745
svv в сообщении #1577698 писал(а):
Скорее всего, ошибка, следует читать «квадратные матрицы порядка $n$». О квадратичных формах речь только во второй части книги.

Вот-вот. И я про то же. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 01:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid
Елки-палки, куда я смотрел. Нулю оно равно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 02:01 


03/06/12
2745
svv в сообщении #1577701 писал(а):
Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?
Да, это вот тут написано.

Стоп. Единственное место, которое я там вижу подходящим под предмет обсуждения - это вот это:
Изображение
Но там же написано, что $C_{n}^{k}=\underline{0}$ при $k>n\geqslant 0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group