Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

svv в сообщении #1573131 писал(а):

формула Бине-Коши

Я ее уже доказал в предыдущей задаче). Большое спасибо.

[svv]

Задача 16.6 — это небольшое усложнение предыдущей. Минор $C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}$ определяется элементами соответствующей подматрицы, а она равна произведению $A'B'$, где $A'$ получается вычёркиванием из $A$ всех строк, кроме $i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}$, а $B'$ — вычёркиванием из $B$ всех столбцов, кроме $j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}$. Остаётся перенумеровать оставшиеся строки и столбцы с $1$ до $m$, и получим задачу 16.5.

[Sinoid]

Спасибо.

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, почему в задаче 16.14 матрицы названы квадратичными формами:

? Я знаю, что да, для каждой квадратичной формы есть вполне осмысленное понятие соответствующей матрицы, но такие матрицы симметрические. Доказательство же утверждения, приведенного в задаче, прекрасно проходит без предположения о симметричности какой-либо матрицы, фигурирующей в условии задачи. Это ошибка?

[Sinoid]

Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

[Sinoid]

Взгляните, пжл, на задачу 16.19:

Правильно ли я считаю, что, если через $P_n$ обозначить матрицу задания а), а через $Q_n$ - матрицу задания б), то, например, при $n=2$ будет $P_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, а $Q_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ??? У меня, очевидно, что-то не сходится с замыслом задачи, хоть я и решил, как будто, задание а) в уме.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1577611 писал(а):

хоть я и решил, как будто, задание а) в уме.

Это задание тривиальное. Там получается треугольная матрица с единицами на диагонали. К заданию б) подсказка неправильная. По крайней мере, у меня с произведением матриц не получилось. Но матрица из задания б) получается из матрицы задания а) сложением некоторых строк матрицы из а). Каких - попробуйте сами догадаться. Небольшая подсказка. Например, четвёртая строка матрицы из б) равна сумме первой, второй и четвёртой строки матрицы из а).

Ответы в задачнике правильные.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1577649 писал(а):

Это задание тривиальное. Там получается треугольная матрица с единицами на диагонали.

Да, значит, решил правильно.
мат-ламер, пока я буду копаться, не подскажите ли вы мне про вот это? Это тоже нужно, но в другой задаче. Я перепробовал несколько, на мой взгляд, разумных вариантов значений для той задачи, но во всех этих вариантах получается какая-то ерунда. Хотелось бы иметь точное представление, о чем говорится в задаче, прежде чем предпринимать какие-то усилия для ее решения.

Спасибо за отклик.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1577649 писал(а):

Например, четвёртая строка матрицы из б) равна сумме первой, второй и четвёртой строки матрицы из а).

4 кратно 1, 4 кратно 2 и 4 кратно 4?

-- 18.01.2023, 01:58 --

Так... Напишем вид $i$-й строки матрицы $P_n$. Пока для простоты будем считать, что $i>1$. Это строка длины $n$, имеющая вид $(\underbrace{\begin{matrix}\begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}0 & 0 & \ldots & 0\end{matrix}}_{i-1} & 1\end{matrix} & \begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}0 & 0 & \ldots & 0\end{matrix}}_{i-1} & 1 & \ldots\end{matrix}\end{matrix}}_{n})$. Без ограничения общности можно утверждать, что такой же вид имеет и первая строка, просто в этом случае перед каждой единицей стоит $i-1=1-1=0$ нулей, т. е. нулей вообще не стоит.

[svv]

Sinoid в сообщении #1576588 писал(а):

Доказательство же утверждения, приведенного в задаче, прекрасно проходит без предположения о симметричности какой-либо матрицы, фигурирующей в условии задачи. Это ошибка?

Более того, утверждение справедливо даже без условия, что либо $C$, либо $D$ невырождена.

Скорее всего, ошибка, следует читать «квадратные матрицы порядка $n$». О квадратичных формах речь только во второй части книги.

[Sinoid]

Получается, если рассматривать последний столбец матрицы $P_n$, то в нем единицы будут стоять в тех и только тех строках, номера которых делят $n$. Тогда получается, что, если я к последней строке матрицы $P_n$ прибавлю все остальные строки, номера которых делят $n$, то последним элементом этой строки окажется число, являющееся количеством делителей числа $n$, т. е. количество общих делителей чисел $n$ и $n$. Т. е. число, стоящее в последней строке и последнем столбце матрицы $Q_n$.

[svv]

Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):

Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

Вот тут написано, что это равно нулю. Вы, конечно, знаете, что $\binom n k=C^k_n$.

[Sinoid]

svv в сообщении #1577698 писал(а):

Скорее всего, ошибка, следует читать «квадратные матрицы порядка $n$». О квадратичных формах речь только во второй части книги.

Вот-вот. И я про то же. Спасибо большое.

[svv]

Sinoid
Елки-палки, куда я смотрел. Нулю оно равно!

[Sinoid]

svv в сообщении #1577701 писал(а):

Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):

Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

Да, это вот тут написано.

Стоп. Единственное место, которое я там вижу подходящим под предмет обсуждения - это вот это:

Но там же написано, что $C_{n}^{k}=\underline{0}$ при $k>n\geqslant 0$