Еще один вариант для кубов

[dick]

mihaild
$a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$ (2.1);
$a^3/3(x+y)=(z-y)(z-x)$ (2.2);
$x+y>2a$, следовательно в (2.2)левая часть равенства это число меньшее чем $a^2/6$, значит и правая часть также. Но даже если бы было $a^3/3(x+y)=a^2/6$ и $z-y=z-x$, то было бы
$z-y=a/6^{1/2}<a$. У нас же $(z-x)>(z-y)$, следовательно $a>(z-y)$.

[mihaild]

dick в сообщении #1575092 писал(а):

$a^3/3(x+y)=(z-y)(z-x)$ (2.2);

Приоритет операций вспомните.
То, что вы написали - это $\frac{a^3}{3} \cdot (x + y)$. А хотели, видимо, $\frac{a^3}{3(x + y)}$. Чем вам [tt]\frac[\tt] не нравится? Ну или хотя бы скобки ставьте.
Хорошо, написали $\frac{a^3}{3(x + y)} = (z - y) (z - x)$, оценили $x + y > 2$, получили $a^2 / 6 > (z - y)(z - x)$, согласен.

dick в сообщении #1575092 писал(а):

следовательно $a>(z-y)$.

Почему "следовательно"?

[dick]

Не понял вопрос.

mihaild в сообщении #1575095 писал(а):

Но даже если бы было $a^3/3(x+y)=a^2/6$ и $z-y=z-x$, то было бы
$z-y=a/6^{1/2}<a$. У нас же $(z-x)>(z-y)$, следовательно $a>(z-y)$.

[mihaild]

Не приписывайте мне того, что я не говорил.
Вопрос очень простой - откуда взялось

dick в сообщении #1575092 писал(а):

$a>(z-y)$

Напишите выкладки полностью, четко проговаривая, что чем оценивается с какой стороны (без всяких "но даже если бы что-то там").

[dick]

Я не знаю как написать подробнее. Почему бы Вам не объяснить, что именно непонятно.

[mihaild]

Я уже писал - непонятно, откуда взялось $a > z - y$. Это выглядит как просто ниоткуда взявшееся случайное неравенство, с тем же успехом можно было написать $\sqrt[a]{x} > \frac{\pi}{e}$.
Ладно, я сам напишу. Вот так выглядит подробное доказательство:
1. $a^2 / 6 > (z - y)(z - x)$ (известно)
2. $z - x > z - y$ (известно)
3. $z - y > 0$ (известно)
4. $(z - x) (z - y) > (z - y) (z - y)$ (домножили обе части 2 на положительное, согласно 3, число $z - y$
5. $a ^2 / 6 > (z - y) (z - y)$ (из 1 и 4, по транзитивности неравенства)
6. $a / \sqrt{6} > z - y$ (из 5, извлекаем из обеих частей квадратный корень)
7. $a > a / \sqrt{6}$ (т.к. $a > 0$ и $\sqrt{6} > 1$)
8. $a > z - y$ (из 6 и 7)
Конечно можно писать и менее подробно, но как минимум четкое разбиение на шаги должно быть, и понятно, из каких предыдущих шагов получается следующий. Без всяких "даже".

[dick]

Спасибо. Вы согласны что $(z-y)=1$ ?

[mihaild]

Нет конечно, это ни из чего ранее сказанного не следует.

[dick]

А согласны ли Вы с тем, что $(z-y)=6n+1$ ?

[mihaild]

А это доказывалось? Если да, то процитируйте. Если нет, то не согласен.
Я не пойму, вы пытаетесь дождаться, когда я ошибусь и соглашусь с чем-то, что не доказано? Ну может и дождетесь, но смысл?

[dick]

Поставим вопрос иначе, если $a=6$, а $(z-y)$ это нечетный куб, и $a>(z-y)$, можно ли утверждать, что $(z-y)=1$ ?

[mihaild]

dick в сообщении #1575634 писал(а):

если $a=6$, а $(z-y)$ это нечетный куб, и $a>(z-y)$, можно ли утверждать, что $(z-y)=1$

Да, можно (при условии естественно $z \geq y$, но это у нас есть).

[dick]

$a=6$ это наименьшее возможное $a$. По условию, мы рассматриваем случай примитивного решения (1), то есть наименьшего из возможных. Но примитивное решение не обязательно равно наименьшему, оно может быть больше наименьшего если $a$ достаточно велико. Поэтому возможны два варианта числа $(z-y)$, это либо 1, либо $6n+1$. При этом число $x$ в обоих случаях имеет форму $6n+1$, поскольку $x=a+(z-y)$. Вы согласны?

[mihaild]

dick в сообщении #1575659 писал(а):

то есть наименьшего из возможных

Тут нужно уточнять, как сравниваются решения. Если по всем трём переменным, т.е. $(x, y, z) < (x', y', z') \leftrightarrow (x < x' \wedge y < y' \wedge z < z')$, то существование наименьшего решения надо доказывать. Минимальное, впрочем, и при таком определении точно существует, и является примитивным.

dick в сообщении #1575659 писал(а):

Поэтому возможны два варианта числа $(z-y)$, это либо 1, либо $6n+1$.

Непонятно, как это "поэтому" связано с предыдущим. И нет, то, что $z - y \equiv 1 \pmod 6$ не доказано. Как минимум ничего не сказано, почему не может быть $z - y \equiv 5 \pmod 6$.

[dick]

mihaild в сообщении #1575664 писал(а):

Непонятно, как это "поэтому" связано с предыдущим.

Вы, только что, согласились с тем, что если $a=6$, то $(z-y)=1$. О каком "предыдущем" Вы говорите?