2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение14.12.2022, 22:47 


11/07/16
825
Замкнутый квадрат со стороной один $[0,1]^2$ содержит два замкнутые квадраты со сторонами $a$ и
$b$, внутренности которых не пересекаются. Как доказать неравенство $a+b\le 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Порассуждайте о проекциях мелких квадратов на стороны единичного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 06:26 


11/07/16
825
Утундрий
Пожалуйста, изложите в деталях Ваше ценное указание. Пока не о чем рассуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 06:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Рассуждение следующее. Посмотрим на эти квадратики сперва вдоль одной стороны единичного квадрата, а затем и с другой. В обоих случаях мы увидим пару отрезков длин $a$ и $b$, лежащих внутри единичного интервала вещественной прямой. Далее обратим внимание на взаимное расположение этих двух отрезков. Рассматривать всё богатство (аж шесть) случаев здесь излишне. Достаточно дихотомии - имеется ли у них хотя бы одна общая точка, или же не имеется? Теперь допустим, что таковые общие точки имеются на обеих проекциях. Тогда имеется и общая точка у самих квадратиков. А поскольку сие исключено условием, данный случай не реализуется. Следовательно, хотя бы на одной из проекций отрезки не имеют ни одной общей точки, в силу чего удовлетворяют искомому соотношению $a+b<1$.

P.S. Разумеется, это никакое не доказательство, т.к. грубейшим образом проигнорировано требование отсутствия у квадратиков именно внутренних общих точек. В полном, математически строгом доказательстве, должен восстановится знак нестрогого неравенства, но я оставляю эту задачу следующим поколениям математиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 06:48 


11/07/16
825
Утундрий
Цитата:
В обоих случаях мы увидим пару отрезков длин $a$ и $b$ , лежащих внутри единичного интервала вещественной прямой.

А если стороны внутренних квадратов не параллельны (и не перпендикулярны) сторонам единичного квадрата? В ожидании серьезных ответов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 06:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Markiyan Hirnyk в сообщении #1573896 писал(а):
А если стороны внутренних квадратов не параллельны (и не перпендикулярны) сторонам единичного квадрата?
Тогда задача ещё более занудная, чем показалось с первого взгляда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 06:53 


11/07/16
825
Утундрий
Ваша реплика не конструктивна. Не вижу смысла обсуждать задачу с Вами в такой манере. Если повторится, пожалуюсь модератору.
PS. Авторство задачи принадлежит Н. Ю. Нецветаеву.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Больший красный квадратик со стороной $A$ нарастим двумя зелёными полями шириной $B$ до квадратика со стороной $A+B$. Нетрудно видеть, что нигде в зелёных полях нельзя разместить квадрат толще $B$. Доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2337
МО
TOTAL
Прошу прощения за тупость: почему один квадрат должен попасть в поля другого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
пианист в сообщении #1573959 писал(а):
TOTAL
Прошу прощения за тупость: почему один квадрат должен попасть в поля другого?
Если не влезет в поля, то два квадрата не влезут в квадрат $A+B$
(что-то я сейчас забыл, каким образом мне это казалось очевидно, надо додумывать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение15.12.2022, 19:27 


11/07/16
825
TOTAL
Целесообразно придерживаться обозначений вопроса, чтобы не возникали затруднения для читателей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение16.12.2022, 05:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Весь квадрат рассекаем прямой линией на два куска, в каждом из которых один внутренний квадратик. Каждый кусок достраиваем до прямоугольного треугольника (гипотенуза - по линии рассечения). Сумма биссектрис прямых углов этих треугольников равна $\sqrt{2}$. Легко получить, что диагональ квадратика внутри прямоугольного треугольника не превосходит указанную биссектрису.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение16.12.2022, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
TOTAL в сообщении #1573998 писал(а):
Легко получить, что диагональ квадратика внутри прямоугольного треугольника не превосходит указанную биссектрису.
Другими словами, наибольший квадрат в заданном прямоугольном треугольнике - тот, который опирается на прямой угол треугольника и касается его гипотенузы. Не знаю, насколько легко это получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение16.12.2022, 07:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Утундрий в сообщении #1574001 писал(а):
Другими словами, наибольший квадрат в заданном прямоугольном треугольнике - тот, который опирается на прямой угол треугольника и касается его гипотенузы. Не знаю, насколько легко это получить.

Очень легко получить. Любой квадрат можно сдвинуть к одному катету и к другому, т.е. единичный квадрат касается вершиной обоих катетов и наклонён к ним под углом А. Биссектриса прямого угла выныривает из квадрата в точке с равными координатами (относительно вершины прямого угла) $\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)} \ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение16.12.2022, 17:43 


11/07/16
825
TOTAL
Пожалуйста, подробно изложите Ваши рассуждения, используя этот рисунок. Согласитесь, что геометрические доказательства надо иллюстрировать. Как Вы будете обозначать точки, если Вы обозначили и угол, и его величину через $A$?

PS. Вот инфо о авторе задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group